Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brimage Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brimage 35369
Description: Binary relation form of the Image functor. (Contributed by Scott Fenton, 4-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
brimage.1 𝐴 ∈ V
brimage.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
brimage (𝐴Image𝑅𝐵𝐵 = (𝑅𝐴))

Proof of Theorem brimage
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brimage.1 . 2 𝐴 ∈ V
2 brimage.2 . 2 𝐵 ∈ V
3 df-image 35307 . 2 Image𝑅 = ((V × V) ∖ ran ((V ⊗ E ) △ (( E ∘ 𝑅) ⊗ V)))
4 brxp 5725 . . 3 (𝐴(V × V)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
51, 2, 4mpbir2an 708 . 2 𝐴(V × V)𝐵
6 vex 3477 . . . . 5 𝑥 ∈ V
7 vex 3477 . . . . 5 𝑦 ∈ V
86, 7brcnv 5882 . . . 4 (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)
98rexbii 3093 . . 3 (∃𝑦𝐴 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑅𝑥)
106, 1coep 35193 . . 3 (𝑥( E ∘ 𝑅)𝐴 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑅𝑦)
116elima 6064 . . 3 (𝑥 ∈ (𝑅𝐴) ↔ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑅𝑥)
129, 10, 113bitr4ri 304 . 2 (𝑥 ∈ (𝑅𝐴) ↔ 𝑥( E ∘ 𝑅)𝐴)
131, 2, 3, 5, 12brtxpsd3 35339 1 (𝐴Image𝑅𝐵𝐵 = (𝑅𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205   = wceq 1540  wcel 2105  wrex 3069  Vcvv 3473   class class class wbr 5148   E cep 5579   × cxp 5674  ccnv 5675  cima 5679  ccom 5680  Imagecimage 35283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-symdif 4242  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-eprel 5580  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fo 6549  df-fv 6551  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-txp 35297  df-image 35307
This theorem is referenced by:  brimageg  35370  funimage  35371  fnimage  35372  imageval  35373  brdomain  35376  brrange  35377  brimg  35380  funpartlem  35385  imagesset  35396
  Copyright terms: Public domain W3C validator