Theorem coss2cnvepres 38620

Description: Special case of coss1cnvres 38619. (Contributed by Peter Mazsa, 8-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
coss2cnvepres	⊢ ≀ ◡(◡ E ↾ 𝐴) = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣))}

Distinct variable group:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑥

Proof of Theorem coss2cnvepres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coss1cnvres 38619	. 2 ⊢ ≀ ◡(◡ E ↾ 𝐴) = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑣◡ E 𝑥))}
2		brcnvep 38402	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ V → (𝑢◡ E 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑢))
3	2	elv 3443	. . . . . 6 ⊢ (𝑢◡ E 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑢)
4		brcnvep 38402	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ V → (𝑣◡ E 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑣))
5	4	elv 3443	. . . . . 6 ⊢ (𝑣◡ E 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑣)
6	3, 5	anbi12i 628	. . . . 5 ⊢ ((𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑣◡ E 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣))
7	6	exbii 1849	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑣◡ E 𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣))
8	7	anbi2i 623	. . 3 ⊢ (((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑣◡ E 𝑥)) ↔ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣)))
9	8	opabbii 5163	. 2 ⊢ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑣◡ E 𝑥))} = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣))}
10	1, 9	eqtri 2757	1 ⊢ ≀ ◡(◡ E ↾ 𝐴) = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣))}

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   class class class wbr 5096  {copab 5158   E cep 5521  ^◡ccnv 5621   ↾ cres 5624   ≀ ccoss 38322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-br 5097  df-opab 5159  df-eprel 5522  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-res 5634  df-coss 38613

This theorem is referenced by: (None)