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Theorem cvlcvr1 37801
Description: The covering property. Proposition 1(ii) in [Kalmbach] p. 140 (and its converse). (chcv1 31297 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvlcvr1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvlcvr1.l = (le‘𝐾)
cvlcvr1.j = (join‘𝐾)
cvlcvr1.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvlcvr1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvlcvr1 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑃)))

Proof of Theorem cvlcvr1
Dummy variables 𝑧 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp13 1205 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝐾 ∈ CvLat)
2 cvllat 37788 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ Lat)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simp2 1137 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝑋𝐵)
5 cvlcvr1.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 cvlcvr1.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
75, 6atbase 37751 . . . . . . 7 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
873ad2ant3 1135 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝑃𝐵)
9 cvlcvr1.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
10 eqid 2736 . . . . . . 7 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
11 cvlcvr1.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
125, 9, 10, 11latnle 18362 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐵) → (¬ 𝑃 𝑋𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑃)))
133, 4, 8, 12syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑋𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑃)))
1413biimpd 228 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑋𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑃)))
15 simpl13 1250 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝐾 ∈ CvLat)
1615, 2syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝐾 ∈ Lat)
17 simprll 777 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝑧𝐵)
18 simpl2 1192 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝑋𝐵)
19 simpl3 1193 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝑃𝐴)
2019, 7syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝑃𝐵)
215, 11latjcl 18328 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐵) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)
2216, 18, 20, 21syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)
23 simprrr 780 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝑧 (𝑋 𝑃))
24 simprrl 779 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑧)
25 simpl11 1248 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝐾 ∈ OML)
26 simpl12 1249 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝐾 ∈ CLat)
27 cvlatl 37787 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ AtLat)
2815, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝐾 ∈ AtLat)
295, 9, 10, 6atlrelat1 37783 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑧𝐵) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑋𝑞 𝑧)))
3025, 26, 28, 18, 17, 29syl311anc 1384 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑋𝑞 𝑧)))
3124, 30mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑋𝑞 𝑧))
3216adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝐾 ∈ Lat)
335, 6atbase 37751 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞𝐴𝑞𝐵)
3433ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑞𝐵)
3517adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑧𝐵)
3622adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)
37 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑞 𝑧)
3823adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑧 (𝑋 𝑃))
395, 9, 32, 34, 35, 36, 37, 38lattrd 18335 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑞 (𝑋 𝑃))
4015adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝐾 ∈ CvLat)
41 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑞𝐴)
42 simpll3 1214 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑃𝐴)
43 simpll2 1213 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑋𝐵)
44 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → ¬ 𝑞 𝑋)
455, 9, 11, 6cvlexch1 37790 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑞𝐴𝑃𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → (𝑞 (𝑋 𝑃) → 𝑃 (𝑋 𝑞)))
4640, 41, 42, 43, 44, 45syl131anc 1383 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → (𝑞 (𝑋 𝑃) → 𝑃 (𝑋 𝑞)))
4739, 46mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑃 (𝑋 𝑞))
48 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → ¬ 𝑃 𝑋)
4948adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → ¬ 𝑃 𝑋)
505, 9, 11, 6cvlexchb1 37792 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑞𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) → (𝑃 (𝑋 𝑞) ↔ (𝑋 𝑃) = (𝑋 𝑞)))
5140, 42, 41, 43, 49, 50syl131anc 1383 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → (𝑃 (𝑋 𝑞) ↔ (𝑋 𝑃) = (𝑋 𝑞)))
5247, 51mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → (𝑋 𝑃) = (𝑋 𝑞))
539, 10pltle 18222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑧𝐵) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑋 𝑧))
5425, 18, 17, 53syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑋 𝑧))
5524, 54mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝑋 𝑧)
5655adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑋 𝑧)
575, 9, 11latjle12 18339 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑞𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑋 𝑧𝑞 𝑧) ↔ (𝑋 𝑞) 𝑧))
5832, 43, 34, 35, 57syl13anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → ((𝑋 𝑧𝑞 𝑧) ↔ (𝑋 𝑞) 𝑧))
5956, 37, 58mpbi2and 710 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → (𝑋 𝑞) 𝑧)
6052, 59eqbrtrd 5127 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → (𝑋 𝑃) 𝑧)
6131, 60rexlimddv 3158 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → (𝑋 𝑃) 𝑧)
625, 9, 16, 17, 22, 23, 61latasymd 18334 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝑧 = (𝑋 𝑃))
6362exp44 438 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑧𝐵 → (¬ 𝑃 𝑋 → ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 𝑃)))))
6463imp 407 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (¬ 𝑃 𝑋 → ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 𝑃))))
6564ralrimdva 3151 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑋 → ∀𝑧𝐵 ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 𝑃))))
6614, 65jcad 513 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑋 → (𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑃) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 𝑃)))))
673, 4, 8, 21syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)
68 cvlcvr1.c . . . . 5 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
695, 9, 10, 68cvrval2 37736 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑃) ↔ (𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑃) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 𝑃)))))
703, 4, 67, 69syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑃) ↔ (𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑃) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 𝑃)))))
7166, 70sylibrd 258 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑃)))
723adantr 481 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 𝑃)) → 𝐾 ∈ Lat)
73 simpl2 1192 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 𝑃)) → 𝑋𝐵)
7467adantr 481 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 𝑃)) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)
75 simpr 485 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 𝑃)) → 𝑋𝐶(𝑋 𝑃))
765, 10, 68cvrlt 37732 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 𝑃)) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑃))
7772, 73, 74, 75, 76syl31anc 1373 . . . 4 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 𝑃)) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑃))
7877ex 413 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑃) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑃)))
7978, 13sylibrd 258 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑃) → ¬ 𝑃 𝑋))
8071, 79impbid 211 1 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  ltcplt 18197  joincjn 18200  Latclat 18320  CLatccla 18387  OMLcoml 37637  ccvr 37724  Atomscatm 37725  AtLatcal 37726  CvLatclc 37727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-lat 18321  df-clat 18388  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784
This theorem is referenced by:  cvlcvrp  37802  cvr1  37873
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