Theorem brbigcup 34200

Description: Binary relation over Bigcup . (Contributed by Scott Fenton, 11-Apr-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
brbigcup.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brbigcup	⊢ (𝐴 Bigcup 𝐵 ↔ ∪ 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem brbigcup

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relbigcup 34199	. . 3 ⊢ Rel Bigcup
2	1	brrelex1i 5643	. 2 ⊢ (𝐴 Bigcup 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3		brbigcup.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
4		eleq1 2826	. . . 4 ⊢ (∪ 𝐴 = 𝐵 → (∪ 𝐴 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))
5	3, 4	mpbiri 257	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 = 𝐵 → ∪ 𝐴 ∈ V)
6		uniexb 7614	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ ∪ 𝐴 ∈ V)
7	5, 6	sylibr 233	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
8		breq1 5077	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 Bigcup 𝐵 ↔ 𝐴 Bigcup 𝐵))
9		unieq 4850	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∪ 𝑥 = ∪ 𝐴)
10	9	eqeq1d 2740	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∪ 𝑥 = 𝐵 ↔ ∪ 𝐴 = 𝐵))
11		vex 3436	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
12		df-bigcup 34160	. . . . 5 ⊢ Bigcup = ((V × V) ∖ ran ((V ⊗ E ) △ (( E ∘ E ) ⊗ V)))
13		brxp 5636	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(V × V)𝐵 ↔ (𝑥 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
14	11, 3, 13	mpbir2an 708	. . . . 5 ⊢ 𝑥(V × V)𝐵
15		epel 5498	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 E 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧)
16	15	rexbii 3181	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 E 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝑧)
17		vex 3436	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
18	17, 11	coep 33719	. . . . . 6 ⊢ (𝑦( E ∘ E )𝑥 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 E 𝑧)
19		eluni2 4843	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝑧)
20	16, 18, 19	3bitr4ri 304	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ↔ 𝑦( E ∘ E )𝑥)
21	11, 3, 12, 14, 20	brtxpsd3 34198	. . . 4 ⊢ (𝑥 Bigcup 𝐵 ↔ 𝐵 = ∪ 𝑥)
22		eqcom 2745	. . . 4 ⊢ (𝐵 = ∪ 𝑥 ↔ ∪ 𝑥 = 𝐵)
23	21, 22	bitri 274	. . 3 ⊢ (𝑥 Bigcup 𝐵 ↔ ∪ 𝑥 = 𝐵)
24	8, 10, 23	vtoclbg 3507	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 Bigcup 𝐵 ↔ ∪ 𝐴 = 𝐵))
25	2, 7, 24	pm5.21nii 380	1 ⊢ (𝐴 Bigcup 𝐵 ↔ ∪ 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065  Vcvv 3432  ∪ cuni 4839   class class class wbr 5074   E cep 5494   × cxp 5587   ∘ ccom 5593   Bigcup cbigcup 34136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-symdif 4176  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-eprel 5495  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fo 6439  df-fv 6441  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-txp 34156  df-bigcup 34160

This theorem is referenced by:  dfbigcup2  34201  fvbigcup  34204  ellimits  34212  brapply  34240  dfrdg4  34253