Theorem cossex 38420

Description: If 𝐴 is a set then the class of cosets by 𝐴 is a set. (Contributed by Peter Mazsa, 4-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
cossex	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ≀ 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem cossex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcoss3 38415	. 2 ⊢ ≀ 𝐴 = (𝐴 ∘ ◡𝐴)
2		cnvexg 7946	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ◡𝐴 ∈ V)
3		coexg 7951	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ◡𝐴 ∈ V) → (𝐴 ∘ ◡𝐴) ∈ V)
4	2, 3	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∘ ◡𝐴) ∈ V)
5	1, 4	eqeltrid 2845	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ≀ 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480  ^◡ccnv 5684   ∘ ccom 5689   ≀ ccoss 38182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-coss 38412

This theorem is referenced by:  cosscnvex  38421  1cosscnvepresex  38422  1cossxrncnvepresex  38423  cosselrels  38497  elfunsALTVfunALTV  38698  partimeq  38810