HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cvcon3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvcon3 32312
Description: Contraposition law for the covers relation. (Contributed by NM, 12-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cvcon3 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝐵 ↔ (⊥‘𝐵) ⋖ (⊥‘𝐴)))

Proof of Theorem cvcon3
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chpsscon3 31531 . . 3 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴𝐵 ↔ (⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝐴)))
2 chpsscon3 31531 . . . . . . . . 9 ((𝐴C𝑥C ) → (𝐴𝑥 ↔ (⊥‘𝑥) ⊊ (⊥‘𝐴)))
32adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → (𝐴𝑥 ↔ (⊥‘𝑥) ⊊ (⊥‘𝐴)))
4 chpsscon3 31531 . . . . . . . . . 10 ((𝑥C𝐵C ) → (𝑥𝐵 ↔ (⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝑥)))
54ancoms 458 . . . . . . . . 9 ((𝐵C𝑥C ) → (𝑥𝐵 ↔ (⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝑥)))
65adantll 714 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → (𝑥𝐵 ↔ (⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝑥)))
73, 6anbi12d 632 . . . . . . 7 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ↔ ((⊥‘𝑥) ⊊ (⊥‘𝐴) ∧ (⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝑥))))
8 choccl 31334 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C → (⊥‘𝑥) ∈ C )
9 psseq2 4100 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (⊥‘𝑥) → ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦 ↔ (⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝑥)))
10 psseq1 4099 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴) ↔ (⊥‘𝑥) ⊊ (⊥‘𝐴)))
119, 10anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴)) ↔ ((⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝑥) ∧ (⊥‘𝑥) ⊊ (⊥‘𝐴))))
1211rspcev 3621 . . . . . . . . . . 11 (((⊥‘𝑥) ∈ C ∧ ((⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝑥) ∧ (⊥‘𝑥) ⊊ (⊥‘𝐴))) → ∃𝑦C ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴)))
138, 12sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝑥C ∧ ((⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝑥) ∧ (⊥‘𝑥) ⊊ (⊥‘𝐴))) → ∃𝑦C ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴)))
1413ex 412 . . . . . . . . 9 (𝑥C → (((⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝑥) ∧ (⊥‘𝑥) ⊊ (⊥‘𝐴)) → ∃𝑦C ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴))))
1514ancomsd 465 . . . . . . . 8 (𝑥C → (((⊥‘𝑥) ⊊ (⊥‘𝐴) ∧ (⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝑥)) → ∃𝑦C ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴))))
1615adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → (((⊥‘𝑥) ⊊ (⊥‘𝐴) ∧ (⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝑥)) → ∃𝑦C ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴))))
177, 16sylbid 240 . . . . . 6 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → ((𝐴𝑥𝑥𝐵) → ∃𝑦C ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴))))
1817rexlimdva 3152 . . . . 5 ((𝐴C𝐵C ) → (∃𝑥C (𝐴𝑥𝑥𝐵) → ∃𝑦C ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴))))
19 chpsscon1 31532 . . . . . . . . 9 ((𝐵C𝑦C ) → ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦 ↔ (⊥‘𝑦) ⊊ 𝐵))
2019adantll 714 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦 ↔ (⊥‘𝑦) ⊊ 𝐵))
21 chpsscon2 31533 . . . . . . . . . 10 ((𝑦C𝐴C ) → (𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴) ↔ 𝐴 ⊊ (⊥‘𝑦)))
2221ancoms 458 . . . . . . . . 9 ((𝐴C𝑦C ) → (𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴) ↔ 𝐴 ⊊ (⊥‘𝑦)))
2322adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → (𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴) ↔ 𝐴 ⊊ (⊥‘𝑦)))
2420, 23anbi12d 632 . . . . . . 7 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → (((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴)) ↔ ((⊥‘𝑦) ⊊ 𝐵𝐴 ⊊ (⊥‘𝑦))))
25 choccl 31334 . . . . . . . . . . 11 (𝑦C → (⊥‘𝑦) ∈ C )
26 psseq2 4100 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (𝐴𝑥𝐴 ⊊ (⊥‘𝑦)))
27 psseq1 4099 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (𝑥𝐵 ↔ (⊥‘𝑦) ⊊ 𝐵))
2826, 27anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (⊥‘𝑦) → ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ↔ (𝐴 ⊊ (⊥‘𝑦) ∧ (⊥‘𝑦) ⊊ 𝐵)))
2928rspcev 3621 . . . . . . . . . . 11 (((⊥‘𝑦) ∈ C ∧ (𝐴 ⊊ (⊥‘𝑦) ∧ (⊥‘𝑦) ⊊ 𝐵)) → ∃𝑥C (𝐴𝑥𝑥𝐵))
3025, 29sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝑦C ∧ (𝐴 ⊊ (⊥‘𝑦) ∧ (⊥‘𝑦) ⊊ 𝐵)) → ∃𝑥C (𝐴𝑥𝑥𝐵))
3130ex 412 . . . . . . . . 9 (𝑦C → ((𝐴 ⊊ (⊥‘𝑦) ∧ (⊥‘𝑦) ⊊ 𝐵) → ∃𝑥C (𝐴𝑥𝑥𝐵)))
3231ancomsd 465 . . . . . . . 8 (𝑦C → (((⊥‘𝑦) ⊊ 𝐵𝐴 ⊊ (⊥‘𝑦)) → ∃𝑥C (𝐴𝑥𝑥𝐵)))
3332adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → (((⊥‘𝑦) ⊊ 𝐵𝐴 ⊊ (⊥‘𝑦)) → ∃𝑥C (𝐴𝑥𝑥𝐵)))
3424, 33sylbid 240 . . . . . 6 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → (((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴)) → ∃𝑥C (𝐴𝑥𝑥𝐵)))
3534rexlimdva 3152 . . . . 5 ((𝐴C𝐵C ) → (∃𝑦C ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴)) → ∃𝑥C (𝐴𝑥𝑥𝐵)))
3618, 35impbid 212 . . . 4 ((𝐴C𝐵C ) → (∃𝑥C (𝐴𝑥𝑥𝐵) ↔ ∃𝑦C ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴))))
3736notbid 318 . . 3 ((𝐴C𝐵C ) → (¬ ∃𝑥C (𝐴𝑥𝑥𝐵) ↔ ¬ ∃𝑦C ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴))))
381, 37anbi12d 632 . 2 ((𝐴C𝐵C ) → ((𝐴𝐵 ∧ ¬ ∃𝑥C (𝐴𝑥𝑥𝐵)) ↔ ((⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝐴) ∧ ¬ ∃𝑦C ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴)))))
39 cvbr 32310 . 2 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝐵 ↔ (𝐴𝐵 ∧ ¬ ∃𝑥C (𝐴𝑥𝑥𝐵))))
40 choccl 31334 . . 3 (𝐵C → (⊥‘𝐵) ∈ C )
41 choccl 31334 . . 3 (𝐴C → (⊥‘𝐴) ∈ C )
42 cvbr 32310 . . 3 (((⊥‘𝐵) ∈ C ∧ (⊥‘𝐴) ∈ C ) → ((⊥‘𝐵) ⋖ (⊥‘𝐴) ↔ ((⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝐴) ∧ ¬ ∃𝑦C ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴)))))
4340, 41, 42syl2anr 597 . 2 ((𝐴C𝐵C ) → ((⊥‘𝐵) ⋖ (⊥‘𝐴) ↔ ((⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝐴) ∧ ¬ ∃𝑦C ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴)))))
4438, 39, 433bitr4d 311 1 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝐵 ↔ (⊥‘𝐵) ⋖ (⊥‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wrex 3067  wpss 3963   class class class wbr 5147  cfv 6562   C cch 30957  cort 30958   ccv 30992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232  ax-hilex 31027  ax-hfvadd 31028  ax-hvcom 31029  ax-hvass 31030  ax-hv0cl 31031  ax-hvaddid 31032  ax-hfvmul 31033  ax-hvmulid 31034  ax-hvmulass 31035  ax-hvdistr1 31036  ax-hvdistr2 31037  ax-hvmul0 31038  ax-hfi 31107  ax-his1 31110  ax-his2 31111  ax-his3 31112  ax-his4 31113  ax-hcompl 31230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-lm 23252  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cfil 25302  df-cau 25303  df-cmet 25304  df-grpo 30521  df-gid 30522  df-ginv 30523  df-gdiv 30524  df-ablo 30573  df-vc 30587  df-nv 30620  df-va 30623  df-ba 30624  df-sm 30625  df-0v 30626  df-vs 30627  df-nmcv 30628  df-ims 30629  df-dip 30729  df-ssp 30750  df-ph 30841  df-cbn 30891  df-hnorm 30996  df-hba 30997  df-hvsub 30999  df-hlim 31000  df-hcau 31001  df-sh 31235  df-ch 31249  df-oc 31280  df-ch0 31281  df-cv 32307
This theorem is referenced by:  cvdmd  32365  cvexchi  32397
  Copyright terms: Public domain W3C validator