Theorem brbigcup 34208

Description: Binary relation over Bigcup . (Contributed by Scott Fenton, 11-Apr-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
brbigcup.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brbigcup	⊢ (𝐴 Bigcup 𝐵 ↔ ∪ 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem brbigcup

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relbigcup 34207	. . 3 ⊢ Rel Bigcup
2	1	brrelex1i 5638	. 2 ⊢ (𝐴 Bigcup 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3		brbigcup.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
4		eleq1 2826	. . . 4 ⊢ (∪ 𝐴 = 𝐵 → (∪ 𝐴 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))
5	3, 4	mpbiri 257	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 = 𝐵 → ∪ 𝐴 ∈ V)
6		uniexb 7604	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ ∪ 𝐴 ∈ V)
7	5, 6	sylibr 233	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
8		breq1 5076	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 Bigcup 𝐵 ↔ 𝐴 Bigcup 𝐵))
9		unieq 4850	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∪ 𝑥 = ∪ 𝐴)
10	9	eqeq1d 2740	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∪ 𝑥 = 𝐵 ↔ ∪ 𝐴 = 𝐵))
11		vex 3433	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
12		df-bigcup 34168	. . . . 5 ⊢ Bigcup = ((V × V) ∖ ran ((V ⊗ E ) △ (( E ∘ E ) ⊗ V)))
13		brxp 5631	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(V × V)𝐵 ↔ (𝑥 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
14	11, 3, 13	mpbir2an 708	. . . . 5 ⊢ 𝑥(V × V)𝐵
15		epel 5493	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 E 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧)
16	15	rexbii 3179	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 E 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝑧)
17		vex 3433	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
18	17, 11	coep 33727	. . . . . 6 ⊢ (𝑦( E ∘ E )𝑥 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 E 𝑧)
19		eluni2 4843	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝑧)
20	16, 18, 19	3bitr4ri 304	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ↔ 𝑦( E ∘ E )𝑥)
21	11, 3, 12, 14, 20	brtxpsd3 34206	. . . 4 ⊢ (𝑥 Bigcup 𝐵 ↔ 𝐵 = ∪ 𝑥)
22		eqcom 2745	. . . 4 ⊢ (𝐵 = ∪ 𝑥 ↔ ∪ 𝑥 = 𝐵)
23	21, 22	bitri 274	. . 3 ⊢ (𝑥 Bigcup 𝐵 ↔ ∪ 𝑥 = 𝐵)
24	8, 10, 23	vtoclbg 3504	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 Bigcup 𝐵 ↔ ∪ 𝐴 = 𝐵))
25	2, 7, 24	pm5.21nii 380	1 ⊢ (𝐴 Bigcup 𝐵 ↔ ∪ 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065  Vcvv 3429  ∪ cuni 4839   class class class wbr 5073   E cep 5489   × cxp 5582   ∘ ccom 5588   Bigcup cbigcup 34144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3431  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-symdif 4176  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-id 5484  df-eprel 5490  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-fo 6432  df-fv 6434  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-txp 34164  df-bigcup 34168

This theorem is referenced by:  dfbigcup2  34209  fvbigcup  34212  ellimits  34220  brapply  34248  dfrdg4  34261