cvlcvr1 - Mathbox for Norm Megill

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Theorem cvlcvr1 39846

Description: The covering property. Proposition 1(ii) in [Kalmbach] p. 140 (and its converse). (chcv1 32448 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cvlcvr1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvlcvr1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cvlcvr1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvlcvr1.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvlcvr1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

**Assertion**
Ref	Expression
cvlcvr1	⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))

Proof of Theorem cvlcvr1 Dummy variables 𝑧 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp13 1213	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ CvLat)
2		cvllat 39833	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ Lat)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simp2 1144	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		cvlcvr1.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		cvlcvr1.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	5, 6	atbase 39796	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
8	7	3ad2ant3 1142	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵)
9		cvlcvr1.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
10		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
11		cvlcvr1.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
12	5, 9, 10, 11	latnle 18434	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑃)))
13	3, 4, 8, 12	syl3anc 1380	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑃)))
14	13	biimpd 231	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑃)))
15		simpl13 1258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝐾 ∈ CvLat)
16	15, 2	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝐾 ∈ Lat)
17		simprll 785	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
18		simpl2 1200	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
19		simpl3 1201	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
20	19, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝑃 ∈ 𝐵)
21	5, 11	latjcl 18400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵)
22	16, 18, 20, 21	syl3anc 1380	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵)
23		simprrr 788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃))
24		simprrl 787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑧)
25		simpl11 1256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝐾 ∈ OML)
26		simpl12 1257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝐾 ∈ CLat)
27		cvlatl 39832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ AtLat)
28	15, 27	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝐾 ∈ AtLat)
29	5, 9, 10, 6	atlrelat1 39828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧)))
30	25, 26, 28, 18, 17, 29	syl311anc 1393	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧)))
31	24, 30	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))
32	16	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → 𝐾 ∈ Lat)
33	5, 6	atbase 39796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ 𝐵)
34	33	ad2antrl 735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → 𝑞 ∈ 𝐵)
35	17	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
36	22	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵)
37		simprrr 788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → 𝑞 ≤ 𝑧)
38	23	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃))
39	5, 9, 32, 34, 35, 36, 37, 38	lattrd 18407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → 𝑞 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃))
40	15	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → 𝐾 ∈ CvLat)
41		simprl 777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → 𝑞 ∈ 𝐴)
42		simpll3 1222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
43		simpll2 1221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
44		simprrl 787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → ¬ 𝑞 ≤ 𝑋)
45	5, 9, 11, 6	cvlexch1 39835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑋) → (𝑞 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃) → 𝑃 ≤ (𝑋 ∨ 𝑞)))
46	40, 41, 42, 43, 44, 45	syl131anc 1392	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → (𝑞 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃) → 𝑃 ≤ (𝑋 ∨ 𝑞)))
47	39, 46	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → 𝑃 ≤ (𝑋 ∨ 𝑞))
48		simprlr 786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)
49	48	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑋)
50	5, 9, 11, 6	cvlexchb1 39837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) → (𝑃 ≤ (𝑋 ∨ 𝑞) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑞)))
51	40, 42, 41, 43, 49, 50	syl131anc 1392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → (𝑃 ≤ (𝑋 ∨ 𝑞) ↔ (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑞)))
52	47, 51	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → (𝑋 ∨ 𝑃) = (𝑋 ∨ 𝑞))
53	9, 10	pltle 18292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 → 𝑋 ≤ 𝑧))
54	25, 18, 17, 53	syl3anc 1380	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 → 𝑋 ≤ 𝑧))
55	24, 54	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝑋 ≤ 𝑧)
56	55	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → 𝑋 ≤ 𝑧)
57	5, 9, 11	latjle12 18411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑧 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧) ↔ (𝑋 ∨ 𝑞) ≤ 𝑧))
58	32, 43, 34, 35, 57	syl13anc 1381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → ((𝑋 ≤ 𝑧 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧) ↔ (𝑋 ∨ 𝑞) ≤ 𝑧))
59	56, 37, 58	mpbi2and 719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → (𝑋 ∨ 𝑞) ≤ 𝑧)
60	52, 59	eqbrtrd 5097	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑞 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ 𝑧))) → (𝑋 ∨ 𝑃) ≤ 𝑧)
61	31, 60	rexlimddv 3148	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → (𝑋 ∨ 𝑃) ≤ 𝑧)
62	5, 9, 16, 17, 22, 23, 61	latasymd 18406	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)))) → 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃))
63	62	exp44 439	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 → ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃)))))
64	63	imp 408	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 → ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃))))
65	64	ralrimdva 3141	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃))))
66	14, 65	jcad 518	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 → (𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑃) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃)))))
67	3, 4, 8, 21	syl3anc 1380	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵)
68		cvlcvr1.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
69	5, 9, 10, 68	cvrval2 39781	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃) ↔ (𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑃) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃)))))
70	3, 4, 67, 69	syl3anc 1380	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃) ↔ (𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑃) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑋 ∨ 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 ∨ 𝑃)))))
71	66, 70	sylibrd 261	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))
72	3	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)) → 𝐾 ∈ Lat)
73		simpl2 1200	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
74	67	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)) → (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵)
75		simpr 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)) → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃))
76	5, 10, 68	cvrlt 39777	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑃) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑃))
77	72, 73, 74, 75, 76	syl31anc 1382	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑃))
78	77	ex 414	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑃)))
79	78, 13	sylibrd 261	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑋))
80	71, 79	impbid 214	1 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 397 ∧ w3a 1093 = wceq 1548 ∈ wcel 2121 ∀wral 3055 ∃wrex 3065 class class class wbr 5075 ‘cfv 6489 (class class class)co 7360 Basecbs 17174 lecple 17222 ltcplt 18269 joincjn 18272 Latclat 18392 CLatccla 18459 OMLcoml 39682 ⋖ ccvr 39769 Atomscatm 39770 AtLatcal 39771 CvLatclc 39772

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1803 ax-4 1817 ax-5 1918 ax-6 1975 ax-7 2016 ax-8 2123 ax-9 2131 ax-10 2154 ax-11 2170 ax-12 2191 ax-ext 2713 ax-rep 5202 ax-sep 5221 ax-nul 5231 ax-pow 5297 ax-pr 5365 ax-un 7682

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 398 df-or 855 df-3an 1095 df-tru 1551 df-fal 1561 df-ex 1788 df-nf 1792 df-sb 2075 df-mo 2545 df-eu 2575 df-clab 2720 df-cleq 2733 df-clel 2816 df-nfc 2890 df-ne 2937 df-ral 3056 df-rex 3066 df-rmo 3346 df-reu 3347 df-rab 3394 df-v 3435 df-sbc 3726 df-csb 3834 df-dif 3888 df-un 3890 df-in 3892 df-ss 3902 df-nul 4265 df-if 4458 df-pw 4534 df-sn 4559 df-pr 4561 df-op 4565 df-uni 4842 df-iun 4926 df-br 5076 df-opab 5138 df-mpt 5157 df-id 5516 df-xp 5627 df-rel 5628 df-cnv 5629 df-co 5630 df-dm 5631 df-rn 5632 df-res 5633 df-ima 5634 df-iota 6445 df-fun 6491 df-fn 6492 df-f 6493 df-f1 6494 df-fo 6495 df-f1o 6496 df-fv 6497 df-riota 7317 df-ov 7363 df-oprab 7364 df-proset 18255 df-poset 18274 df-plt 18289 df-lub 18305 df-glb 18306 df-join 18307 df-meet 18308 df-p0 18384 df-lat 18393 df-clat 18460 df-oposet 39683 df-ol 39685 df-oml 39686 df-covers 39773 df-ats 39774 df-atl 39805 df-cvlat 39829

This theorem is referenced by: cvlcvrp 39847 cvr1 39917

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