Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvlcvr1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvlcvr1 38721
Description: The covering property. Proposition 1(ii) in [Kalmbach] p. 140 (and its converse). (chcv1 32112 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvlcvr1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvlcvr1.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cvlcvr1.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cvlcvr1.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
cvlcvr1.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvlcvr1 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)))
Proof of Theorem cvlcvr1
Dummy variables 𝑧 π‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp13 1202 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
2 cvllat 38708 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ CvLat β†’ 𝐾 ∈ Lat)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 simp2 1134 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5 cvlcvr1.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 cvlcvr1.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
75, 6atbase 38671 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
873ad2ant3 1132 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
9 cvlcvr1.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
10 eqid 2726 . . . . . . 7 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
11 cvlcvr1.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
125, 9, 10, 11latnle 18435 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑃)))
133, 4, 8, 12syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑃)))
1413biimpd 228 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑃)))
15 simpl13 1247 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
1615, 2syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
17 simprll 776 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
18 simpl2 1189 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
19 simpl3 1190 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
2019, 7syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
215, 11latjcl 18401 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡)
2216, 18, 20, 21syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡)
23 simprrr 779 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃))
24 simprrl 778 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧)
25 simpl11 1245 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝐾 ∈ OML)
26 simpl12 1246 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝐾 ∈ CLat)
27 cvlatl 38707 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ CvLat β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
2815, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
295, 9, 10, 6atlrelat1 38703 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧)))
3025, 26, 28, 18, 17, 29syl311anc 1381 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧)))
3124, 30mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))
3216adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
335, 6atbase 38671 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
3433ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
3517adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
3622adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡)
37 simprrr 779 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ π‘ž ≀ 𝑧)
3823adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃))
395, 9, 32, 34, 35, 36, 37, 38lattrd 18408 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ π‘ž ≀ (𝑋 ∨ 𝑃))
4015adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
41 simprl 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
42 simpll3 1211 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
43 simpll2 1210 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
44 simprrl 778 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋)
455, 9, 11, 6cvlexch1 38710 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋) β†’ (π‘ž ≀ (𝑋 ∨ 𝑃) β†’ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ π‘ž)))
4640, 41, 42, 43, 44, 45syl131anc 1380 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ (π‘ž ≀ (𝑋 ∨ 𝑃) β†’ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ π‘ž)))
4739, 46mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ π‘ž))
48 simprlr 777 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)
4948adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)
505, 9, 11, 6cvlexchb1 38712 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ≀ (𝑋 ∨ π‘ž) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ π‘ž)))
5140, 42, 41, 43, 49, 50syl131anc 1380 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ (𝑃 ≀ (𝑋 ∨ π‘ž) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ π‘ž)))
5247, 51mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ π‘ž))
539, 10pltle 18295 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑋 ≀ 𝑧))
5425, 18, 17, 53syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑋 ≀ 𝑧))
5524, 54mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝑋 ≀ 𝑧)
5655adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ 𝑋 ≀ 𝑧)
575, 9, 11latjle12 18412 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ 𝑧 ∧ π‘ž ≀ 𝑧) ↔ (𝑋 ∨ π‘ž) ≀ 𝑧))
5832, 43, 34, 35, 57syl13anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ ((𝑋 ≀ 𝑧 ∧ π‘ž ≀ 𝑧) ↔ (𝑋 ∨ π‘ž) ≀ 𝑧))
5956, 37, 58mpbi2and 709 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ (𝑋 ∨ π‘ž) ≀ 𝑧)
6052, 59eqbrtrd 5163 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) ≀ 𝑧)
6131, 60rexlimddv 3155 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) ≀ 𝑧)
625, 9, 16, 17, 22, 23, 61latasymd 18407 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃))
6362exp44 437 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 β†’ ((𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) β†’ 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃)))))
6463imp 406 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 β†’ ((𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) β†’ 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃))))
6564ralrimdva 3148 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) β†’ 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃))))
6614, 65jcad 512 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 β†’ (𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑃) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) β†’ 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃)))))
673, 4, 8, 21syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡)
68 cvlcvr1.c . . . . 5 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
695, 9, 10, 68cvrval2 38656 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃) ↔ (𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑃) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) β†’ 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃)))))
703, 4, 67, 69syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃) ↔ (𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑃) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) β†’ 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃)))))
7166, 70sylibrd 259 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)))
723adantr 480 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
73 simpl2 1189 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
7467adantr 480 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡)
75 simpr 484 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃))
765, 10, 68cvrlt 38652 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)) β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑃))
7772, 73, 74, 75, 76syl31anc 1370 . . . 4 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)) β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑃))
7877ex 412 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃) β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑃)))
7978, 13sylibrd 259 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋))
8071, 79impbid 211 1 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  lecple 17210  ltcplt 18270  joincjn 18273  Latclat 18393  CLatccla 18460  OMLcoml 38557   β‹– ccvr 38644  Atomscatm 38645  AtLatcal 38646  CvLatclc 38647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-proset 18257  df-poset 18275  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-lat 18394  df-clat 18461  df-oposet 38558  df-ol 38560  df-oml 38561  df-covers 38648  df-ats 38649  df-atl 38680  df-cvlat 38704
This theorem is referenced by:  cvlcvrp  38722  cvr1  38793
  Copyright terms: Public domain W3C validator