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Theorem cvlcvr1 37847
Description: The covering property. Proposition 1(ii) in [Kalmbach] p. 140 (and its converse). (chcv1 31339 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvlcvr1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvlcvr1.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cvlcvr1.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cvlcvr1.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
cvlcvr1.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvlcvr1 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)))

Proof of Theorem cvlcvr1
Dummy variables 𝑧 π‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp13 1206 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
2 cvllat 37834 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ CvLat β†’ 𝐾 ∈ Lat)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 simp2 1138 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5 cvlcvr1.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 cvlcvr1.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
75, 6atbase 37797 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
873ad2ant3 1136 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
9 cvlcvr1.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
10 eqid 2733 . . . . . . 7 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
11 cvlcvr1.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
125, 9, 10, 11latnle 18367 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑃)))
133, 4, 8, 12syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑃)))
1413biimpd 228 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑃)))
15 simpl13 1251 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
1615, 2syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
17 simprll 778 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
18 simpl2 1193 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
19 simpl3 1194 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
2019, 7syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
215, 11latjcl 18333 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡)
2216, 18, 20, 21syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡)
23 simprrr 781 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃))
24 simprrl 780 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧)
25 simpl11 1249 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝐾 ∈ OML)
26 simpl12 1250 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝐾 ∈ CLat)
27 cvlatl 37833 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ CvLat β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
2815, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
295, 9, 10, 6atlrelat1 37829 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧)))
3025, 26, 28, 18, 17, 29syl311anc 1385 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧)))
3124, 30mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))
3216adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
335, 6atbase 37797 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
3433ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
3517adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
3622adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡)
37 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ π‘ž ≀ 𝑧)
3823adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃))
395, 9, 32, 34, 35, 36, 37, 38lattrd 18340 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ π‘ž ≀ (𝑋 ∨ 𝑃))
4015adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
41 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
42 simpll3 1215 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
43 simpll2 1214 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
44 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋)
455, 9, 11, 6cvlexch1 37836 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑋) β†’ (π‘ž ≀ (𝑋 ∨ 𝑃) β†’ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ π‘ž)))
4640, 41, 42, 43, 44, 45syl131anc 1384 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ (π‘ž ≀ (𝑋 ∨ 𝑃) β†’ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ π‘ž)))
4739, 46mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ 𝑃 ≀ (𝑋 ∨ π‘ž))
48 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)
4948adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)
505, 9, 11, 6cvlexchb1 37838 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ≀ (𝑋 ∨ π‘ž) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ π‘ž)))
5140, 42, 41, 43, 49, 50syl131anc 1384 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ (𝑃 ≀ (𝑋 ∨ π‘ž) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ π‘ž)))
5247, 51mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ π‘ž))
539, 10pltle 18227 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑋 ≀ 𝑧))
5425, 18, 17, 53syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑋 ≀ 𝑧))
5524, 54mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝑋 ≀ 𝑧)
5655adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ 𝑋 ≀ 𝑧)
575, 9, 11latjle12 18344 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ 𝑧 ∧ π‘ž ≀ 𝑧) ↔ (𝑋 ∨ π‘ž) ≀ 𝑧))
5832, 43, 34, 35, 57syl13anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ ((𝑋 ≀ 𝑧 ∧ π‘ž ≀ 𝑧) ↔ (𝑋 ∨ π‘ž) ≀ 𝑧))
5956, 37, 58mpbi2and 711 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ (𝑋 ∨ π‘ž) ≀ 𝑧)
6052, 59eqbrtrd 5128 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘ž ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑧))) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) ≀ 𝑧)
6131, 60rexlimddv 3155 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) ≀ 𝑧)
625, 9, 16, 17, 22, 23, 61latasymd 18339 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)))) β†’ 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃))
6362exp44 439 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 β†’ ((𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) β†’ 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃)))))
6463imp 408 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 β†’ ((𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) β†’ 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃))))
6564ralrimdva 3148 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) β†’ 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃))))
6614, 65jcad 514 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 β†’ (𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑃) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) β†’ 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃)))))
673, 4, 8, 21syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡)
68 cvlcvr1.c . . . . 5 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
695, 9, 10, 68cvrval2 37782 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃) ↔ (𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑃) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) β†’ 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃)))))
703, 4, 67, 69syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃) ↔ (𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑃) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋(ltβ€˜πΎ)𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (𝑋 ∨ 𝑃)) β†’ 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃)))))
7166, 70sylibrd 259 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)))
723adantr 482 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
73 simpl2 1193 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
7467adantr 482 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡)
75 simpr 486 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃))
765, 10, 68cvrlt 37778 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐡) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)) β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑃))
7772, 73, 74, 75, 76syl31anc 1374 . . . 4 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)) β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑃))
7877ex 414 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃) β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑃)))
7978, 13sylibrd 259 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋))
8071, 79impbid 211 1 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  lecple 17145  ltcplt 18202  joincjn 18205  Latclat 18325  CLatccla 18392  OMLcoml 37683   β‹– ccvr 37770  Atomscatm 37771  AtLatcal 37772  CvLatclc 37773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-lat 18326  df-clat 18393  df-oposet 37684  df-ol 37686  df-oml 37687  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830
This theorem is referenced by:  cvlcvrp  37848  cvr1  37919
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