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Theorem cvlcvr1 39037
Description: The covering property. Proposition 1(ii) in [Kalmbach] p. 140 (and its converse). (chcv1 32288 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvlcvr1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvlcvr1.l = (le‘𝐾)
cvlcvr1.j = (join‘𝐾)
cvlcvr1.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvlcvr1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvlcvr1 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑃)))

Proof of Theorem cvlcvr1
Dummy variables 𝑧 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp13 1202 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝐾 ∈ CvLat)
2 cvllat 39024 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ Lat)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simp2 1134 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝑋𝐵)
5 cvlcvr1.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 cvlcvr1.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
75, 6atbase 38987 . . . . . . 7 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
873ad2ant3 1132 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝑃𝐵)
9 cvlcvr1.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
10 eqid 2726 . . . . . . 7 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
11 cvlcvr1.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
125, 9, 10, 11latnle 18498 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐵) → (¬ 𝑃 𝑋𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑃)))
133, 4, 8, 12syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑋𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑃)))
1413biimpd 228 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑋𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑃)))
15 simpl13 1247 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝐾 ∈ CvLat)
1615, 2syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝐾 ∈ Lat)
17 simprll 777 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝑧𝐵)
18 simpl2 1189 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝑋𝐵)
19 simpl3 1190 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝑃𝐴)
2019, 7syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝑃𝐵)
215, 11latjcl 18464 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐵) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)
2216, 18, 20, 21syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)
23 simprrr 780 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝑧 (𝑋 𝑃))
24 simprrl 779 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑧)
25 simpl11 1245 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝐾 ∈ OML)
26 simpl12 1246 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝐾 ∈ CLat)
27 cvlatl 39023 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ AtLat)
2815, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝐾 ∈ AtLat)
295, 9, 10, 6atlrelat1 39019 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑧𝐵) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑋𝑞 𝑧)))
3025, 26, 28, 18, 17, 29syl311anc 1381 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑋𝑞 𝑧)))
3124, 30mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑋𝑞 𝑧))
3216adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝐾 ∈ Lat)
335, 6atbase 38987 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞𝐴𝑞𝐵)
3433ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑞𝐵)
3517adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑧𝐵)
3622adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)
37 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑞 𝑧)
3823adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑧 (𝑋 𝑃))
395, 9, 32, 34, 35, 36, 37, 38lattrd 18471 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑞 (𝑋 𝑃))
4015adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝐾 ∈ CvLat)
41 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑞𝐴)
42 simpll3 1211 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑃𝐴)
43 simpll2 1210 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑋𝐵)
44 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → ¬ 𝑞 𝑋)
455, 9, 11, 6cvlexch1 39026 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑞𝐴𝑃𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → (𝑞 (𝑋 𝑃) → 𝑃 (𝑋 𝑞)))
4640, 41, 42, 43, 44, 45syl131anc 1380 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → (𝑞 (𝑋 𝑃) → 𝑃 (𝑋 𝑞)))
4739, 46mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑃 (𝑋 𝑞))
48 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → ¬ 𝑃 𝑋)
4948adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → ¬ 𝑃 𝑋)
505, 9, 11, 6cvlexchb1 39028 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑞𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) → (𝑃 (𝑋 𝑞) ↔ (𝑋 𝑃) = (𝑋 𝑞)))
5140, 42, 41, 43, 49, 50syl131anc 1380 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → (𝑃 (𝑋 𝑞) ↔ (𝑋 𝑃) = (𝑋 𝑞)))
5247, 51mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → (𝑋 𝑃) = (𝑋 𝑞))
539, 10pltle 18358 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑧𝐵) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑋 𝑧))
5425, 18, 17, 53syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑋 𝑧))
5524, 54mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝑋 𝑧)
5655adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑋 𝑧)
575, 9, 11latjle12 18475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑞𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑋 𝑧𝑞 𝑧) ↔ (𝑋 𝑞) 𝑧))
5832, 43, 34, 35, 57syl13anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → ((𝑋 𝑧𝑞 𝑧) ↔ (𝑋 𝑞) 𝑧))
5956, 37, 58mpbi2and 710 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → (𝑋 𝑞) 𝑧)
6052, 59eqbrtrd 5175 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → (𝑋 𝑃) 𝑧)
6131, 60rexlimddv 3151 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → (𝑋 𝑃) 𝑧)
625, 9, 16, 17, 22, 23, 61latasymd 18470 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝑧 = (𝑋 𝑃))
6362exp44 436 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑧𝐵 → (¬ 𝑃 𝑋 → ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 𝑃)))))
6463imp 405 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (¬ 𝑃 𝑋 → ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 𝑃))))
6564ralrimdva 3144 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑋 → ∀𝑧𝐵 ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 𝑃))))
6614, 65jcad 511 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑋 → (𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑃) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 𝑃)))))
673, 4, 8, 21syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)
68 cvlcvr1.c . . . . 5 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
695, 9, 10, 68cvrval2 38972 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑃) ↔ (𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑃) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 𝑃)))))
703, 4, 67, 69syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑃) ↔ (𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑃) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 𝑃)))))
7166, 70sylibrd 258 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑃)))
723adantr 479 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 𝑃)) → 𝐾 ∈ Lat)
73 simpl2 1189 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 𝑃)) → 𝑋𝐵)
7467adantr 479 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 𝑃)) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)
75 simpr 483 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 𝑃)) → 𝑋𝐶(𝑋 𝑃))
765, 10, 68cvrlt 38968 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 𝑃)) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑃))
7772, 73, 74, 75, 76syl31anc 1370 . . . 4 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 𝑃)) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑃))
7877ex 411 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑃) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑃)))
7978, 13sylibrd 258 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑃) → ¬ 𝑃 𝑋))
8071, 79impbid 211 1 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  wrex 3060   class class class wbr 5153  cfv 6554  (class class class)co 7424  Basecbs 17213  lecple 17273  ltcplt 18333  joincjn 18336  Latclat 18456  CLatccla 18523  OMLcoml 38873  ccvr 38960  Atomscatm 38961  AtLatcal 38962  CvLatclc 38963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-proset 18320  df-poset 18338  df-plt 18355  df-lub 18371  df-glb 18372  df-join 18373  df-meet 18374  df-p0 18450  df-lat 18457  df-clat 18524  df-oposet 38874  df-ol 38876  df-oml 38877  df-covers 38964  df-ats 38965  df-atl 38996  df-cvlat 39020
This theorem is referenced by:  cvlcvrp  39038  cvr1  39109
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