HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cvcon3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvcon3 31268
Description: Contraposition law for the covers relation. (Contributed by NM, 12-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cvcon3 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝐵 ↔ (⊥‘𝐵) ⋖ (⊥‘𝐴)))

Proof of Theorem cvcon3
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chpsscon3 30487 . . 3 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴𝐵 ↔ (⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝐴)))
2 chpsscon3 30487 . . . . . . . . 9 ((𝐴C𝑥C ) → (𝐴𝑥 ↔ (⊥‘𝑥) ⊊ (⊥‘𝐴)))
32adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → (𝐴𝑥 ↔ (⊥‘𝑥) ⊊ (⊥‘𝐴)))
4 chpsscon3 30487 . . . . . . . . . 10 ((𝑥C𝐵C ) → (𝑥𝐵 ↔ (⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝑥)))
54ancoms 460 . . . . . . . . 9 ((𝐵C𝑥C ) → (𝑥𝐵 ↔ (⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝑥)))
65adantll 713 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → (𝑥𝐵 ↔ (⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝑥)))
73, 6anbi12d 632 . . . . . . 7 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ↔ ((⊥‘𝑥) ⊊ (⊥‘𝐴) ∧ (⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝑥))))
8 choccl 30290 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C → (⊥‘𝑥) ∈ C )
9 psseq2 4049 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (⊥‘𝑥) → ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦 ↔ (⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝑥)))
10 psseq1 4048 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴) ↔ (⊥‘𝑥) ⊊ (⊥‘𝐴)))
119, 10anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴)) ↔ ((⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝑥) ∧ (⊥‘𝑥) ⊊ (⊥‘𝐴))))
1211rspcev 3580 . . . . . . . . . . 11 (((⊥‘𝑥) ∈ C ∧ ((⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝑥) ∧ (⊥‘𝑥) ⊊ (⊥‘𝐴))) → ∃𝑦C ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴)))
138, 12sylan 581 . . . . . . . . . 10 ((𝑥C ∧ ((⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝑥) ∧ (⊥‘𝑥) ⊊ (⊥‘𝐴))) → ∃𝑦C ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴)))
1413ex 414 . . . . . . . . 9 (𝑥C → (((⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝑥) ∧ (⊥‘𝑥) ⊊ (⊥‘𝐴)) → ∃𝑦C ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴))))
1514ancomsd 467 . . . . . . . 8 (𝑥C → (((⊥‘𝑥) ⊊ (⊥‘𝐴) ∧ (⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝑥)) → ∃𝑦C ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴))))
1615adantl 483 . . . . . . 7 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → (((⊥‘𝑥) ⊊ (⊥‘𝐴) ∧ (⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝑥)) → ∃𝑦C ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴))))
177, 16sylbid 239 . . . . . 6 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → ((𝐴𝑥𝑥𝐵) → ∃𝑦C ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴))))
1817rexlimdva 3149 . . . . 5 ((𝐴C𝐵C ) → (∃𝑥C (𝐴𝑥𝑥𝐵) → ∃𝑦C ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴))))
19 chpsscon1 30488 . . . . . . . . 9 ((𝐵C𝑦C ) → ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦 ↔ (⊥‘𝑦) ⊊ 𝐵))
2019adantll 713 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦 ↔ (⊥‘𝑦) ⊊ 𝐵))
21 chpsscon2 30489 . . . . . . . . . 10 ((𝑦C𝐴C ) → (𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴) ↔ 𝐴 ⊊ (⊥‘𝑦)))
2221ancoms 460 . . . . . . . . 9 ((𝐴C𝑦C ) → (𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴) ↔ 𝐴 ⊊ (⊥‘𝑦)))
2322adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → (𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴) ↔ 𝐴 ⊊ (⊥‘𝑦)))
2420, 23anbi12d 632 . . . . . . 7 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → (((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴)) ↔ ((⊥‘𝑦) ⊊ 𝐵𝐴 ⊊ (⊥‘𝑦))))
25 choccl 30290 . . . . . . . . . . 11 (𝑦C → (⊥‘𝑦) ∈ C )
26 psseq2 4049 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (𝐴𝑥𝐴 ⊊ (⊥‘𝑦)))
27 psseq1 4048 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (𝑥𝐵 ↔ (⊥‘𝑦) ⊊ 𝐵))
2826, 27anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (⊥‘𝑦) → ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ↔ (𝐴 ⊊ (⊥‘𝑦) ∧ (⊥‘𝑦) ⊊ 𝐵)))
2928rspcev 3580 . . . . . . . . . . 11 (((⊥‘𝑦) ∈ C ∧ (𝐴 ⊊ (⊥‘𝑦) ∧ (⊥‘𝑦) ⊊ 𝐵)) → ∃𝑥C (𝐴𝑥𝑥𝐵))
3025, 29sylan 581 . . . . . . . . . 10 ((𝑦C ∧ (𝐴 ⊊ (⊥‘𝑦) ∧ (⊥‘𝑦) ⊊ 𝐵)) → ∃𝑥C (𝐴𝑥𝑥𝐵))
3130ex 414 . . . . . . . . 9 (𝑦C → ((𝐴 ⊊ (⊥‘𝑦) ∧ (⊥‘𝑦) ⊊ 𝐵) → ∃𝑥C (𝐴𝑥𝑥𝐵)))
3231ancomsd 467 . . . . . . . 8 (𝑦C → (((⊥‘𝑦) ⊊ 𝐵𝐴 ⊊ (⊥‘𝑦)) → ∃𝑥C (𝐴𝑥𝑥𝐵)))
3332adantl 483 . . . . . . 7 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → (((⊥‘𝑦) ⊊ 𝐵𝐴 ⊊ (⊥‘𝑦)) → ∃𝑥C (𝐴𝑥𝑥𝐵)))
3424, 33sylbid 239 . . . . . 6 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → (((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴)) → ∃𝑥C (𝐴𝑥𝑥𝐵)))
3534rexlimdva 3149 . . . . 5 ((𝐴C𝐵C ) → (∃𝑦C ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴)) → ∃𝑥C (𝐴𝑥𝑥𝐵)))
3618, 35impbid 211 . . . 4 ((𝐴C𝐵C ) → (∃𝑥C (𝐴𝑥𝑥𝐵) ↔ ∃𝑦C ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴))))
3736notbid 318 . . 3 ((𝐴C𝐵C ) → (¬ ∃𝑥C (𝐴𝑥𝑥𝐵) ↔ ¬ ∃𝑦C ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴))))
381, 37anbi12d 632 . 2 ((𝐴C𝐵C ) → ((𝐴𝐵 ∧ ¬ ∃𝑥C (𝐴𝑥𝑥𝐵)) ↔ ((⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝐴) ∧ ¬ ∃𝑦C ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴)))))
39 cvbr 31266 . 2 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝐵 ↔ (𝐴𝐵 ∧ ¬ ∃𝑥C (𝐴𝑥𝑥𝐵))))
40 choccl 30290 . . 3 (𝐵C → (⊥‘𝐵) ∈ C )
41 choccl 30290 . . 3 (𝐴C → (⊥‘𝐴) ∈ C )
42 cvbr 31266 . . 3 (((⊥‘𝐵) ∈ C ∧ (⊥‘𝐴) ∈ C ) → ((⊥‘𝐵) ⋖ (⊥‘𝐴) ↔ ((⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝐴) ∧ ¬ ∃𝑦C ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴)))))
4340, 41, 42syl2anr 598 . 2 ((𝐴C𝐵C ) → ((⊥‘𝐵) ⋖ (⊥‘𝐴) ↔ ((⊥‘𝐵) ⊊ (⊥‘𝐴) ∧ ¬ ∃𝑦C ((⊥‘𝐵) ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (⊥‘𝐴)))))
4438, 39, 433bitr4d 311 1 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝐵 ↔ (⊥‘𝐵) ⋖ (⊥‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3070  wpss 3912   class class class wbr 5106  cfv 6497   C cch 29913  cort 29914   ccv 29948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cc 10376  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136  ax-hilex 29983  ax-hfvadd 29984  ax-hvcom 29985  ax-hvass 29986  ax-hv0cl 29987  ax-hvaddid 29988  ax-hfvmul 29989  ax-hvmulid 29990  ax-hvmulass 29991  ax-hvdistr1 29992  ax-hvdistr2 29993  ax-hvmul0 29994  ax-hfi 30063  ax-his1 30066  ax-his2 30067  ax-his3 30068  ax-his4 30069  ax-hcompl 30186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-acn 9883  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-lm 22596  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cfil 24635  df-cau 24636  df-cmet 24637  df-grpo 29477  df-gid 29478  df-ginv 29479  df-gdiv 29480  df-ablo 29529  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-vs 29583  df-nmcv 29584  df-ims 29585  df-dip 29685  df-ssp 29706  df-ph 29797  df-cbn 29847  df-hnorm 29952  df-hba 29953  df-hvsub 29955  df-hlim 29956  df-hcau 29957  df-sh 30191  df-ch 30205  df-oc 30236  df-ch0 30237  df-cv 31263
This theorem is referenced by:  cvdmd  31321  cvexchi  31353
  Copyright terms: Public domain W3C validator