Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvlexchb1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvlexchb1 38713
Description: An atomic covering lattice has the exchange property. (Contributed by NM, 16-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvlexch.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvlexch.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cvlexch.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cvlexch.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvlexchb1 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑄)))
Proof of Theorem cvlexchb1
StepHypRef Expression
1 cvllat 38709 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ CvLat β†’ 𝐾 ∈ Lat)
21adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simpr3 1193 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4 simpr2 1192 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
5 cvlexch.b . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 cvlexch.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
75, 6atbase 38672 . . . . . . . . 9 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
84, 7syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
9 cvlexch.l . . . . . . . . 9 ≀ = (leβ€˜πΎ)
10 cvlexch.j . . . . . . . . 9 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
115, 9, 10latlej1 18413 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄))
122, 3, 8, 11syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄))
13123adant3 1129 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄))
1413adantr 480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄))
15 simpr 484 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄))
16 simpr1 1191 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
175, 6atbase 38672 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
195, 10latjcl 18404 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)
202, 3, 8, 19syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)
215, 9, 10latjle12 18415 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)))
222, 3, 18, 20, 21syl13anc 1369 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)))
23223adant3 1129 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)))
2423adantr 480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)))
2514, 15, 24mpbi2and 709 . . . 4 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) ≀ (𝑋 ∨ 𝑄))
265, 9, 10latlej1 18413 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃))
272, 3, 18, 26syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃))
28273adant3 1129 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃))
2928adantr 480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃))
305, 9, 10, 6cvlexch1 38711 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄) β†’ 𝑄 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))
3130imp 406 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑄 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃))
325, 10latjcl 18404 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡)
332, 3, 18, 32syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡)
345, 9, 10latjle12 18415 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃) ∧ 𝑄 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑄) ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))
352, 3, 8, 33, 34syl13anc 1369 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃) ∧ 𝑄 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑄) ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))
36353adant3 1129 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃) ∧ 𝑄 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑄) ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))
3736adantr 480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃) ∧ 𝑄 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑄) ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))
3829, 31, 37mpbi2and 709 . . . 4 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑄) ≀ (𝑋 ∨ 𝑃))
395, 9latasymb 18407 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 ∨ 𝑃) ≀ (𝑋 ∨ 𝑄) ∧ (𝑋 ∨ 𝑄) ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑄)))
402, 33, 20, 39syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∨ 𝑃) ≀ (𝑋 ∨ 𝑄) ∧ (𝑋 ∨ 𝑄) ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑄)))
41403adant3 1129 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (((𝑋 ∨ 𝑃) ≀ (𝑋 ∨ 𝑄) ∧ (𝑋 ∨ 𝑄) ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑄)))
4241adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ (((𝑋 ∨ 𝑃) ≀ (𝑋 ∨ 𝑄) ∧ (𝑋 ∨ 𝑄) ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑄)))
4325, 38, 42mpbi2and 709 . . 3 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑄))
4443ex 412 . 2 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑄)))
455, 9, 10latlej2 18414 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃))
462, 3, 18, 45syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃))
47 breq2 5145 . . . 4 ((𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑄) β†’ (𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃) ↔ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)))
4846, 47syl5ibcom 244 . . 3 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑄) β†’ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)))
49483adant3 1129 . 2 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑄) β†’ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄)))
5044, 49impbid 211 1 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ≀ (𝑋 ∨ 𝑄) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  joincjn 18276  Latclat 18396  Atomscatm 38646  CvLatclc 38648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18260  df-poset 18278  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-lat 18397  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705
This theorem is referenced by:  cvlexchb2  38714  cvlexch4N  38716  cvlatexchb1  38717  cvlcvr1  38722  hlexchb1  38768
  Copyright terms: Public domain W3C validator