Theorem brbigcup 35880

Description: Binary relation over Bigcup . (Contributed by Scott Fenton, 11-Apr-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
brbigcup.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brbigcup	⊢ (𝐴 Bigcup 𝐵 ↔ ∪ 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem brbigcup

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relbigcup 35879	. . 3 ⊢ Rel Bigcup
2	1	brrelex1i 5745	. 2 ⊢ (𝐴 Bigcup 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3		brbigcup.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
4		eleq1 2827	. . . 4 ⊢ (∪ 𝐴 = 𝐵 → (∪ 𝐴 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))
5	3, 4	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 = 𝐵 → ∪ 𝐴 ∈ V)
6		uniexb 7783	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ ∪ 𝐴 ∈ V)
7	5, 6	sylibr 234	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
8		breq1 5151	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 Bigcup 𝐵 ↔ 𝐴 Bigcup 𝐵))
9		unieq 4923	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∪ 𝑥 = ∪ 𝐴)
10	9	eqeq1d 2737	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∪ 𝑥 = 𝐵 ↔ ∪ 𝐴 = 𝐵))
11		vex 3482	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
12		df-bigcup 35840	. . . . 5 ⊢ Bigcup = ((V × V) ∖ ran ((V ⊗ E ) △ (( E ∘ E ) ⊗ V)))
13		brxp 5738	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(V × V)𝐵 ↔ (𝑥 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
14	11, 3, 13	mpbir2an 711	. . . . 5 ⊢ 𝑥(V × V)𝐵
15		epel 5592	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 E 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧)
16	15	rexbii 3092	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 E 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝑧)
17		vex 3482	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
18	17, 11	coep 35732	. . . . . 6 ⊢ (𝑦( E ∘ E )𝑥 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 E 𝑧)
19		eluni2 4916	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝑧)
20	16, 18, 19	3bitr4ri 304	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ↔ 𝑦( E ∘ E )𝑥)
21	11, 3, 12, 14, 20	brtxpsd3 35878	. . . 4 ⊢ (𝑥 Bigcup 𝐵 ↔ 𝐵 = ∪ 𝑥)
22		eqcom 2742	. . . 4 ⊢ (𝐵 = ∪ 𝑥 ↔ ∪ 𝑥 = 𝐵)
23	21, 22	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝑥 Bigcup 𝐵 ↔ ∪ 𝑥 = 𝐵)
24	8, 10, 23	vtoclbg 3557	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 Bigcup 𝐵 ↔ ∪ 𝐴 = 𝐵))
25	2, 7, 24	pm5.21nii 378	1 ⊢ (𝐴 Bigcup 𝐵 ↔ ∪ 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068  Vcvv 3478  ∪ cuni 4912   class class class wbr 5148   E cep 5588   × cxp 5687   ∘ ccom 5693   Bigcup cbigcup 35816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-symdif 4259  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-eprel 5589  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fo 6569  df-fv 6571  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-txp 35836  df-bigcup 35840

This theorem is referenced by:  dfbigcup2  35881  fvbigcup  35884  ellimits  35892  brapply  35920  dfrdg4  35933