Theorem cossex 37891

Description: If 𝐴 is a set then the class of cosets by 𝐴 is a set. (Contributed by Peter Mazsa, 4-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
cossex	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ≀ 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem cossex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcoss3 37886	. 2 ⊢ ≀ 𝐴 = (𝐴 ∘ ◡𝐴)
2		cnvexg 7932	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ◡𝐴 ∈ V)
3		coexg 7937	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ◡𝐴 ∈ V) → (𝐴 ∘ ◡𝐴) ∈ V)
4	2, 3	mpdan 686	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∘ ◡𝐴) ∈ V)
5	1, 4	eqeltrid 2833	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ≀ 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471  ^◡ccnv 5677   ∘ ccom 5682   ≀ ccoss 37648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-coss 37883

This theorem is referenced by:  cosscnvex  37892  1cosscnvepresex  37893  1cossxrncnvepresex  37894  cosselrels  37968  elfunsALTVfunALTV  38169  partimeq  38281