Theorem atcveq0 32380

Description: A Hilbert lattice element covered by an atom must be the zero subspace. (Contributed by NM, 11-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
atcveq0	⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ⋖ℋ 𝐵 ↔ 𝐴 = 0ℋ))

Proof of Theorem atcveq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atelch 32376	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵 ∈ Cℋ )
2		cvpss 32317	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ⋖ℋ 𝐵 → 𝐴 ⊊ 𝐵))
3	1, 2	sylan2 592	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ⋖ℋ 𝐵 → 𝐴 ⊊ 𝐵))
4		ch0le 31473	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 0ℋ ⊆ 𝐴)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → 0ℋ ⊆ 𝐴)
6	3, 5	jctild 525	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ⋖ℋ 𝐵 → (0ℋ ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵)))
7		atcv0 32374	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → 0ℋ ⋖ℋ 𝐵)
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → 0ℋ ⋖ℋ 𝐵)
9		h0elch 31287	. . . . . . 7 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
10		cvnbtwn3 32320	. . . . . . 7 ⊢ ((0ℋ ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (0ℋ ⋖ℋ 𝐵 → ((0ℋ ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → 𝐴 = 0ℋ)))
11	9, 10	mp3an1 1448	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (0ℋ ⋖ℋ 𝐵 → ((0ℋ ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → 𝐴 = 0ℋ)))
12	1, 11	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (0ℋ ⋖ℋ 𝐵 → ((0ℋ ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → 𝐴 = 0ℋ)))
13	8, 12	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((0ℋ ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → 𝐴 = 0ℋ))
14	13	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((0ℋ ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → 𝐴 = 0ℋ))
15	6, 14	syld 47	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ⋖ℋ 𝐵 → 𝐴 = 0ℋ))
16		breq1 5169	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0ℋ → (𝐴 ⋖ℋ 𝐵 ↔ 0ℋ ⋖ℋ 𝐵))
17	7, 16	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (𝐴 = 0ℋ → 𝐴 ⋖ℋ 𝐵))
18	17	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 = 0ℋ → 𝐴 ⋖ℋ 𝐵))
19	15, 18	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ⋖ℋ 𝐵 ↔ 𝐴 = 0ℋ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976   ⊊ wpss 3977   class class class wbr 5166   C_ℋ cch 30961  0_ℋc0h 30967   ⋖_ℋ ccv 30996  HAtomscat 30997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263  ax-mulf 11264  ax-hilex 31031  ax-hfvadd 31032  ax-hvcom 31033  ax-hvass 31034  ax-hv0cl 31035  ax-hvaddid 31036  ax-hfvmul 31037  ax-hvmulid 31038  ax-hvmulass 31039  ax-hvdistr1 31040  ax-hvdistr2 31041  ax-hvmul0 31042  ax-hfi 31111  ax-his1 31114  ax-his2 31115  ax-his3 31116  ax-his4 31117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-icc 13414  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-topgen 17503  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-top 22921  df-topon 22938  df-bases 22974  df-lm 23258  df-haus 23344  df-grpo 30525  df-gid 30526  df-ginv 30527  df-gdiv 30528  df-ablo 30577  df-vc 30591  df-nv 30624  df-va 30627  df-ba 30628  df-sm 30629  df-0v 30630  df-vs 30631  df-nmcv 30632  df-ims 30633  df-hnorm 31000  df-hvsub 31003  df-hlim 31004  df-sh 31239  df-ch 31253  df-ch0 31285  df-cv 32311  df-at 32370

This theorem is referenced by:  cvp  32407  atcv1  32412