Theorem atcveq0 32230

Description: A Hilbert lattice element covered by an atom must be the zero subspace. (Contributed by NM, 11-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
atcveq0	⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ⋖ℋ 𝐵 ↔ 𝐴 = 0ℋ))

Proof of Theorem atcveq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atelch 32226	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵 ∈ Cℋ )
2		cvpss 32167	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ⋖ℋ 𝐵 → 𝐴 ⊊ 𝐵))
3	1, 2	sylan2 591	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ⋖ℋ 𝐵 → 𝐴 ⊊ 𝐵))
4		ch0le 31323	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 0ℋ ⊆ 𝐴)
5	4	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → 0ℋ ⊆ 𝐴)
6	3, 5	jctild 524	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ⋖ℋ 𝐵 → (0ℋ ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵)))
7		atcv0 32224	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → 0ℋ ⋖ℋ 𝐵)
8	7	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → 0ℋ ⋖ℋ 𝐵)
9		h0elch 31137	. . . . . . 7 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
10		cvnbtwn3 32170	. . . . . . 7 ⊢ ((0ℋ ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (0ℋ ⋖ℋ 𝐵 → ((0ℋ ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → 𝐴 = 0ℋ)))
11	9, 10	mp3an1 1444	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (0ℋ ⋖ℋ 𝐵 → ((0ℋ ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → 𝐴 = 0ℋ)))
12	1, 11	sylan 578	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (0ℋ ⋖ℋ 𝐵 → ((0ℋ ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → 𝐴 = 0ℋ)))
13	8, 12	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((0ℋ ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → 𝐴 = 0ℋ))
14	13	ancoms 457	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((0ℋ ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → 𝐴 = 0ℋ))
15	6, 14	syld 47	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ⋖ℋ 𝐵 → 𝐴 = 0ℋ))
16		breq1 5152	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0ℋ → (𝐴 ⋖ℋ 𝐵 ↔ 0ℋ ⋖ℋ 𝐵))
17	7, 16	syl5ibrcom 246	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (𝐴 = 0ℋ → 𝐴 ⋖ℋ 𝐵))
18	17	adantl 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 = 0ℋ → 𝐴 ⋖ℋ 𝐵))
19	15, 18	impbid 211	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ⋖ℋ 𝐵 ↔ 𝐴 = 0ℋ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3944   ⊊ wpss 3945   class class class wbr 5149   C_ℋ cch 30811  0_ℋc0h 30817   ⋖_ℋ ccv 30846  HAtomscat 30847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219  ax-mulf 11220  ax-hilex 30881  ax-hfvadd 30882  ax-hvcom 30883  ax-hvass 30884  ax-hv0cl 30885  ax-hvaddid 30886  ax-hfvmul 30887  ax-hvmulid 30888  ax-hvmulass 30889  ax-hvdistr1 30890  ax-hvdistr2 30891  ax-hvmul0 30892  ax-hfi 30961  ax-his1 30964  ax-his2 30965  ax-his3 30966  ax-his4 30967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-icc 13366  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-topgen 17428  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-top 22840  df-topon 22857  df-bases 22893  df-lm 23177  df-haus 23263  df-grpo 30375  df-gid 30376  df-ginv 30377  df-gdiv 30378  df-ablo 30427  df-vc 30441  df-nv 30474  df-va 30477  df-ba 30478  df-sm 30479  df-0v 30480  df-vs 30481  df-nmcv 30482  df-ims 30483  df-hnorm 30850  df-hvsub 30853  df-hlim 30854  df-sh 31089  df-ch 31103  df-ch0 31135  df-cv 32161  df-at 32220

This theorem is referenced by:  cvp  32257  atcv1  32262