Theorem cvexchlem 32458

Description: Lemma for cvexchi 32459. (Contributed by NM, 10-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
chpssat.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chpssat.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
cvexchlem	⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 → 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))

Proof of Theorem cvexchlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpssat.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		chpssat.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3	1, 2	chincli 31550	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
4		cvpss 32375	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊊ 𝐵))
5	3, 2, 4	mp2an 693	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊊ 𝐵)
6	3, 2	chpssati 32453	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊊ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)))
8		ssin 4180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ↔ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵))
9		ancom 460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ↔ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴))
10	8, 9	bitr3i 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴))
11	10	baibr 536	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐵 → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)))
12	11	notbid 318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐵 → (¬ 𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)))
13	12	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ¬ 𝑥 ⊆ 𝐴)
14		chcv1 32445	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (¬ 𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
15	1, 14	mpan 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → (¬ 𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
16	15	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))
17	13, 16	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))
18	17	adantrr 718	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵)) → 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))
19		atelch 32434	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → 𝑥 ∈ Cℋ )
20		chjass 31623	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥)))
21	1, 3, 20	mp3an12 1454	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥)))
22	1, 2	chabs1i 31608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) = 𝐴
23	22	oveq1i 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∨ℋ 𝑥)
24	21, 23	eqtr3di 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐴 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥)) = (𝐴 ∨ℋ 𝑥))
25	24	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵)) → (𝐴 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥)) = (𝐴 ∨ℋ 𝑥))
26		ancom 460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)) ↔ (¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))
27		chnle 31604	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊊ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥)))
28	3, 27	mpan 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊊ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥)))
29		inss2 4179	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
30	29	biantrur 530	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))
31		chlub 31599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ↔ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) ⊆ 𝐵))
32	3, 2, 31	mp3an13 1455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ↔ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) ⊆ 𝐵))
33	30, 32	bitrid 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) ⊆ 𝐵))
34	28, 33	anbi12d 633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ↔ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊊ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) ⊆ 𝐵)))
35	26, 34	bitrid 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊊ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) ⊆ 𝐵)))
36		chjcl 31447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ )
37	3, 36	mpan 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ )
38		cvnbtwn2 32377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊊ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) ⊆ 𝐵) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) = 𝐵)))
39	3, 2, 38	mp3an12 1454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊊ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) ⊆ 𝐵) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) = 𝐵)))
40	37, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊊ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) ⊆ 𝐵) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) = 𝐵)))
41	40	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊊ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) ⊆ 𝐵) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) = 𝐵)))
42	35, 41	sylbid 240	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) = 𝐵)))
43	42	imp32 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵)) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) = 𝐵)
44	43	oveq2d 7378	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵)) → (𝐴 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥)) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
45	25, 44	eqtr3d 2774	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵)) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
46	19, 45	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵)) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
47	18, 46	breqtrd 5112	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵)) → 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
48	47	exp32 420	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 → 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
49	48	rexlimiv 3132	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 → 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
50	7, 49	mpcom 38	1 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 → 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890   ⊊ wpss 3891   class class class wbr 5086  (class class class)co 7362   C_ℋ cch 31019   ∨_ℋ chj 31023   ⋖_ℋ ccv 31054  HAtomscat 31055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-inf2 9557  ax-cc 10352  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112  ax-mulf 11113  ax-hilex 31089  ax-hfvadd 31090  ax-hvcom 31091  ax-hvass 31092  ax-hv0cl 31093  ax-hvaddid 31094  ax-hfvmul 31095  ax-hvmulid 31096  ax-hvmulass 31097  ax-hvdistr1 31098  ax-hvdistr2 31099  ax-hvmul0 31100  ax-hfi 31169  ax-his1 31172  ax-his2 31173  ax-his3 31174  ax-his4 31175  ax-hcompl 31292

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7626  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-oadd 8404  df-omul 8405  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-fi 9319  df-sup 9350  df-inf 9351  df-oi 9420  df-card 9858  df-acn 9861  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ioo 13297  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-rlim 15446  df-sum 15644  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-rest 17380  df-topn 17381  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-topgen 17401  df-pt 17402  df-prds 17405  df-xrs 17461  df-qtop 17466  df-imas 17467  df-xps 17469  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-mulg 19039  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-psmet 21340  df-xmet 21341  df-met 21342  df-bl 21343  df-mopn 21344  df-fbas 21345  df-fg 21346  df-cnfld 21349  df-top 22873  df-topon 22890  df-topsp 22912  df-bases 22925  df-cld 22998  df-ntr 22999  df-cls 23000  df-nei 23077  df-cn 23206  df-cnp 23207  df-lm 23208  df-haus 23294  df-tx 23541  df-hmeo 23734  df-fil 23825  df-fm 23917  df-flim 23918  df-flf 23919  df-xms 24299  df-ms 24300  df-tms 24301  df-cfil 25236  df-cau 25237  df-cmet 25238  df-grpo 30583  df-gid 30584  df-ginv 30585  df-gdiv 30586  df-ablo 30635  df-vc 30649  df-nv 30682  df-va 30685  df-ba 30686  df-sm 30687  df-0v 30688  df-vs 30689  df-nmcv 30690  df-ims 30691  df-dip 30791  df-ssp 30812  df-ph 30903  df-cbn 30953  df-hnorm 31058  df-hba 31059  df-hvsub 31061  df-hlim 31062  df-hcau 31063  df-sh 31297  df-ch 31311  df-oc 31342  df-ch0 31343  df-shs 31398  df-span 31399  df-chj 31400  df-chsup 31401  df-pjh 31485  df-cv 32369  df-at 32428

This theorem is referenced by:  cvexchi  32459