Theorem coss2cnvepres 37942

Description: Special case of coss1cnvres 37941. (Contributed by Peter Mazsa, 8-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
coss2cnvepres	⊢ ≀ ◡(◡ E ↾ 𝐴) = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣))}

Distinct variable group:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑥

Proof of Theorem coss2cnvepres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coss1cnvres 37941	. 2 ⊢ ≀ ◡(◡ E ↾ 𝐴) = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑣◡ E 𝑥))}
2		brcnvep 37789	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ V → (𝑢◡ E 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑢))
3	2	elv 3469	. . . . . 6 ⊢ (𝑢◡ E 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑢)
4		brcnvep 37789	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ V → (𝑣◡ E 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑣))
5	4	elv 3469	. . . . . 6 ⊢ (𝑣◡ E 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑣)
6	3, 5	anbi12i 626	. . . . 5 ⊢ ((𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑣◡ E 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣))
7	6	exbii 1842	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑣◡ E 𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣))
8	7	anbi2i 621	. . 3 ⊢ (((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑣◡ E 𝑥)) ↔ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣)))
9	8	opabbii 5211	. 2 ⊢ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑣◡ E 𝑥))} = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣))}
10	1, 9	eqtri 2753	1 ⊢ ≀ ◡(◡ E ↾ 𝐴) = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣))}

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   class class class wbr 5144  {copab 5206   E cep 5576  ^◡ccnv 5672   ↾ cres 5675   ≀ ccoss 37701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pr 5424

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4320  df-if 4526  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-br 5145  df-opab 5207  df-eprel 5577  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-res 5685  df-coss 37935

This theorem is referenced by: (None)