Theorem brimage 35890

Description: Binary relation form of the Image functor. (Contributed by Scott Fenton, 4-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
brimage.1	⊢ 𝐴 ∈ V
brimage.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brimage	⊢ (𝐴Image𝑅𝐵 ↔ 𝐵 = (𝑅 “ 𝐴))

Proof of Theorem brimage

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brimage.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		brimage.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		df-image 35828	. 2 ⊢ Image𝑅 = ((V × V) ∖ ran ((V ⊗ E ) △ (( E ∘ ◡𝑅) ⊗ V)))
4		brxp 5749	. . 3 ⊢ (𝐴(V × V)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
5	1, 2, 4	mpbir2an 710	. 2 ⊢ 𝐴(V × V)𝐵
6		vex 3492	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
7		vex 3492	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
8	6, 7	brcnv 5907	. . . 4 ⊢ (𝑥◡𝑅𝑦 ↔ 𝑦𝑅𝑥)
9	8	rexbii 3100	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥◡𝑅𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦𝑅𝑥)
10	6, 1	coep 35714	. . 3 ⊢ (𝑥( E ∘ ◡𝑅)𝐴 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥◡𝑅𝑦)
11	6	elima 6094	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑅 “ 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦𝑅𝑥)
12	9, 10, 11	3bitr4ri 304	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑅 “ 𝐴) ↔ 𝑥( E ∘ ◡𝑅)𝐴)
13	1, 2, 3, 5, 12	brtxpsd3 35860	1 ⊢ (𝐴Image𝑅𝐵 ↔ 𝐵 = (𝑅 “ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076  Vcvv 3488   class class class wbr 5166   E cep 5598   × cxp 5698  ^◡ccnv 5699   “ cima 5703   ∘ ccom 5704  Imagecimage 35804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-symdif 4272  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-eprel 5599  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fo 6579  df-fv 6581  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-txp 35818  df-image 35828

This theorem is referenced by:  brimageg  35891  funimage  35892  fnimage  35893  imageval  35894  brdomain  35897  brrange  35898  brimg  35901  funpartlem  35906  imagesset  35917