Theorem brbigcup 35162

Description: Binary relation over Bigcup . (Contributed by Scott Fenton, 11-Apr-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
brbigcup.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brbigcup	⊢ (𝐴 Bigcup 𝐵 ↔ ∪ 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem brbigcup

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relbigcup 35161	. . 3 ⊢ Rel Bigcup
2	1	brrelex1i 5732	. 2 ⊢ (𝐴 Bigcup 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3		brbigcup.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
4		eleq1 2821	. . . 4 ⊢ (∪ 𝐴 = 𝐵 → (∪ 𝐴 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))
5	3, 4	mpbiri 257	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 = 𝐵 → ∪ 𝐴 ∈ V)
6		uniexb 7753	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ ∪ 𝐴 ∈ V)
7	5, 6	sylibr 233	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
8		breq1 5151	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 Bigcup 𝐵 ↔ 𝐴 Bigcup 𝐵))
9		unieq 4919	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∪ 𝑥 = ∪ 𝐴)
10	9	eqeq1d 2734	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∪ 𝑥 = 𝐵 ↔ ∪ 𝐴 = 𝐵))
11		vex 3478	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
12		df-bigcup 35122	. . . . 5 ⊢ Bigcup = ((V × V) ∖ ran ((V ⊗ E ) △ (( E ∘ E ) ⊗ V)))
13		brxp 5725	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(V × V)𝐵 ↔ (𝑥 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
14	11, 3, 13	mpbir2an 709	. . . . 5 ⊢ 𝑥(V × V)𝐵
15		epel 5583	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 E 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧)
16	15	rexbii 3094	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 E 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝑧)
17		vex 3478	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
18	17, 11	coep 35014	. . . . . 6 ⊢ (𝑦( E ∘ E )𝑥 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 E 𝑧)
19		eluni2 4912	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝑧)
20	16, 18, 19	3bitr4ri 303	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ↔ 𝑦( E ∘ E )𝑥)
21	11, 3, 12, 14, 20	brtxpsd3 35160	. . . 4 ⊢ (𝑥 Bigcup 𝐵 ↔ 𝐵 = ∪ 𝑥)
22		eqcom 2739	. . . 4 ⊢ (𝐵 = ∪ 𝑥 ↔ ∪ 𝑥 = 𝐵)
23	21, 22	bitri 274	. . 3 ⊢ (𝑥 Bigcup 𝐵 ↔ ∪ 𝑥 = 𝐵)
24	8, 10, 23	vtoclbg 3559	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 Bigcup 𝐵 ↔ ∪ 𝐴 = 𝐵))
25	2, 7, 24	pm5.21nii 379	1 ⊢ (𝐴 Bigcup 𝐵 ↔ ∪ 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070  Vcvv 3474  ∪ cuni 4908   class class class wbr 5148   E cep 5579   × cxp 5674   ∘ ccom 5680   Bigcup cbigcup 35098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-symdif 4242  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-eprel 5580  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fo 6549  df-fv 6551  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-txp 35118  df-bigcup 35122

This theorem is referenced by:  dfbigcup2  35163  fvbigcup  35166  ellimits  35174  brapply  35202  dfrdg4  35215