Theorem cvcon3 32614

Description: Contraposition law for the covers relation. (Contributed by NM, 12-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cvcon3	⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ⋖ℋ 𝐵 ↔ (⊥‘𝐵) ⋖ℋ (⊥‘𝐴)))

Proof of Theorem cvcon3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpsscon3 31833	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ⊊ 𝐵 ↔ (⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝐴)))
2		chpsscon3 31833	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ⊊ 𝑥 ↔ (⊥‘𝑥) ⊊ (⊥‘𝐴)))
3	2	adantlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ⊊ 𝑥 ↔ (⊥‘𝑥) ⊊ (⊥‘𝐴)))
4		chpsscon3 31833	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⊊ 𝐵 ↔ (⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝑥)))
5	4	ancoms 463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⊊ 𝐵 ↔ (⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝑥)))
6	5	adantll 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⊊ 𝐵 ↔ (⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝑥)))
7	3, 6	anbi12d 643	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ↔ ((⊥‘𝑥) ⊊ (⊥‘𝐴) ∧ (⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝑥))))
8		choccl 31636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (⊥‘𝑥) ∈ Cℋ )
9		psseq2 4046	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (⊥‘𝑥) → ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦 ↔ (⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝑥)))
10		psseq1 4045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴) ↔ (⊥‘𝑥) ⊊ (⊥‘𝐴)))
11	9, 10	anbi12d 643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴)) ↔ ((⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝑥) ∧ (⊥‘𝑥) ⊊ (⊥‘𝐴))))
12	11	rspcev 3582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ ∧ ((⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝑥) ∧ (⊥‘𝑥) ⊊ (⊥‘𝐴))) → ∃𝑦 ∈ Cℋ ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴)))
13	8, 12	sylan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝑥) ∧ (⊥‘𝑥) ⊊ (⊥‘𝐴))) → ∃𝑦 ∈ Cℋ ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴)))
14	13	ex 417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (((⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝑥) ∧ (⊥‘𝑥) ⊊ (⊥‘𝐴)) → ∃𝑦 ∈ Cℋ ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴))))
15	14	ancomsd 470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (((⊥‘𝑥) ⊊ (⊥‘𝐴) ∧ (⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝑥)) → ∃𝑦 ∈ Cℋ ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴))))
16	15	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝑥) ⊊ (⊥‘𝐴) ∧ (⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝑥)) → ∃𝑦 ∈ Cℋ ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴))))
17	7, 16	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ Cℋ ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴))))
18	17	rexlimdva 3166	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∃𝑥 ∈ Cℋ (𝐴 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ Cℋ ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴))))
19		chpsscon1 31834	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦 ↔ (⊥‘𝑦) ⊊ 𝐵))
20	19	adantll 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦 ↔ (⊥‘𝑦) ⊊ 𝐵))
21		chpsscon2 31835	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴) ↔ 𝐴 ⊊ (⊥‘𝑦)))
22	21	ancoms 463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴) ↔ 𝐴 ⊊ (⊥‘𝑦)))
23	22	adantlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴) ↔ 𝐴 ⊊ (⊥‘𝑦)))
24	20, 23	anbi12d 643	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴)) ↔ ((⊥‘𝑦) ⊊ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊊ (⊥‘𝑦))))
25		choccl 31636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (⊥‘𝑦) ∈ Cℋ )
26		psseq2 4046	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (𝐴 ⊊ 𝑥 ↔ 𝐴 ⊊ (⊥‘𝑦)))
27		psseq1 4045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (𝑥 ⊊ 𝐵 ↔ (⊥‘𝑦) ⊊ 𝐵))
28	26, 27	anbi12d 643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (⊥‘𝑦) → ((𝐴 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ↔ (𝐴 ⊊ (⊥‘𝑦) ∧ (⊥‘𝑦) ⊊ 𝐵)))
29	28	rspcev 3582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ⊊ (⊥‘𝑦) ∧ (⊥‘𝑦) ⊊ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ Cℋ (𝐴 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵))
30	25, 29	sylan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ⊊ (⊥‘𝑦) ∧ (⊥‘𝑦) ⊊ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ Cℋ (𝐴 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵))
31	30	ex 417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → ((𝐴 ⊊ (⊥‘𝑦) ∧ (⊥‘𝑦) ⊊ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ Cℋ (𝐴 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵)))
32	31	ancomsd 470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (((⊥‘𝑦) ⊊ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊊ (⊥‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ Cℋ (𝐴 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵)))
33	32	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝑦) ⊊ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊊ (⊥‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ Cℋ (𝐴 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵)))
34	24, 33	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ Cℋ (𝐴 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵)))
35	34	rexlimdva 3166	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∃𝑦 ∈ Cℋ ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ Cℋ (𝐴 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵)))
36	18, 35	impbid 215	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∃𝑥 ∈ Cℋ (𝐴 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ Cℋ ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴))))
37	36	notbid 321	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (¬ ∃𝑥 ∈ Cℋ (𝐴 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ Cℋ ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴))))
38	1, 37	anbi12d 643	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ Cℋ (𝐴 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵)) ↔ ((⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝐴) ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ Cℋ ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴)))))
39		cvbr 32612	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ⋖ℋ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ Cℋ (𝐴 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵))))
40		choccl 31636	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ )
41		choccl 31636	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )
42		cvbr 32612	. . 3 ⊢ (((⊥‘𝐵) ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐵) ⋖ℋ (⊥‘𝐴) ↔ ((⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝐴) ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ Cℋ ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴)))))
43	40, 41, 42	syl2anr 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐵) ⋖ℋ (⊥‘𝐴) ↔ ((⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝐴) ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ Cℋ ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴)))))
44	38, 39, 43	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ⋖ℋ 𝐵 ↔ (⊥‘𝐵) ⋖ℋ (⊥‘𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089   ⊊ wpss 3907   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538   C_ℋ cch 31259  ⊥cort 31260   ⋖_ℋ ccv 31294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cc 10420  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180  ax-mulf 11181  ax-hilex 31329  ax-hfvadd 31330  ax-hvcom 31331  ax-hvass 31332  ax-hv0cl 31333  ax-hvaddid 31334  ax-hfvmul 31335  ax-hvmulid 31336  ax-hvmulass 31337  ax-hvdistr1 31338  ax-hvdistr2 31339  ax-hvmul0 31340  ax-hfi 31409  ax-his1 31412  ax-his2 31413  ax-his3 31414  ax-his4 31415  ax-hcompl 31532

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-acn 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-mulg 19135  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-fbas 21500  df-fg 21501  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-nei 23236  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-lm 23367  df-haus 23453  df-tx 23700  df-hmeo 23893  df-fil 23984  df-fm 24076  df-flim 24077  df-flf 24078  df-xms 24458  df-ms 24459  df-tms 24460  df-cfil 25395  df-cau 25396  df-cmet 25397  df-grpo 30823  df-gid 30824  df-ginv 30825  df-gdiv 30826  df-ablo 30875  df-vc 30889  df-nv 30922  df-va 30925  df-ba 30926  df-sm 30927  df-0v 30928  df-vs 30929  df-nmcv 30930  df-ims 30931  df-dip 31031  df-ssp 31052  df-ph 31143  df-cbn 31193  df-hnorm 31298  df-hba 31299  df-hvsub 31301  df-hlim 31302  df-hcau 31303  df-sh 31537  df-ch 31551  df-oc 31582  df-ch0 31583  df-cv 32609

This theorem is referenced by:  cvdmd  32667  cvexchi  32699