cvlcvr1 - Mathbox for Norm Megill

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Theorem cvlcvr1 37801

Description: The covering property. Proposition 1(ii) in [Kalmbach] p. 140 (and its converse). (chcv1 31297 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cvlcvr1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvlcvr1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cvlcvr1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvlcvr1.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvlcvr1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

**Assertion**
Ref	Expression
cvlcvr1	⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))

Proof of Theorem cvlcvr1 Dummy variables 𝑧 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp13 1205	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ CvLat)
2		cvllat 37788	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ Lat)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		cvlcvr1.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		cvlcvr1.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	5, 6	atbase 37751	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
8	7	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵)
9		cvlcvr1.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
10		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
11		cvlcvr1.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
12	5, 9, 10, 11	latnle 18362	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑃)))
13	3, 4, 8, 12	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑃)))
14	13	biimpd 228	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑃)))
15		simpl13 1250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝐾 ∈ CvLat)
16	15, 2	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝐾 ∈ Lat)
17		simprll 777	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
18		simpl2 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
19		simpl3 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
20	19, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝑃 ∈ 𝐵)
21	5, 11	latjcl 18328	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵)
22	16, 18, 20, 21	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵)
23		simprrr 780	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃))
24		simprrl 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑧)
25		simpl11 1248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝐾 ∈ OML)
26		simpl12 1249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝐾 ∈ CLat)
27		cvlatl 37787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ AtLat)
28	15, 27	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝐾 ∈ AtLat)
29	5, 9, 10, 6	atlrelat1 37783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧)))
30	25, 26, 28, 18, 17, 29	syl311anc 1384	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧)))
31	24, 30	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))
32	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → 𝐾 ∈ Lat)
33	5, 6	atbase 37751	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ 𝐵)
34	33	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → 𝑞 ∈ 𝐵)
35	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
36	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵)
37		simprrr 780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → 𝑞 ≤ 𝑧)
38	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃))
39	5, 9, 32, 34, 35, 36, 37, 38	lattrd 18335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → 𝑞 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃))
40	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → 𝐾 ∈ CvLat)
41		simprl 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → 𝑞 ∈ 𝐴)
42		simpll3 1214	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
43		simpll2 1213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
44		simprrl 779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → ¬ 𝑞 ≤ 𝑋)
45	5, 9, 11, 6	cvlexch1 37790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → (𝑞 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃) → 𝑃 ≤ (𝑋 ∨ 𝑞)))
46	40, 41, 42, 43, 44, 45	syl131anc 1383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → (𝑞 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃) → 𝑃 ≤ (𝑋 ∨ 𝑞)))
47	39, 46	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → 𝑃 ≤ (𝑋 ∨ 𝑞))
48		simprlr 778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)
50	5, 9, 11, 6	cvlexchb1 37792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) → (𝑃 ≤ (𝑋 ∨ 𝑞) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑞)))
51	40, 42, 41, 43, 49, 50	syl131anc 1383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → (𝑃 ≤ (𝑋 ∨ 𝑞) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑞)))
52	47, 51	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑞))
53	9, 10	pltle 18222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 → 𝑋 ≤ 𝑧))
54	25, 18, 17, 53	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 → 𝑋 ≤ 𝑧))
55	24, 54	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝑋 ≤ 𝑧)
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → 𝑋 ≤ 𝑧)
57	5, 9, 11	latjle12 18339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑧 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧) ↔ (𝑋 ∨ 𝑞) ≤ 𝑧))
58	32, 43, 34, 35, 57	syl13anc 1372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → ((𝑋 ≤ 𝑧 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧) ↔ (𝑋 ∨ 𝑞) ≤ 𝑧))
59	56, 37, 58	mpbi2and 710	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → (𝑋 ∨ 𝑞) ≤ 𝑧)
60	52, 59	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → (𝑋 ∨ 𝑃) ≤ 𝑧)
61	31, 60	rexlimddv 3158	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → (𝑋 ∨ 𝑃) ≤ 𝑧)
62	5, 9, 16, 17, 22, 23, 61	latasymd 18334	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃))
63	62	exp44 438	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 → ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃)))))
64	63	imp 407	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 → ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃))))
65	64	ralrimdva 3151	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃))))
66	14, 65	jcad 513	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 → (𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑃) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃)))))
67	3, 4, 8, 21	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵)
68		cvlcvr1.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
69	5, 9, 10, 68	cvrval2 37736	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃) ↔ (𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑃) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃)))))
70	3, 4, 67, 69	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃) ↔ (𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑃) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃)))))
71	66, 70	sylibrd 258	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))
72	3	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)) → 𝐾 ∈ Lat)
73		simpl2 1192	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
74	67	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)) → (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵)
75		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)) → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃))
76	5, 10, 68	cvrlt 37732	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑃))
77	72, 73, 74, 75, 76	syl31anc 1373	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑃))
78	77	ex 413	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑃)))
79	78, 13	sylibrd 258	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑋))
80	71, 79	impbid 211	1 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ∀wral 3064 ∃wrex 3073 class class class wbr 5105 ‘cfv 6496 (class class class)co 7357 Basecbs 17083 lecple 17140 ltcplt 18197 joincjn 18200 Latclat 18320 CLatccla 18387 OMLcoml 37637 ⋖ ccvr 37724 Atomscatm 37725 AtLatcal 37726 CvLatclc 37727

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2707 ax-rep 5242 ax-sep 5256 ax-nul 5263 ax-pow 5320 ax-pr 5384 ax-un 7672

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-ral 3065 df-rex 3074 df-reu 3354 df-rab 3408 df-v 3447 df-sbc 3740 df-csb 3856 df-dif 3913 df-un 3915 df-in 3917 df-ss 3927 df-nul 4283 df-if 4487 df-pw 4562 df-sn 4587 df-pr 4589 df-op 4593 df-uni 4866 df-iun 4956 df-br 5106 df-opab 5168 df-mpt 5189 df-id 5531 df-xp 5639 df-rel 5640 df-cnv 5641 df-co 5642 df-dm 5643 df-rn 5644 df-res 5645 df-ima 5646 df-iota 6448 df-fun 6498 df-fn 6499 df-f 6500 df-f1 6501 df-fo 6502 df-f1o 6503 df-fv 6504 df-riota 7313 df-ov 7360 df-oprab 7361 df-proset 18184 df-poset 18202 df-plt 18219 df-lub 18235 df-glb 18236 df-join 18237 df-meet 18238 df-p0 18314 df-lat 18321 df-clat 18388 df-oposet 37638 df-ol 37640 df-oml 37641 df-covers 37728 df-ats 37729 df-atl 37760 df-cvlat 37784

This theorem is referenced by: cvlcvrp 37802 cvr1 37873

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