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Theorem cvlcvr1 36006
Description: The covering property. Proposition 1(ii) in [Kalmbach] p. 140 (and its converse). (chcv1 29823 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvlcvr1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvlcvr1.l = (le‘𝐾)
cvlcvr1.j = (join‘𝐾)
cvlcvr1.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvlcvr1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvlcvr1 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑃)))

Proof of Theorem cvlcvr1
Dummy variables 𝑧 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp13 1198 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝐾 ∈ CvLat)
2 cvllat 35993 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ Lat)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simp2 1130 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝑋𝐵)
5 cvlcvr1.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 cvlcvr1.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
75, 6atbase 35956 . . . . . . 7 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
873ad2ant3 1128 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝑃𝐵)
9 cvlcvr1.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
10 eqid 2795 . . . . . . 7 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
11 cvlcvr1.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
125, 9, 10, 11latnle 17524 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐵) → (¬ 𝑃 𝑋𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑃)))
133, 4, 8, 12syl3anc 1364 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑋𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑃)))
1413biimpd 230 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑋𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑃)))
15 simpl13 1243 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝐾 ∈ CvLat)
1615, 2syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝐾 ∈ Lat)
17 simprll 775 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝑧𝐵)
18 simpl2 1185 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝑋𝐵)
19 simpl3 1186 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝑃𝐴)
2019, 7syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝑃𝐵)
215, 11latjcl 17490 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐵) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)
2216, 18, 20, 21syl3anc 1364 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)
23 simprrr 778 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝑧 (𝑋 𝑃))
24 simprrl 777 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑧)
25 simpl11 1241 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝐾 ∈ OML)
26 simpl12 1242 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝐾 ∈ CLat)
27 cvlatl 35992 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ AtLat)
2815, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝐾 ∈ AtLat)
295, 9, 10, 6atlrelat1 35988 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑧𝐵) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑋𝑞 𝑧)))
3025, 26, 28, 18, 17, 29syl311anc 1377 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑧 → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑋𝑞 𝑧)))
3124, 30mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑋𝑞 𝑧))
3216adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝐾 ∈ Lat)
335, 6atbase 35956 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞𝐴𝑞𝐵)
3433ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑞𝐵)
3517adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑧𝐵)
3622adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)
37 simprrr 778 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑞 𝑧)
3823adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑧 (𝑋 𝑃))
395, 9, 32, 34, 35, 36, 37, 38lattrd 17497 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑞 (𝑋 𝑃))
4015adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝐾 ∈ CvLat)
41 simprl 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑞𝐴)
42 simpll3 1207 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑃𝐴)
43 simpll2 1206 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑋𝐵)
44 simprrl 777 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → ¬ 𝑞 𝑋)
455, 9, 11, 6cvlexch1 35995 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑞𝐴𝑃𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → (𝑞 (𝑋 𝑃) → 𝑃 (𝑋 𝑞)))
4640, 41, 42, 43, 44, 45syl131anc 1376 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → (𝑞 (𝑋 𝑃) → 𝑃 (𝑋 𝑞)))
4739, 46mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑃 (𝑋 𝑞))
48 simprlr 776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → ¬ 𝑃 𝑋)
4948adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → ¬ 𝑃 𝑋)
505, 9, 11, 6cvlexchb1 35997 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑞𝐴𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑃 𝑋) → (𝑃 (𝑋 𝑞) ↔ (𝑋 𝑃) = (𝑋 𝑞)))
5140, 42, 41, 43, 49, 50syl131anc 1376 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → (𝑃 (𝑋 𝑞) ↔ (𝑋 𝑃) = (𝑋 𝑞)))
5247, 51mpbid 233 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → (𝑋 𝑃) = (𝑋 𝑞))
539, 10pltle 17400 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑧𝐵) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑋 𝑧))
5425, 18, 17, 53syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑋 𝑧))
5524, 54mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝑋 𝑧)
5655adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → 𝑋 𝑧)
575, 9, 11latjle12 17501 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑞𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑋 𝑧𝑞 𝑧) ↔ (𝑋 𝑞) 𝑧))
5832, 43, 34, 35, 57syl13anc 1365 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → ((𝑋 𝑧𝑞 𝑧) ↔ (𝑋 𝑞) 𝑧))
5956, 37, 58mpbi2and 708 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → (𝑋 𝑞) 𝑧)
6052, 59eqbrtrd 4984 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) ∧ (𝑞𝐴 ∧ (¬ 𝑞 𝑋𝑞 𝑧))) → (𝑋 𝑃) 𝑧)
6131, 60rexlimddv 3254 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → (𝑋 𝑃) 𝑧)
625, 9, 16, 17, 22, 23, 61latasymd 17496 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑃 𝑋) ∧ (𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)))) → 𝑧 = (𝑋 𝑃))
6362exp44 438 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑧𝐵 → (¬ 𝑃 𝑋 → ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 𝑃)))))
6463imp 407 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (¬ 𝑃 𝑋 → ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 𝑃))))
6564ralrimdva 3156 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑋 → ∀𝑧𝐵 ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 𝑃))))
6614, 65jcad 513 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑋 → (𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑃) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 𝑃)))))
673, 4, 8, 21syl3anc 1364 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)
68 cvlcvr1.c . . . . 5 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
695, 9, 10, 68cvrval2 35941 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑃) ↔ (𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑃) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 𝑃)))))
703, 4, 67, 69syl3anc 1364 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑃) ↔ (𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑃) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋(lt‘𝐾)𝑧𝑧 (𝑋 𝑃)) → 𝑧 = (𝑋 𝑃)))))
7166, 70sylibrd 260 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑃)))
723adantr 481 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 𝑃)) → 𝐾 ∈ Lat)
73 simpl2 1185 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 𝑃)) → 𝑋𝐵)
7467adantr 481 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 𝑃)) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)
75 simpr 485 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 𝑃)) → 𝑋𝐶(𝑋 𝑃))
765, 10, 68cvrlt 35937 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 𝑃)) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑃))
7772, 73, 74, 75, 76syl31anc 1366 . . . 4 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 𝑃)) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑃))
7877ex 413 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑃) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑃)))
7978, 13sylibrd 260 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑃) → ¬ 𝑃 𝑋))
8071, 79impbid 213 1 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wral 3105  wrex 3106   class class class wbr 4962  cfv 6225  (class class class)co 7016  Basecbs 16312  lecple 16401  ltcplt 17380  joincjn 17383  Latclat 17484  CLatccla 17546  OMLcoml 35842  ccvr 35929  Atomscatm 35930  AtLatcal 35931  CvLatclc 35932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-proset 17367  df-poset 17385  df-plt 17397  df-lub 17413  df-glb 17414  df-join 17415  df-meet 17416  df-p0 17478  df-lat 17485  df-clat 17547  df-oposet 35843  df-ol 35845  df-oml 35846  df-covers 35933  df-ats 35934  df-atl 35965  df-cvlat 35989
This theorem is referenced by:  cvlcvrp  36007  cvr1  36077
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