Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvlexchb1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvlexchb1 35908
Description: An atomic covering lattice has the exchange property. (Contributed by NM, 16-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvlexch.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvlexch.l = (le‘𝐾)
cvlexch.j = (join‘𝐾)
cvlexch.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvlexchb1 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) → (𝑃 (𝑋 𝑄) ↔ (𝑋 𝑃) = (𝑋 𝑄)))

Proof of Theorem cvlexchb1
StepHypRef Expression
1 cvllat 35904 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ Lat)
21adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simpr3 1176 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵)) → 𝑋𝐵)
4 simpr2 1175 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵)) → 𝑄𝐴)
5 cvlexch.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 cvlexch.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
75, 6atbase 35867 . . . . . . . . 9 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
84, 7syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵)) → 𝑄𝐵)
9 cvlexch.l . . . . . . . . 9 = (le‘𝐾)
10 cvlexch.j . . . . . . . . 9 = (join‘𝐾)
115, 9, 10latlej1 17528 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐵) → 𝑋 (𝑋 𝑄))
122, 3, 8, 11syl3anc 1351 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵)) → 𝑋 (𝑋 𝑄))
13123adant3 1112 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) → 𝑋 (𝑋 𝑄))
1413adantr 473 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑃 (𝑋 𝑄)) → 𝑋 (𝑋 𝑄))
15 simpr 477 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑃 (𝑋 𝑄)) → 𝑃 (𝑋 𝑄))
16 simpr1 1174 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵)) → 𝑃𝐴)
175, 6atbase 35867 . . . . . . . . 9 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵)) → 𝑃𝐵)
195, 10latjcl 17519 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐵) → (𝑋 𝑄) ∈ 𝐵)
202, 3, 8, 19syl3anc 1351 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵)) → (𝑋 𝑄) ∈ 𝐵)
215, 9, 10latjle12 17530 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐵 ∧ (𝑋 𝑄) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 (𝑋 𝑄) ∧ 𝑃 (𝑋 𝑄)) ↔ (𝑋 𝑃) (𝑋 𝑄)))
222, 3, 18, 20, 21syl13anc 1352 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵)) → ((𝑋 (𝑋 𝑄) ∧ 𝑃 (𝑋 𝑄)) ↔ (𝑋 𝑃) (𝑋 𝑄)))
23223adant3 1112 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) → ((𝑋 (𝑋 𝑄) ∧ 𝑃 (𝑋 𝑄)) ↔ (𝑋 𝑃) (𝑋 𝑄)))
2423adantr 473 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑃 (𝑋 𝑄)) → ((𝑋 (𝑋 𝑄) ∧ 𝑃 (𝑋 𝑄)) ↔ (𝑋 𝑃) (𝑋 𝑄)))
2514, 15, 24mpbi2and 699 . . . 4 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑃 (𝑋 𝑄)) → (𝑋 𝑃) (𝑋 𝑄))
265, 9, 10latlej1 17528 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐵) → 𝑋 (𝑋 𝑃))
272, 3, 18, 26syl3anc 1351 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵)) → 𝑋 (𝑋 𝑃))
28273adant3 1112 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) → 𝑋 (𝑋 𝑃))
2928adantr 473 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑃 (𝑋 𝑄)) → 𝑋 (𝑋 𝑃))
305, 9, 10, 6cvlexch1 35906 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) → (𝑃 (𝑋 𝑄) → 𝑄 (𝑋 𝑃)))
3130imp 398 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑃 (𝑋 𝑄)) → 𝑄 (𝑋 𝑃))
325, 10latjcl 17519 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐵) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)
332, 3, 18, 32syl3anc 1351 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵)) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)
345, 9, 10latjle12 17530 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐵 ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 (𝑋 𝑃) ∧ 𝑄 (𝑋 𝑃)) ↔ (𝑋 𝑄) (𝑋 𝑃)))
352, 3, 8, 33, 34syl13anc 1352 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵)) → ((𝑋 (𝑋 𝑃) ∧ 𝑄 (𝑋 𝑃)) ↔ (𝑋 𝑄) (𝑋 𝑃)))
36353adant3 1112 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) → ((𝑋 (𝑋 𝑃) ∧ 𝑄 (𝑋 𝑃)) ↔ (𝑋 𝑄) (𝑋 𝑃)))
3736adantr 473 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑃 (𝑋 𝑄)) → ((𝑋 (𝑋 𝑃) ∧ 𝑄 (𝑋 𝑃)) ↔ (𝑋 𝑄) (𝑋 𝑃)))
3829, 31, 37mpbi2and 699 . . . 4 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑃 (𝑋 𝑄)) → (𝑋 𝑄) (𝑋 𝑃))
395, 9latasymb 17522 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 𝑄) ∈ 𝐵) → (((𝑋 𝑃) (𝑋 𝑄) ∧ (𝑋 𝑄) (𝑋 𝑃)) ↔ (𝑋 𝑃) = (𝑋 𝑄)))
402, 33, 20, 39syl3anc 1351 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵)) → (((𝑋 𝑃) (𝑋 𝑄) ∧ (𝑋 𝑄) (𝑋 𝑃)) ↔ (𝑋 𝑃) = (𝑋 𝑄)))
41403adant3 1112 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) → (((𝑋 𝑃) (𝑋 𝑄) ∧ (𝑋 𝑄) (𝑋 𝑃)) ↔ (𝑋 𝑃) = (𝑋 𝑄)))
4241adantr 473 . . . 4 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑃 (𝑋 𝑄)) → (((𝑋 𝑃) (𝑋 𝑄) ∧ (𝑋 𝑄) (𝑋 𝑃)) ↔ (𝑋 𝑃) = (𝑋 𝑄)))
4325, 38, 42mpbi2and 699 . . 3 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑃 (𝑋 𝑄)) → (𝑋 𝑃) = (𝑋 𝑄))
4443ex 405 . 2 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) → (𝑃 (𝑋 𝑄) → (𝑋 𝑃) = (𝑋 𝑄)))
455, 9, 10latlej2 17529 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐵) → 𝑃 (𝑋 𝑃))
462, 3, 18, 45syl3anc 1351 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵)) → 𝑃 (𝑋 𝑃))
47 breq2 4933 . . . 4 ((𝑋 𝑃) = (𝑋 𝑄) → (𝑃 (𝑋 𝑃) ↔ 𝑃 (𝑋 𝑄)))
4846, 47syl5ibcom 237 . . 3 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵)) → ((𝑋 𝑃) = (𝑋 𝑄) → 𝑃 (𝑋 𝑄)))
49483adant3 1112 . 2 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) → ((𝑋 𝑃) = (𝑋 𝑄) → 𝑃 (𝑋 𝑄)))
5044, 49impbid 204 1 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) → (𝑃 (𝑋 𝑄) ↔ (𝑋 𝑃) = (𝑋 𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050   class class class wbr 4929  cfv 6188  (class class class)co 6976  Basecbs 16339  lecple 16428  joincjn 17412  Latclat 17513  Atomscatm 35841  CvLatclc 35843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-proset 17396  df-poset 17414  df-lub 17442  df-glb 17443  df-join 17444  df-meet 17445  df-lat 17514  df-ats 35845  df-atl 35876  df-cvlat 35900
This theorem is referenced by:  cvlexchb2  35909  cvlexch4N  35911  cvlatexchb1  35912  cvlcvr1  35917  hlexchb1  35962
  Copyright terms: Public domain W3C validator