Theorem rspc3v 3595

Description: 3-variable restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 10-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc3v.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
rspc3v.2	⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜒 ↔ 𝜃))
rspc3v.3	⊢ (𝑧 = 𝐶 → (𝜃 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rspc3v	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑇 𝜑 → 𝜓))

Distinct variable groups:   𝜓,𝑧   𝜒,𝑥   𝜃,𝑦   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧   𝑧,𝐶   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧)   𝜓(𝑥, 𝑦)   𝜒(𝑦, 𝑧)   𝜃(𝑥, 𝑧)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥, 𝑦)   𝑅(𝑦, 𝑧)   𝑆(𝑧)

Proof of Theorem rspc3v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspc3v.1	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
2	1	ralbidv 3187	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑧 ∈ 𝑇 𝜑 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑇 𝜒))
3		rspc3v.2	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜒 ↔ 𝜃))
4	3	ralbidv 3187	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (∀𝑧 ∈ 𝑇 𝜒 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑇 𝜃))
5	2, 4	rspc2v 3590	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑇 𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑇 𝜃))
6		rspc3v.3	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (𝜃 ↔ 𝜓))
7	6	rspcv 3575	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑇 → (∀𝑧 ∈ 𝑇 𝜃 → 𝜓))
8	5, 7	sylan9 517	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑇 𝜑 → 𝜓))
9	8	3impa 1127	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑇 𝜑 → 𝜓))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-3an 1105  df-tru 1573  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079

This theorem is used by:  rspc3dv  3598  rspc4v  3599  pocl  5575  swopolem  5577  isopolem  7350  caovassg  7616  caovcang  7619  caovordig  7623  caovordg  7625  caovdig  7632  caovdirg  7635  caofass  7722  caoftrn  7723  frpoins3xp3g  8143  prslem  18391  posi  18411  latdisdlem  18590  dlatmjdi  18617  sgrpass  18833  gaass  19430  omndadd  20261  rngdi  20301  rngdir  20302  o2timesd  20355  rglcom4d  20356  islmodd  21056  rmodislmodlem  21119  rmodislmod  21120  lsscl  21132  assalem  22078  psmettri2  24541  xmettri2  24572  addsproplem1  28242  addsprop  28249  axtgcgrid  28812  axtg5seg  28814  axtgpasch  28816  axtgupdim2  28820  axtgeucl  28821  tgdim01  28857  f1otrgitv  29334  grpoass  30992  vcdi  31054  vcdir  31055  vcass  31056  lnolin  31243  lnopl  32403  lnfnl  32420  axtgupdim2ALTV  35184  rngodi  38662  rngodir  38663  rngoass  38664  lfli  39942  cvlexch1  40209  isthincd2lem2  50369