Theorem cvpss 32893

Description: The covers relation implies proper subset. (Contributed by NM, 10-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cvpss	⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ⋖ℋ 𝐵 → 𝐴 ⊊ 𝐵))

Proof of Theorem cvpss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvbr 32890	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ⋖ℋ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ Cℋ (𝐴 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵))))
2		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ Cℋ (𝐴 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵)) → 𝐴 ⊊ 𝐵)
3	1, 2	biimtrdi 256	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ⋖ℋ 𝐵 → 𝐴 ⊊ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   ⊊ wpss 4013   class class class wbr 5102   C_ℋ cch 31537   ⋖_ℋ ccv 31572

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-cv 32887

This theorem is used by:  cvnsym  32898  cvntr  32900  atcveq0  32956  chcv1  32963  cvati  32974  cvbr4i  32975  cvexchlem  32976  atexch  32989  atcvat2i  32995