cvlcvr1 - Mathbox for Norm Megill

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Theorem cvlcvr1 39963

Description: The covering property. Proposition 1(ii) in [Kalmbach] p. 140 (and its converse). (chcv1 32558 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cvlcvr1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvlcvr1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cvlcvr1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvlcvr1.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvlcvr1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

**Assertion**
Ref	Expression
cvlcvr1	⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))

Proof of Theorem cvlcvr1 Dummy variables 𝑧 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp13 1219	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ CvLat)
2		cvllat 39950	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ Lat)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simp2 1150	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		cvlcvr1.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		cvlcvr1.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	5, 6	atbase 39913	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
8	7	3ad2ant3 1148	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵)
9		cvlcvr1.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
10		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
11		cvlcvr1.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
12	5, 9, 10, 11	latnle 18505	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑃)))
13	3, 4, 8, 12	syl3anc 1390	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑃)))
14	13	biimpd 231	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑃)))
15		simpl13 1264	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝐾 ∈ CvLat)
16	15, 2	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝐾 ∈ Lat)
17		simprll 788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
18		simpl2 1206	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
19		simpl3 1207	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
20	19, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝑃 ∈ 𝐵)
21	5, 11	latjcl 18471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵)
22	16, 18, 20, 21	syl3anc 1390	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵)
23		simprrr 791	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃))
24		simprrl 790	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑧)
25		simpl11 1262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝐾 ∈ OML)
26		simpl12 1263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝐾 ∈ CLat)
27		cvlatl 39949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ AtLat)
28	15, 27	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝐾 ∈ AtLat)
29	5, 9, 10, 6	atlrelat1 39945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧)))
30	25, 26, 28, 18, 17, 29	syl311anc 1403	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧)))
31	24, 30	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))
32	16	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → 𝐾 ∈ Lat)
33	5, 6	atbase 39913	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ 𝐵)
34	33	ad2antrl 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → 𝑞 ∈ 𝐵)
35	17	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
36	22	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵)
37		simprrr 791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → 𝑞 ≤ 𝑧)
38	23	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃))
39	5, 9, 32, 34, 35, 36, 37, 38	lattrd 18478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → 𝑞 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃))
40	15	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → 𝐾 ∈ CvLat)
41		simprl 780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → 𝑞 ∈ 𝐴)
42		simpll3 1228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
43		simpll2 1227	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
44		simprrl 790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → ¬ 𝑞 ≤ 𝑋)
45	5, 9, 11, 6	cvlexch1 39952	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → (𝑞 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃) → 𝑃 ≤ (𝑋 ∨ 𝑞)))
46	40, 41, 42, 43, 44, 45	syl131anc 1402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → (𝑞 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃) → 𝑃 ≤ (𝑋 ∨ 𝑞)))
47	39, 46	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → 𝑃 ≤ (𝑋 ∨ 𝑞))
48		simprlr 789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)
49	48	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)
50	5, 9, 11, 6	cvlexchb1 39954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) → (𝑃 ≤ (𝑋 ∨ 𝑞) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑞)))
51	40, 42, 41, 43, 49, 50	syl131anc 1402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → (𝑃 ≤ (𝑋 ∨ 𝑞) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑞)))
52	47, 51	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑞))
53	9, 10	pltle 18363	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 → 𝑋 ≤ 𝑧))
54	25, 18, 17, 53	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 → 𝑋 ≤ 𝑧))
55	24, 54	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝑋 ≤ 𝑧)
56	55	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → 𝑋 ≤ 𝑧)
57	5, 9, 11	latjle12 18482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑧 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧) ↔ (𝑋 ∨ 𝑞) ≤ 𝑧))
58	32, 43, 34, 35, 57	syl13anc 1391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → ((𝑋 ≤ 𝑧 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧) ↔ (𝑋 ∨ 𝑞) ≤ 𝑧))
59	56, 37, 58	mpbi2and 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → (𝑋 ∨ 𝑞) ≤ 𝑧)
60	52, 59	eqbrtrd 5122	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → (𝑋 ∨ 𝑃) ≤ 𝑧)
61	31, 60	rexlimddv 3169	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → (𝑋 ∨ 𝑃) ≤ 𝑧)
62	5, 9, 16, 17, 22, 23, 61	latasymd 18477	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃))
63	62	exp44 441	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 → ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃)))))
64	63	imp 410	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 → ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃))))
65	64	ralrimdva 3162	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃))))
66	14, 65	jcad 520	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 → (𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑃) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃)))))
67	3, 4, 8, 21	syl3anc 1390	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵)
68		cvlcvr1.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
69	5, 9, 10, 68	cvrval2 39898	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃) ↔ (𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑃) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃)))))
70	3, 4, 67, 69	syl3anc 1390	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃) ↔ (𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑃) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃)))))
71	66, 70	sylibrd 261	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))
72	3	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)) → 𝐾 ∈ Lat)
73		simpl2 1206	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
74	67	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)) → (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵)
75		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)) → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃))
76	5, 10, 68	cvrlt 39894	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑃))
77	72, 73, 74, 75, 76	syl31anc 1392	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑃))
78	77	ex 416	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑃)))
79	78, 13	sylibrd 261	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑋))
80	71, 79	impbid 214	1 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 399 ∧ w3a 1098 = wceq 1560 ∈ wcel 2142 ∀wral 3076 ∃wrex 3086 class class class wbr 5100 ‘cfv 6521 (class class class)co 7396 Basecbs 17245 lecple 17293 ltcplt 18340 joincjn 18343 Latclat 18463 CLatccla 18530 OMLcoml 39799 ⋖ ccvr 39886 Atomscatm 39887 AtLatcal 39888 CvLatclc 39889

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1815 ax-4 1829 ax-5 1930 ax-6 1987 ax-7 2028 ax-8 2144 ax-9 2152 ax-10 2175 ax-11 2191 ax-12 2212 ax-ext 2734 ax-rep 5227 ax-sep 5246 ax-nul 5256 ax-pow 5322 ax-pr 5390 ax-un 7718

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 400 df-or 859 df-3an 1100 df-tru 1563 df-fal 1573 df-ex 1800 df-nf 1804 df-sb 2091 df-mo 2566 df-eu 2596 df-clab 2741 df-cleq 2754 df-clel 2837 df-nfc 2911 df-ne 2958 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3367 df-reu 3368 df-rab 3415 df-v 3456 df-sbc 3745 df-csb 3853 df-dif 3907 df-un 3909 df-in 3911 df-ss 3921 df-nul 4286 df-if 4481 df-pw 4557 df-sn 4583 df-pr 4585 df-op 4589 df-uni 4866 df-iun 4951 df-br 5101 df-opab 5163 df-mpt 5182 df-id 5542 df-xp 5653 df-rel 5654 df-cnv 5655 df-co 5656 df-dm 5657 df-rn 5658 df-res 5659 df-ima 5660 df-iota 6477 df-fun 6523 df-fn 6524 df-f 6525 df-f1 6526 df-fo 6527 df-f1o 6528 df-fv 6529 df-riota 7353 df-ov 7399 df-oprab 7400 df-proset 18326 df-poset 18345 df-plt 18360 df-lub 18376 df-glb 18377 df-join 18378 df-meet 18379 df-p0 18455 df-lat 18464 df-clat 18531 df-oposet 39800 df-ol 39802 df-oml 39803 df-covers 39890 df-ats 39891 df-atl 39922 df-cvlat 39946

This theorem is referenced by: cvlcvrp 39964 cvr1 40034

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