Theorem coss2cnvepres 38419

Description: Special case of coss1cnvres 38418. (Contributed by Peter Mazsa, 8-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
coss2cnvepres	⊢ ≀ ◡(◡ E ↾ 𝐴) = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣))}

Distinct variable group:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑥

Proof of Theorem coss2cnvepres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coss1cnvres 38418	. 2 ⊢ ≀ ◡(◡ E ↾ 𝐴) = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑣◡ E 𝑥))}
2		brcnvep 38266	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ V → (𝑢◡ E 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑢))
3	2	elv 3485	. . . . . 6 ⊢ (𝑢◡ E 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑢)
4		brcnvep 38266	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ V → (𝑣◡ E 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑣))
5	4	elv 3485	. . . . . 6 ⊢ (𝑣◡ E 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑣)
6	3, 5	anbi12i 628	. . . . 5 ⊢ ((𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑣◡ E 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣))
7	6	exbii 1848	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑣◡ E 𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣))
8	7	anbi2i 623	. . 3 ⊢ (((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑣◡ E 𝑥)) ↔ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣)))
9	8	opabbii 5210	. 2 ⊢ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑣◡ E 𝑥))} = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣))}
10	1, 9	eqtri 2765	1 ⊢ ≀ ◡(◡ E ↾ 𝐴) = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣))}

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   class class class wbr 5143  {copab 5205   E cep 5583  ^◡ccnv 5684   ↾ cres 5687   ≀ ccoss 38182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-br 5144  df-opab 5206  df-eprel 5584  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-res 5697  df-coss 38412

This theorem is referenced by: (None)