Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cvlexch.b |
. . . . . 6
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
2 | | cvlexch.l |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
3 | | cvlexch.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
4 | | cvlexch.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
5 | 1, 2, 3, 4 | iscvlat 37831 |
. . . . 5
β’ (πΎ β CvLat β (πΎ β AtLat β§
βπ β π΄ βπ β π΄ βπ₯ β π΅ ((Β¬ π β€ π₯ β§ π β€ (π₯ β¨ π)) β π β€ (π₯ β¨ π)))) |
6 | 5 | simprbi 498 |
. . . 4
β’ (πΎ β CvLat β
βπ β π΄ βπ β π΄ βπ₯ β π΅ ((Β¬ π β€ π₯ β§ π β€ (π₯ β¨ π)) β π β€ (π₯ β¨ π))) |
7 | | breq1 5109 |
. . . . . . . 8
β’ (π = π β (π β€ π₯ β π β€ π₯)) |
8 | 7 | notbid 318 |
. . . . . . 7
β’ (π = π β (Β¬ π β€ π₯ β Β¬ π β€ π₯)) |
9 | | breq1 5109 |
. . . . . . 7
β’ (π = π β (π β€ (π₯ β¨ π) β π β€ (π₯ β¨ π))) |
10 | 8, 9 | anbi12d 632 |
. . . . . 6
β’ (π = π β ((Β¬ π β€ π₯ β§ π β€ (π₯ β¨ π)) β (Β¬ π β€ π₯ β§ π β€ (π₯ β¨ π)))) |
11 | | oveq2 7366 |
. . . . . . 7
β’ (π = π β (π₯ β¨ π) = (π₯ β¨ π)) |
12 | 11 | breq2d 5118 |
. . . . . 6
β’ (π = π β (π β€ (π₯ β¨ π) β π β€ (π₯ β¨ π))) |
13 | 10, 12 | imbi12d 345 |
. . . . 5
β’ (π = π β (((Β¬ π β€ π₯ β§ π β€ (π₯ β¨ π)) β π β€ (π₯ β¨ π)) β ((Β¬ π β€ π₯ β§ π β€ (π₯ β¨ π)) β π β€ (π₯ β¨ π)))) |
14 | | oveq2 7366 |
. . . . . . . 8
β’ (π = π β (π₯ β¨ π) = (π₯ β¨ π)) |
15 | 14 | breq2d 5118 |
. . . . . . 7
β’ (π = π β (π β€ (π₯ β¨ π) β π β€ (π₯ β¨ π))) |
16 | 15 | anbi2d 630 |
. . . . . 6
β’ (π = π β ((Β¬ π β€ π₯ β§ π β€ (π₯ β¨ π)) β (Β¬ π β€ π₯ β§ π β€ (π₯ β¨ π)))) |
17 | | breq1 5109 |
. . . . . 6
β’ (π = π β (π β€ (π₯ β¨ π) β π β€ (π₯ β¨ π))) |
18 | 16, 17 | imbi12d 345 |
. . . . 5
β’ (π = π β (((Β¬ π β€ π₯ β§ π β€ (π₯ β¨ π)) β π β€ (π₯ β¨ π)) β ((Β¬ π β€ π₯ β§ π β€ (π₯ β¨ π)) β π β€ (π₯ β¨ π)))) |
19 | | breq2 5110 |
. . . . . . . 8
β’ (π₯ = π β (π β€ π₯ β π β€ π)) |
20 | 19 | notbid 318 |
. . . . . . 7
β’ (π₯ = π β (Β¬ π β€ π₯ β Β¬ π β€ π)) |
21 | | oveq1 7365 |
. . . . . . . 8
β’ (π₯ = π β (π₯ β¨ π) = (π β¨ π)) |
22 | 21 | breq2d 5118 |
. . . . . . 7
β’ (π₯ = π β (π β€ (π₯ β¨ π) β π β€ (π β¨ π))) |
23 | 20, 22 | anbi12d 632 |
. . . . . 6
β’ (π₯ = π β ((Β¬ π β€ π₯ β§ π β€ (π₯ β¨ π)) β (Β¬ π β€ π β§ π β€ (π β¨ π)))) |
24 | | oveq1 7365 |
. . . . . . 7
β’ (π₯ = π β (π₯ β¨ π) = (π β¨ π)) |
25 | 24 | breq2d 5118 |
. . . . . 6
β’ (π₯ = π β (π β€ (π₯ β¨ π) β π β€ (π β¨ π))) |
26 | 23, 25 | imbi12d 345 |
. . . . 5
β’ (π₯ = π β (((Β¬ π β€ π₯ β§ π β€ (π₯ β¨ π)) β π β€ (π₯ β¨ π)) β ((Β¬ π β€ π β§ π β€ (π β¨ π)) β π β€ (π β¨ π)))) |
27 | 13, 18, 26 | rspc3v 3592 |
. . . 4
β’ ((π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β (βπ β π΄ βπ β π΄ βπ₯ β π΅ ((Β¬ π β€ π₯ β§ π β€ (π₯ β¨ π)) β π β€ (π₯ β¨ π)) β ((Β¬ π β€ π β§ π β€ (π β¨ π)) β π β€ (π β¨ π)))) |
28 | 6, 27 | mpan9 508 |
. . 3
β’ ((πΎ β CvLat β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅)) β ((Β¬ π β€ π β§ π β€ (π β¨ π)) β π β€ (π β¨ π))) |
29 | 28 | exp4b 432 |
. 2
β’ (πΎ β CvLat β ((π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β (Β¬ π β€ π β (π β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π))))) |
30 | 29 | 3imp 1112 |
1
β’ ((πΎ β CvLat β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ Β¬ π β€ π) β (π β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π))) |