Theorem coss2cnvepres 38382

Description: Special case of coss1cnvres 38381. (Contributed by Peter Mazsa, 8-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
coss2cnvepres	⊢ ≀ ◡(◡ E ↾ 𝐴) = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣))}

Distinct variable group:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑥

Proof of Theorem coss2cnvepres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coss1cnvres 38381	. 2 ⊢ ≀ ◡(◡ E ↾ 𝐴) = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑣◡ E 𝑥))}
2		brcnvep 38229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ V → (𝑢◡ E 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑢))
3	2	elv 3464	. . . . . 6 ⊢ (𝑢◡ E 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑢)
4		brcnvep 38229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ V → (𝑣◡ E 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑣))
5	4	elv 3464	. . . . . 6 ⊢ (𝑣◡ E 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑣)
6	3, 5	anbi12i 628	. . . . 5 ⊢ ((𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑣◡ E 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣))
7	6	exbii 1848	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑣◡ E 𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣))
8	7	anbi2i 623	. . 3 ⊢ (((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑣◡ E 𝑥)) ↔ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣)))
9	8	opabbii 5186	. 2 ⊢ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑣◡ E 𝑥))} = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣))}
10	1, 9	eqtri 2758	1 ⊢ ≀ ◡(◡ E ↾ 𝐴) = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣))}

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   class class class wbr 5119  {copab 5181   E cep 5552  ^◡ccnv 5653   ↾ cres 5656   ≀ ccoss 38145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-br 5120  df-opab 5182  df-eprel 5553  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-res 5666  df-coss 38375

This theorem is referenced by: (None)