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Theorem cvlcvr1 35148
Description: The covering property. Proposition 1(ii) in [Kalmbach] p. 140 (and its converse). (chcv1 29554 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvlcvr1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvlcvr1.l = (le‘𝐾)
cvlcvr1.j = (join‘𝐾)
cvlcvr1.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvlcvr1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvlcvr1 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑃)))

Proof of Theorem cvlcvr1
Dummy variables 𝑧 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp13 1247 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝐾 ∈ CvLat)
2 cvllat 35135 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ Lat)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simp2 1131 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝑋𝐵)
5 cvlcvr1.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 cvlcvr1.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
75, 6atbase 35098 . . . . . . 7 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
873ad2ant3 1129 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝑃𝐵)
9 cvlcvr1.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
10 eqid 2771 . . . . . . 7 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
11 cvlcvr1.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
125, 9, 10, 11latnle 17293 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐵) → (¬ 𝑃 𝑋𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑃)))
133, 4, 8, 12syl3anc 1476 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑋𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑃)))
1413biimpd 219 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑋𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑃)))
15 simpl13 1318 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝐾 ∈ CvLat)
1615, 2syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝐾 ∈ Lat)
17 simprll 764 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝑧𝐵)
18 simpl2 1229 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝑋𝐵)
19 simpl3 1231 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝑃𝐴)
2019, 7syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝑃𝐵)
215, 11latjcl 17259 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐵) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)
2216, 18, 20, 21syl3anc 1476 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)
23 simprrr 767 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝑧 (𝑋 𝑃))
24 simprrl 766 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑧)
25 simpl11 1314 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝐾 ∈ OML)
26 simpl12 1316 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝐾 ∈ CLat)
27 cvlatl 35134 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ AtLat)
2815, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝐾 ∈ AtLat)
295, 9, 10, 6atlrelat1 35130 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑧𝐵) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑋𝑞 𝑧)))
3025, 26, 28, 18, 17, 29syl311anc 1490 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑋𝑞 𝑧)))
3124, 30mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑋𝑞 𝑧))
3216adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝐾 ∈ Lat)
335, 6atbase 35098 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞𝐴𝑞𝐵)
3433ad2antrl 707 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑞𝐵)
3517adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑧𝐵)
3622adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)
37 simprrr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑞 𝑧)
3823adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑧 (𝑋 𝑃))
395, 9, 32, 34, 35, 36, 37, 38lattrd 17266 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑞 (𝑋 𝑃))
4015adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝐾 ∈ CvLat)
41 simprl 754 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑞𝐴)
42 simpll3 1258 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑃𝐴)
43 simpll2 1256 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑋𝐵)
44 simprrl 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → ¬ 𝑞 𝑋)
455, 9, 11, 6cvlexch1 35137 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑞𝐴𝑃𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → (𝑞 (𝑋 𝑃) → 𝑃 (𝑋 𝑞)))
4640, 41, 42, 43, 44, 45syl131anc 1489 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → (𝑞 (𝑋 𝑃) → 𝑃 (𝑋 𝑞)))
4739, 46mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑃 (𝑋 𝑞))
48 simprlr 765 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → ¬ 𝑃 𝑋)
4948adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → ¬ 𝑃 𝑋)
505, 9, 11, 6cvlexchb1 35139 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑞𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) → (𝑃 (𝑋 𝑞) ↔ (𝑋 𝑃) = (𝑋 𝑞)))
5140, 42, 41, 43, 49, 50syl131anc 1489 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → (𝑃 (𝑋 𝑞) ↔ (𝑋 𝑃) = (𝑋 𝑞)))
5247, 51mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → (𝑋 𝑃) = (𝑋 𝑞))
539, 10pltle 17169 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑧𝐵) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑋 𝑧))
5425, 18, 17, 53syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑋 𝑧))
5524, 54mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝑋 𝑧)
5655adantr 466 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑋 𝑧)
575, 9, 11latjle12 17270 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑞𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑋 𝑧𝑞 𝑧) ↔ (𝑋 𝑞) 𝑧))
5832, 43, 34, 35, 57syl13anc 1478 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → ((𝑋 𝑧𝑞 𝑧) ↔ (𝑋 𝑞) 𝑧))
5956, 37, 58mpbi2and 691 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → (𝑋 𝑞) 𝑧)
6052, 59eqbrtrd 4808 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → (𝑋 𝑃) 𝑧)
6131, 60rexlimddv 3183 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → (𝑋 𝑃) 𝑧)
625, 9, 16, 17, 22, 23, 61latasymd 17265 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝑧 = (𝑋 𝑃))
6362exp44 424 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑧𝐵 → (¬ 𝑃 𝑋 → ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 𝑃)))))
6463imp 393 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (¬ 𝑃 𝑋 → ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 𝑃))))
6564ralrimdva 3118 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑋 → ∀𝑧𝐵 ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 𝑃))))
6614, 65jcad 502 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑋 → (𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑃) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 𝑃)))))
673, 4, 8, 21syl3anc 1476 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)
68 cvlcvr1.c . . . . 5 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
695, 9, 10, 68cvrval2 35083 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑃) ↔ (𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑃) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 𝑃)))))
703, 4, 67, 69syl3anc 1476 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑃) ↔ (𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑃) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 𝑃)))))
7166, 70sylibrd 249 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑃)))
723adantr 466 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 𝑃)) → 𝐾 ∈ Lat)
73 simpl2 1229 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 𝑃)) → 𝑋𝐵)
7467adantr 466 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 𝑃)) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)
75 simpr 471 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 𝑃)) → 𝑋𝐶(𝑋 𝑃))
765, 10, 68cvrlt 35079 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 𝑃)) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑃))
7772, 73, 74, 75, 76syl31anc 1479 . . . 4 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 𝑃)) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑃))
7877ex 397 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑃) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑃)))
7978, 13sylibrd 249 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑃) → ¬ 𝑃 𝑋))
8071, 79impbid 202 1 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  lecple 16156  ltcplt 17149  joincjn 17152  Latclat 17253  CLatccla 17315  OMLcoml 34984  ccvr 35071  Atomscatm 35072  AtLatcal 35073  CvLatclc 35074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-lat 17254  df-clat 17316  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131
This theorem is referenced by:  cvlcvrp  35149  cvr1  35218
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