Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvlexchb1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvlexchb1 37838
Description: An atomic covering lattice has the exchange property. (Contributed by NM, 16-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvlexch.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvlexch.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cvlexch.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cvlexch.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvlexchb1 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑄)))

Proof of Theorem cvlexchb1
StepHypRef Expression
1 cvllat 37834 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ CvLat β†’ 𝐾 ∈ Lat)
21adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simpr3 1197 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4 simpr2 1196 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
5 cvlexch.b . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 cvlexch.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
75, 6atbase 37797 . . . . . . . . 9 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
84, 7syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
9 cvlexch.l . . . . . . . . 9 ≀ = (leβ€˜πΎ)
10 cvlexch.j . . . . . . . . 9 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
115, 9, 10latlej1 18342 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄))
122, 3, 8, 11syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄))
13123adant3 1133 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄))
1413adantr 482 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄))
15 simpr 486 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄))
16 simpr1 1195 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
175, 6atbase 37797 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
195, 10latjcl 18333 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)
202, 3, 8, 19syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)
215, 9, 10latjle12 18344 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)))
222, 3, 18, 20, 21syl13anc 1373 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)))
23223adant3 1133 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)))
2423adantr 482 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)))
2514, 15, 24mpbi2and 711 . . . 4 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) ≀ (𝑋 ∨ 𝑄))
265, 9, 10latlej1 18342 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃))
272, 3, 18, 26syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃))
28273adant3 1133 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃))
2928adantr 482 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃))
305, 9, 10, 6cvlexch1 37836 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄) β†’ 𝑄 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))
3130imp 408 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑄 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃))
325, 10latjcl 18333 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡)
332, 3, 18, 32syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡)
345, 9, 10latjle12 18344 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃) ∧ 𝑄 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑄) ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))
352, 3, 8, 33, 34syl13anc 1373 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃) ∧ 𝑄 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑄) ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))
36353adant3 1133 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃) ∧ 𝑄 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑄) ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))
3736adantr 482 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃) ∧ 𝑄 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑄) ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))
3829, 31, 37mpbi2and 711 . . . 4 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑄) ≀ (𝑋 ∨ 𝑃))
395, 9latasymb 18336 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 ∨ 𝑃) ≀ (𝑋 ∨ 𝑄) ∧ (𝑋 ∨ 𝑄) ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑄)))
402, 33, 20, 39syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∨ 𝑃) ≀ (𝑋 ∨ 𝑄) ∧ (𝑋 ∨ 𝑄) ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑄)))
41403adant3 1133 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (((𝑋 ∨ 𝑃) ≀ (𝑋 ∨ 𝑄) ∧ (𝑋 ∨ 𝑄) ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑄)))
4241adantr 482 . . . 4 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ (((𝑋 ∨ 𝑃) ≀ (𝑋 ∨ 𝑄) ∧ (𝑋 ∨ 𝑄) ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑄)))
4325, 38, 42mpbi2and 711 . . 3 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑄))
4443ex 414 . 2 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑄)))
455, 9, 10latlej2 18343 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃))
462, 3, 18, 45syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃))
47 breq2 5110 . . . 4 ((𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑄) β†’ (𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃) ↔ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)))
4846, 47syl5ibcom 244 . . 3 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑄) β†’ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)))
49483adant3 1133 . 2 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑄) β†’ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)))
5044, 49impbid 211 1 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  lecple 17145  joincjn 18205  Latclat 18325  Atomscatm 37771  CvLatclc 37773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18189  df-poset 18207  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-lat 18326  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830
This theorem is referenced by:  cvlexchb2  37839  cvlexch4N  37841  cvlatexchb1  37842  cvlcvr1  37847  hlexchb1  37893
  Copyright terms: Public domain W3C validator