Theorem coss2cnvepres 39007

Description: Special case of coss1cnvres 39006. (Contributed by Peter Mazsa, 8-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
coss2cnvepres	⊢ ≀ ◡(◡ E ↾ 𝐴) = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣))}

Distinct variable group:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑥

Proof of Theorem coss2cnvepres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coss1cnvres 39006	. 2 ⊢ ≀ ◡(◡ E ↾ 𝐴) = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑣◡ E 𝑥))}
2		brcnvep 38769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ V → (𝑢◡ E 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑢))
3	2	elv 3459	. . . . . 6 ⊢ (𝑢◡ E 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑢)
4		brcnvep 38769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ V → (𝑣◡ E 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑣))
5	4	elv 3459	. . . . . 6 ⊢ (𝑣◡ E 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑣)
6	3, 5	anbi12i 637	. . . . 5 ⊢ ((𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑣◡ E 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣))
7	6	exbii 1868	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑣◡ E 𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣))
8	7	anbi2i 632	. . 3 ⊢ (((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑣◡ E 𝑥)) ↔ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣)))
9	8	opabbii 5167	. 2 ⊢ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑣◡ E 𝑥))} = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣))}
10	1, 9	eqtri 2785	1 ⊢ ≀ ◡(◡ E ↾ 𝐴) = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣))}

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560  ∃wex 1799   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   class class class wbr 5100  {copab 5162   E cep 5546  ^◡ccnv 5646   ↾ cres 5649   ≀ ccoss 38682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-sb 2091  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-eprel 5547  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-res 5659  df-coss 39000

This theorem is referenced by: (None)