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Theorem cvlcvr1 38843
Description: The covering property. Proposition 1(ii) in [Kalmbach] p. 140 (and its converse). (chcv1 32185 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvlcvr1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvlcvr1.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cvlcvr1.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cvlcvr1.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
cvlcvr1.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvlcvr1 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)))
Proof of Theorem cvlcvr1
Dummy variables 𝑧 π‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp13 1202 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
2 cvllat 38830 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ CvLat β†’ 𝐾 ∈ Lat)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 simp2 1134 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5 cvlcvr1.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 cvlcvr1.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
75, 6atbase 38793 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
873ad2ant3 1132 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
9 cvlcvr1.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
10 eqid 2728 . . . . . . 7 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
11 cvlcvr1.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
125, 9, 10, 11latnle 18472 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑃)))
133, 4, 8, 12syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑃)))
1413biimpd 228 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑃)))
15 simpl13 1247 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
1615, 2syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
17 simprll 777 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
18 simpl2 1189 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
19 simpl3 1190 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
2019, 7syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
215, 11latjcl 18438 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡)
2216, 18, 20, 21syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡)
23 simprrr 780 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃))
24 simprrl 779 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧)
25 simpl11 1245 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝐾 ∈ OML)
26 simpl12 1246 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝐾 ∈ CLat)
27 cvlatl 38829 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ CvLat β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
2815, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
295, 9, 10, 6atlrelat1 38825 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧)))
3025, 26, 28, 18, 17, 29syl311anc 1381 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧)))
3124, 30mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))
3216adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
335, 6atbase 38793 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
3433ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
3517adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
3622adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡)
37 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ π‘ž ≀ 𝑧)
3823adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃))
395, 9, 32, 34, 35, 36, 37, 38lattrd 18445 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ π‘ž ≀ (𝑋 ∨ 𝑃))
4015adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
41 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
42 simpll3 1211 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
43 simpll2 1210 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
44 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋)
455, 9, 11, 6cvlexch1 38832 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋) β†’ (π‘ž ≀ (𝑋 ∨ 𝑃) β†’ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ π‘ž)))
4640, 41, 42, 43, 44, 45syl131anc 1380 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ (π‘ž ≀ (𝑋 ∨ 𝑃) β†’ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ π‘ž)))
4739, 46mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ π‘ž))
48 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)
4948adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)
505, 9, 11, 6cvlexchb1 38834 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ≀ (𝑋 ∨ π‘ž) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ π‘ž)))
5140, 42, 41, 43, 49, 50syl131anc 1380 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ (𝑃 ≀ (𝑋 ∨ π‘ž) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ π‘ž)))
5247, 51mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ π‘ž))
539, 10pltle 18332 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑋 ≀ 𝑧))
5425, 18, 17, 53syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑋 ≀ 𝑧))
5524, 54mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝑋 ≀ 𝑧)
5655adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ 𝑋 ≀ 𝑧)
575, 9, 11latjle12 18449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ 𝑧 ∧ π‘ž ≀ 𝑧) ↔ (𝑋 ∨ π‘ž) ≀ 𝑧))
5832, 43, 34, 35, 57syl13anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ ((𝑋 ≀ 𝑧 ∧ π‘ž ≀ 𝑧) ↔ (𝑋 ∨ π‘ž) ≀ 𝑧))
5956, 37, 58mpbi2and 710 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ (𝑋 ∨ π‘ž) ≀ 𝑧)
6052, 59eqbrtrd 5174 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) ≀ 𝑧)
6131, 60rexlimddv 3158 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) ≀ 𝑧)
625, 9, 16, 17, 22, 23, 61latasymd 18444 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃))
6362exp44 436 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 β†’ ((𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) β†’ 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃)))))
6463imp 405 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 β†’ ((𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) β†’ 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃))))
6564ralrimdva 3151 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) β†’ 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃))))
6614, 65jcad 511 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 β†’ (𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑃) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) β†’ 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃)))))
673, 4, 8, 21syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡)
68 cvlcvr1.c . . . . 5 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
695, 9, 10, 68cvrval2 38778 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃) ↔ (𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑃) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) β†’ 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃)))))
703, 4, 67, 69syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃) ↔ (𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑃) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) β†’ 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃)))))
7166, 70sylibrd 258 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)))
723adantr 479 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
73 simpl2 1189 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
7467adantr 479 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡)
75 simpr 483 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃))
765, 10, 68cvrlt 38774 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)) β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑃))
7772, 73, 74, 75, 76syl31anc 1370 . . . 4 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)) β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑃))
7877ex 411 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃) β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑃)))
7978, 13sylibrd 258 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋))
8071, 79impbid 211 1 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  lecple 17247  ltcplt 18307  joincjn 18310  Latclat 18430  CLatccla 18497  OMLcoml 38679   β‹– ccvr 38766  Atomscatm 38767  AtLatcal 38768  CvLatclc 38769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826
This theorem is referenced by:  cvlcvrp  38844  cvr1  38915
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