HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chcv1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem chcv1 32164
Description: The Hilbert lattice has the covering property. Proposition 1(ii) of [Kalmbach] p. 140 (and its converse). (Contributed by NM, 11-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
chcv1 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ 𝐡 ∈ HAtoms) β†’ (Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 ↔ 𝐴 β‹–β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
Proof of Theorem chcv1
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 atom1d 32162 . . 3 (𝐡 ∈ HAtoms ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{π‘₯})))
2 spansncv2 32102 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (Β¬ (spanβ€˜{π‘₯}) βŠ† 𝐴 β†’ 𝐴 β‹–β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{π‘₯}))))
3 sseq1 4005 . . . . . . . . 9 (𝐡 = (spanβ€˜{π‘₯}) β†’ (𝐡 βŠ† 𝐴 ↔ (spanβ€˜{π‘₯}) βŠ† 𝐴))
43notbid 318 . . . . . . . 8 (𝐡 = (spanβ€˜{π‘₯}) β†’ (Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 ↔ Β¬ (spanβ€˜{π‘₯}) βŠ† 𝐴))
5 oveq2 7428 . . . . . . . . 9 (𝐡 = (spanβ€˜{π‘₯}) β†’ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) = (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{π‘₯})))
65breq2d 5160 . . . . . . . 8 (𝐡 = (spanβ€˜{π‘₯}) β†’ (𝐴 β‹–β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ↔ 𝐴 β‹–β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{π‘₯}))))
74, 6imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝐡 = (spanβ€˜{π‘₯}) β†’ ((Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 β†’ 𝐴 β‹–β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) ↔ (Β¬ (spanβ€˜{π‘₯}) βŠ† 𝐴 β†’ 𝐴 β‹–β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{π‘₯})))))
82, 7syl5ibrcom 246 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (𝐡 = (spanβ€˜{π‘₯}) β†’ (Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 β†’ 𝐴 β‹–β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))))
98adantld 490 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{π‘₯})) β†’ (Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 β†’ 𝐴 β‹–β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))))
109rexlimdva 3152 . . . 4 (𝐴 ∈ Cβ„‹ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{π‘₯})) β†’ (Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 β†’ 𝐴 β‹–β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))))
1110imp 406 . . 3 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ (π‘₯ β‰  0β„Ž ∧ 𝐡 = (spanβ€˜{π‘₯}))) β†’ (Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 β†’ 𝐴 β‹–β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
121, 11sylan2b 593 . 2 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ 𝐡 ∈ HAtoms) β†’ (Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 β†’ 𝐴 β‹–β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
13 atelch 32153 . . 3 (𝐡 ∈ HAtoms β†’ 𝐡 ∈ Cβ„‹ )
14 chjcl 31166 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ 𝐡 ∈ Cβ„‹ ) β†’ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∈ Cβ„‹ )
15 cvpss 32094 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∈ Cβ„‹ ) β†’ (𝐴 β‹–β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ 𝐴 ⊊ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
1614, 15syldan 590 . . . 4 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ 𝐡 ∈ Cβ„‹ ) β†’ (𝐴 β‹–β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ 𝐴 ⊊ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
17 chnle 31323 . . . 4 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ 𝐡 ∈ Cβ„‹ ) β†’ (Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 ↔ 𝐴 ⊊ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
1816, 17sylibrd 259 . . 3 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ 𝐡 ∈ Cβ„‹ ) β†’ (𝐴 β‹–β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴))
1913, 18sylan2 592 . 2 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ 𝐡 ∈ HAtoms) β†’ (𝐴 β‹–β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴))
2012, 19impbid 211 1 ((𝐴 ∈ Cβ„‹ ∧ 𝐡 ∈ HAtoms) β†’ (Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 ↔ 𝐴 β‹–β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  βˆƒwrex 3067   βŠ† wss 3947   ⊊ wpss 3948  {csn 4629   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   β„‹chba 30728  0β„Žc0v 30733   Cβ„‹ cch 30738  spancspn 30741   βˆ¨β„‹ chj 30742   β‹–β„‹ ccv 30773  HAtomscat 30774
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9664  ax-cc 10458  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218  ax-hilex 30808  ax-hfvadd 30809  ax-hvcom 30810  ax-hvass 30811  ax-hv0cl 30812  ax-hvaddid 30813  ax-hfvmul 30814  ax-hvmulid 30815  ax-hvmulass 30816  ax-hvdistr1 30817  ax-hvdistr2 30818  ax-hvmul0 30819  ax-hfi 30888  ax-his1 30891  ax-his2 30892  ax-his3 30893  ax-his4 30894  ax-hcompl 31011
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-oadd 8490  df-omul 8491  df-er 8724  df-map 8846  df-pm 8847  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-fbas 21275  df-fg 21276  df-cnfld 21279  df-top 22795  df-topon 22812  df-topsp 22834  df-bases 22848  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-lm 23132  df-haus 23218  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-xms 24225  df-ms 24226  df-tms 24227  df-cfil 25182  df-cau 25183  df-cmet 25184  df-grpo 30302  df-gid 30303  df-ginv 30304  df-gdiv 30305  df-ablo 30354  df-vc 30368  df-nv 30401  df-va 30404  df-ba 30405  df-sm 30406  df-0v 30407  df-vs 30408  df-nmcv 30409  df-ims 30410  df-dip 30510  df-ssp 30531  df-ph 30622  df-cbn 30672  df-hnorm 30777  df-hba 30778  df-hvsub 30780  df-hlim 30781  df-hcau 30782  df-sh 31016  df-ch 31030  df-oc 31061  df-ch0 31062  df-shs 31117  df-span 31118  df-chj 31119  df-pjh 31204  df-cv 32088  df-at 32147
This theorem is referenced by:  chcv2  32165  cvexchlem  32177  atnssm0  32185  atcvat3i  32205
  Copyright terms: Public domain W3C validator