Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvlexchb1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvlexchb1 38188
Description: An atomic covering lattice has the exchange property. (Contributed by NM, 16-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvlexch.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvlexch.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cvlexch.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cvlexch.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvlexchb1 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑄)))
Proof of Theorem cvlexchb1
StepHypRef Expression
1 cvllat 38184 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ CvLat β†’ 𝐾 ∈ Lat)
21adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simpr3 1196 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4 simpr2 1195 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
5 cvlexch.b . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 cvlexch.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
75, 6atbase 38147 . . . . . . . . 9 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
84, 7syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
9 cvlexch.l . . . . . . . . 9 ≀ = (leβ€˜πΎ)
10 cvlexch.j . . . . . . . . 9 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
115, 9, 10latlej1 18397 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄))
122, 3, 8, 11syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄))
13123adant3 1132 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄))
1413adantr 481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄))
15 simpr 485 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄))
16 simpr1 1194 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
175, 6atbase 38147 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
195, 10latjcl 18388 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)
202, 3, 8, 19syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)
215, 9, 10latjle12 18399 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)))
222, 3, 18, 20, 21syl13anc 1372 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)))
23223adant3 1132 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)))
2423adantr 481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)))
2514, 15, 24mpbi2and 710 . . . 4 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) ≀ (𝑋 ∨ 𝑄))
265, 9, 10latlej1 18397 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃))
272, 3, 18, 26syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃))
28273adant3 1132 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃))
2928adantr 481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃))
305, 9, 10, 6cvlexch1 38186 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄) β†’ 𝑄 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))
3130imp 407 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑄 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃))
325, 10latjcl 18388 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡)
332, 3, 18, 32syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡)
345, 9, 10latjle12 18399 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃) ∧ 𝑄 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑄) ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))
352, 3, 8, 33, 34syl13anc 1372 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃) ∧ 𝑄 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑄) ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))
36353adant3 1132 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃) ∧ 𝑄 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑄) ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))
3736adantr 481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃) ∧ 𝑄 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑄) ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))
3829, 31, 37mpbi2and 710 . . . 4 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑄) ≀ (𝑋 ∨ 𝑃))
395, 9latasymb 18391 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 ∨ 𝑃) ≀ (𝑋 ∨ 𝑄) ∧ (𝑋 ∨ 𝑄) ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑄)))
402, 33, 20, 39syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∨ 𝑃) ≀ (𝑋 ∨ 𝑄) ∧ (𝑋 ∨ 𝑄) ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑄)))
41403adant3 1132 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (((𝑋 ∨ 𝑃) ≀ (𝑋 ∨ 𝑄) ∧ (𝑋 ∨ 𝑄) ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑄)))
4241adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ (((𝑋 ∨ 𝑃) ≀ (𝑋 ∨ 𝑄) ∧ (𝑋 ∨ 𝑄) ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑄)))
4325, 38, 42mpbi2and 710 . . 3 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑄))
4443ex 413 . 2 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑄)))
455, 9, 10latlej2 18398 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃))
462, 3, 18, 45syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃))
47 breq2 5151 . . . 4 ((𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑄) β†’ (𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃) ↔ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)))
4846, 47syl5ibcom 244 . . 3 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑄) β†’ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)))
49483adant3 1132 . 2 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑄) β†’ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)))
5044, 49impbid 211 1 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  Latclat 18380  Atomscatm 38121  CvLatclc 38123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-lat 18381  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180
This theorem is referenced by:  cvlexchb2  38189  cvlexch4N  38191  cvlatexchb1  38192  cvlcvr1  38197  hlexchb1  38243
  Copyright terms: Public domain W3C validator