Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvlexchb1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvlexchb1 37792
Description: An atomic covering lattice has the exchange property. (Contributed by NM, 16-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvlexch.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvlexch.l = (le‘𝐾)
cvlexch.j = (join‘𝐾)
cvlexch.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvlexchb1 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) → (𝑃 (𝑋 𝑄) ↔ (𝑋 𝑃) = (𝑋 𝑄)))

Proof of Theorem cvlexchb1
StepHypRef Expression
1 cvllat 37788 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ Lat)
21adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simpr3 1196 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵)) → 𝑋𝐵)
4 simpr2 1195 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵)) → 𝑄𝐴)
5 cvlexch.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 cvlexch.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
75, 6atbase 37751 . . . . . . . . 9 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
84, 7syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵)) → 𝑄𝐵)
9 cvlexch.l . . . . . . . . 9 = (le‘𝐾)
10 cvlexch.j . . . . . . . . 9 = (join‘𝐾)
115, 9, 10latlej1 18337 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐵) → 𝑋 (𝑋 𝑄))
122, 3, 8, 11syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵)) → 𝑋 (𝑋 𝑄))
13123adant3 1132 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) → 𝑋 (𝑋 𝑄))
1413adantr 481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑃 (𝑋 𝑄)) → 𝑋 (𝑋 𝑄))
15 simpr 485 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑃 (𝑋 𝑄)) → 𝑃 (𝑋 𝑄))
16 simpr1 1194 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵)) → 𝑃𝐴)
175, 6atbase 37751 . . . . . . . . 9 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵)) → 𝑃𝐵)
195, 10latjcl 18328 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐵) → (𝑋 𝑄) ∈ 𝐵)
202, 3, 8, 19syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵)) → (𝑋 𝑄) ∈ 𝐵)
215, 9, 10latjle12 18339 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐵 ∧ (𝑋 𝑄) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 (𝑋 𝑄) ∧ 𝑃 (𝑋 𝑄)) ↔ (𝑋 𝑃) (𝑋 𝑄)))
222, 3, 18, 20, 21syl13anc 1372 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵)) → ((𝑋 (𝑋 𝑄) ∧ 𝑃 (𝑋 𝑄)) ↔ (𝑋 𝑃) (𝑋 𝑄)))
23223adant3 1132 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) → ((𝑋 (𝑋 𝑄) ∧ 𝑃 (𝑋 𝑄)) ↔ (𝑋 𝑃) (𝑋 𝑄)))
2423adantr 481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑃 (𝑋 𝑄)) → ((𝑋 (𝑋 𝑄) ∧ 𝑃 (𝑋 𝑄)) ↔ (𝑋 𝑃) (𝑋 𝑄)))
2514, 15, 24mpbi2and 710 . . . 4 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑃 (𝑋 𝑄)) → (𝑋 𝑃) (𝑋 𝑄))
265, 9, 10latlej1 18337 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐵) → 𝑋 (𝑋 𝑃))
272, 3, 18, 26syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵)) → 𝑋 (𝑋 𝑃))
28273adant3 1132 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) → 𝑋 (𝑋 𝑃))
2928adantr 481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑃 (𝑋 𝑄)) → 𝑋 (𝑋 𝑃))
305, 9, 10, 6cvlexch1 37790 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) → (𝑃 (𝑋 𝑄) → 𝑄 (𝑋 𝑃)))
3130imp 407 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑃 (𝑋 𝑄)) → 𝑄 (𝑋 𝑃))
325, 10latjcl 18328 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐵) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)
332, 3, 18, 32syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵)) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)
345, 9, 10latjle12 18339 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐵 ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 (𝑋 𝑃) ∧ 𝑄 (𝑋 𝑃)) ↔ (𝑋 𝑄) (𝑋 𝑃)))
352, 3, 8, 33, 34syl13anc 1372 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵)) → ((𝑋 (𝑋 𝑃) ∧ 𝑄 (𝑋 𝑃)) ↔ (𝑋 𝑄) (𝑋 𝑃)))
36353adant3 1132 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) → ((𝑋 (𝑋 𝑃) ∧ 𝑄 (𝑋 𝑃)) ↔ (𝑋 𝑄) (𝑋 𝑃)))
3736adantr 481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑃 (𝑋 𝑄)) → ((𝑋 (𝑋 𝑃) ∧ 𝑄 (𝑋 𝑃)) ↔ (𝑋 𝑄) (𝑋 𝑃)))
3829, 31, 37mpbi2and 710 . . . 4 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑃 (𝑋 𝑄)) → (𝑋 𝑄) (𝑋 𝑃))
395, 9latasymb 18331 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 𝑄) ∈ 𝐵) → (((𝑋 𝑃) (𝑋 𝑄) ∧ (𝑋 𝑄) (𝑋 𝑃)) ↔ (𝑋 𝑃) = (𝑋 𝑄)))
402, 33, 20, 39syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵)) → (((𝑋 𝑃) (𝑋 𝑄) ∧ (𝑋 𝑄) (𝑋 𝑃)) ↔ (𝑋 𝑃) = (𝑋 𝑄)))
41403adant3 1132 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) → (((𝑋 𝑃) (𝑋 𝑄) ∧ (𝑋 𝑄) (𝑋 𝑃)) ↔ (𝑋 𝑃) = (𝑋 𝑄)))
4241adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑃 (𝑋 𝑄)) → (((𝑋 𝑃) (𝑋 𝑄) ∧ (𝑋 𝑄) (𝑋 𝑃)) ↔ (𝑋 𝑃) = (𝑋 𝑄)))
4325, 38, 42mpbi2and 710 . . 3 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑃 (𝑋 𝑄)) → (𝑋 𝑃) = (𝑋 𝑄))
4443ex 413 . 2 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) → (𝑃 (𝑋 𝑄) → (𝑋 𝑃) = (𝑋 𝑄)))
455, 9, 10latlej2 18338 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐵) → 𝑃 (𝑋 𝑃))
462, 3, 18, 45syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵)) → 𝑃 (𝑋 𝑃))
47 breq2 5109 . . . 4 ((𝑋 𝑃) = (𝑋 𝑄) → (𝑃 (𝑋 𝑃) ↔ 𝑃 (𝑋 𝑄)))
4846, 47syl5ibcom 244 . . 3 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵)) → ((𝑋 𝑃) = (𝑋 𝑄) → 𝑃 (𝑋 𝑄)))
49483adant3 1132 . 2 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) → ((𝑋 𝑃) = (𝑋 𝑄) → 𝑃 (𝑋 𝑄)))
5044, 49impbid 211 1 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) → (𝑃 (𝑋 𝑄) ↔ (𝑋 𝑃) = (𝑋 𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  joincjn 18200  Latclat 18320  Atomscatm 37725  CvLatclc 37727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-proset 18184  df-poset 18202  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-lat 18321  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784
This theorem is referenced by:  cvlexchb2  37793  cvlexch4N  37795  cvlatexchb1  37796  cvlcvr1  37801  hlexchb1  37847
  Copyright terms: Public domain W3C validator