Theorem brimage 35968

Description: Binary relation form of the Image functor. (Contributed by Scott Fenton, 4-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
brimage.1	⊢ 𝐴 ∈ V
brimage.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brimage	⊢ (𝐴Image𝑅𝐵 ↔ 𝐵 = (𝑅 “ 𝐴))

Proof of Theorem brimage

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brimage.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		brimage.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		df-image 35906	. 2 ⊢ Image𝑅 = ((V × V) ∖ ran ((V ⊗ E ) △ (( E ∘ ◡𝑅) ⊗ V)))
4		brxp 5663	. . 3 ⊢ (𝐴(V × V)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
5	1, 2, 4	mpbir2an 711	. 2 ⊢ 𝐴(V × V)𝐵
6		vex 3440	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
7		vex 3440	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
8	6, 7	brcnv 5821	. . . 4 ⊢ (𝑥◡𝑅𝑦 ↔ 𝑦𝑅𝑥)
9	8	rexbii 3079	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥◡𝑅𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦𝑅𝑥)
10	6, 1	coep 35796	. . 3 ⊢ (𝑥( E ∘ ◡𝑅)𝐴 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥◡𝑅𝑦)
11	6	elima 6013	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑅 “ 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦𝑅𝑥)
12	9, 10, 11	3bitr4ri 304	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑅 “ 𝐴) ↔ 𝑥( E ∘ ◡𝑅)𝐴)
13	1, 2, 3, 5, 12	brtxpsd3 35938	1 ⊢ (𝐴Image𝑅𝐵 ↔ 𝐵 = (𝑅 “ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056  Vcvv 3436   class class class wbr 5089   E cep 5513   × cxp 5612  ^◡ccnv 5613   “ cima 5617   ∘ ccom 5618  Imagecimage 35882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-symdif 4200  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-eprel 5514  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fo 6487  df-fv 6489  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-txp 35896  df-image 35906

This theorem is referenced by:  brimageg  35969  funimage  35970  fnimage  35971  imageval  35972  brdomain  35975  brrange  35976  brimg  35979  funpartlem  35986  imagesset  35997