Theorem cossex 38679

Description: If 𝐴 is a set then the class of cosets by 𝐴 is a set. (Contributed by Peter Mazsa, 4-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
cossex	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ≀ 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem cossex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcoss3 38674	. 2 ⊢ ≀ 𝐴 = (𝐴 ∘ ◡𝐴)
2		cnvexg 7866	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ◡𝐴 ∈ V)
3		coexg 7871	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ◡𝐴 ∈ V) → (𝐴 ∘ ◡𝐴) ∈ V)
4	2, 3	mpdan 688	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∘ ◡𝐴) ∈ V)
5	1, 4	eqeltrid 2839	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ≀ 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Vcvv 3439  ^◡ccnv 5622   ∘ ccom 5627   ≀ ccoss 38353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3399  df-v 3441  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-coss 38671

This theorem is referenced by:  cosscnvex  38680  1cosscnvepresex  38681  1cossxrncnvepresex  38682  cosselrels  38745  elfunsALTVfunALTV  38952  partimeq  39082