Theorem cossex 38437

Description: If 𝐴 is a set then the class of cosets by 𝐴 is a set. (Contributed by Peter Mazsa, 4-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
cossex	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ≀ 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem cossex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcoss3 38432	. 2 ⊢ ≀ 𝐴 = (𝐴 ∘ ◡𝐴)
2		cnvexg 7920	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ◡𝐴 ∈ V)
3		coexg 7925	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ◡𝐴 ∈ V) → (𝐴 ∘ ◡𝐴) ∈ V)
4	2, 3	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∘ ◡𝐴) ∈ V)
5	1, 4	eqeltrid 2838	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ≀ 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459  ^◡ccnv 5653   ∘ ccom 5658   ≀ ccoss 38199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-coss 38429

This theorem is referenced by:  cosscnvex  38438  1cosscnvepresex  38439  1cossxrncnvepresex  38440  cosselrels  38514  elfunsALTVfunALTV  38715  partimeq  38827