Theorem rspc3v 3592

Description: 3-variable restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 10-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc3v.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
rspc3v.2	⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜒 ↔ 𝜃))
rspc3v.3	⊢ (𝑧 = 𝐶 → (𝜃 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rspc3v	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑇 𝜑 → 𝜓))

Distinct variable groups:   𝜓,𝑧   𝜒,𝑥   𝜃,𝑦   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧   𝑧,𝐶   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧)   𝜓(𝑥, 𝑦)   𝜒(𝑦, 𝑧)   𝜃(𝑥, 𝑧)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥, 𝑦)   𝑅(𝑦, 𝑧)   𝑆(𝑧)

Proof of Theorem rspc3v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspc3v.1	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
2	1	ralbidv 3186	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑧 ∈ 𝑇 𝜑 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑇 𝜒))
3		rspc3v.2	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜒 ↔ 𝜃))
4	3	ralbidv 3186	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (∀𝑧 ∈ 𝑇 𝜒 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑇 𝜃))
5	2, 4	rspc2v 3587	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑇 𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑇 𝜃))
6		rspc3v.3	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (𝜃 ↔ 𝜓))
7	6	rspcv 3573	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑇 → (∀𝑧 ∈ 𝑇 𝜃 → 𝜓))
8	5, 7	sylan9 517	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑇 𝜑 → 𝜓))
9	8	3impa 1127	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑇 𝜑 → 𝜓))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-3an 1105  df-tru 1573  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3078

This theorem is used by:  rspc3dv  3595  rspc4v  3596  pocl  5567  swopolem  5569  isopolem  7345  caovassg  7611  caovcang  7614  caovordig  7618  caovordg  7620  caovdig  7627  caovdirg  7630  caofass  7722  caoftrn  7723  frpoins3xp3g  8142  prslem  18451  posi  18471  latdisdlem  18650  dlatmjdi  18677  sgrpass  18894  gaass  19491  omndadd  20322  rngdi  20362  rngdir  20363  o2timesd  20416  rglcom4d  20417  islmodd  21121  rmodislmodlem  21184  rmodislmod  21185  lsscl  21197  assalem  22145  psmettri2  24608  xmettri2  24639  flt4ALT  27974  fltoprm  27977  addsproplem1  28337  addsprop  28344  axtgcgrid  28907  axtg5seg  28909  axtgpasch  28911  axtgupdim2  28915  axtgeucl  28916  tgdim01  28952  f1otrgitv  29429  grpoass  31087  vcdi  31149  vcdir  31150  vcass  31151  lnolin  31338  lnopl  32498  lnfnl  32515  axtgupdim2ALTV  35280  rngodi  38806  rngodir  38807  rngoass  38808  lfli  40086  cvlexch1  40353  isthincd2lem2  50487