Theorem cvexchlem 32461

Description: Lemma for cvexchi 32462. (Contributed by NM, 10-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
chpssat.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chpssat.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
cvexchlem	⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 → 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))

Proof of Theorem cvexchlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpssat.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		chpssat.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3	1, 2	chincli 31553	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
4		cvpss 32378	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊊ 𝐵))
5	3, 2, 4	mp2an 699	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊊ 𝐵)
6	3, 2	chpssati 32456	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊊ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)))
8		ssin 4170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ↔ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵))
9		ancom 462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ↔ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴))
10	8, 9	bitr3i 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴))
11	10	baibr 542	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐵 → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)))
12	11	notbid 320	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐵 → (¬ 𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)))
13	12	biimpar 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ¬ 𝑥 ⊆ 𝐴)
14		chcv1 32448	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (¬ 𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
15	1, 14	mpan 697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → (¬ 𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
16	15	biimpa 478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))
17	13, 16	sylan2 600	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))
18	17	adantrr 724	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵)) → 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))
19		atelch 32437	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → 𝑥 ∈ Cℋ )
20		chjass 31626	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥)))
21	1, 3, 20	mp3an12 1460	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥)))
22	1, 2	chabs1i 31611	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) = 𝐴
23	22	oveq1i 7370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∨ℋ 𝑥)
24	21, 23	eqtr3di 2791	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐴 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥)) = (𝐴 ∨ℋ 𝑥))
25	24	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵)) → (𝐴 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥)) = (𝐴 ∨ℋ 𝑥))
26		ancom 462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)) ↔ (¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))
27		chnle 31607	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊊ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥)))
28	3, 27	mpan 697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊊ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥)))
29		inss2 4169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
30	29	biantrur 536	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))
31		chlub 31602	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ↔ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) ⊆ 𝐵))
32	3, 2, 31	mp3an13 1461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ↔ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) ⊆ 𝐵))
33	30, 32	bitrid 285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) ⊆ 𝐵))
34	28, 33	anbi12d 639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ↔ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊊ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) ⊆ 𝐵)))
35	26, 34	bitrid 285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊊ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) ⊆ 𝐵)))
36		chjcl 31450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ )
37	3, 36	mpan 697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ )
38		cvnbtwn2 32380	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊊ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) ⊆ 𝐵) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) = 𝐵)))
39	3, 2, 38	mp3an12 1460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊊ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) ⊆ 𝐵) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) = 𝐵)))
40	37, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊊ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) ⊆ 𝐵) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) = 𝐵)))
41	40	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊊ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) ⊆ 𝐵) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) = 𝐵)))
42	35, 41	sylbid 242	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) = 𝐵)))
43	42	imp32 420	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵)) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) = 𝐵)
44	43	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵)) → (𝐴 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥)) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
45	25, 44	eqtr3d 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵)) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
46	19, 45	sylan 587	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵)) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
47	18, 46	breqtrd 5101	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵)) → 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
48	47	exp32 422	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 → 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
49	48	rexlimiv 3135	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 → 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
50	7, 49	mpcom 38	1 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 → 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∃wrex 3065   ∩ cin 3884   ⊆ wss 3885   ⊊ wpss 3886   class class class wbr 5075  (class class class)co 7360   C_ℋ cch 31022   ∨_ℋ chj 31026   ⋖_ℋ ccv 31057  HAtomscat 31058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-inf2 9557  ax-cc 10352  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112  ax-mulf 11113  ax-hilex 31092  ax-hfvadd 31093  ax-hvcom 31094  ax-hvass 31095  ax-hv0cl 31096  ax-hvaddid 31097  ax-hfvmul 31098  ax-hvmulid 31099  ax-hvmulass 31100  ax-hvdistr1 31101  ax-hvdistr2 31102  ax-hvmul0 31103  ax-hfi 31172  ax-his1 31175  ax-his2 31176  ax-his3 31177  ax-his4 31178  ax-hcompl 31295

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-omul 8404  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9858  df-acn 9861  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ioo 13297  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-rlim 15446  df-sum 15644  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-rest 17380  df-topn 17381  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-topgen 17401  df-pt 17402  df-prds 17405  df-xrs 17461  df-qtop 17466  df-imas 17467  df-xps 17469  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-mulg 19039  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-psmet 21343  df-xmet 21344  df-met 21345  df-bl 21346  df-mopn 21347  df-fbas 21348  df-fg 21349  df-cnfld 21352  df-top 22881  df-topon 22898  df-topsp 22920  df-bases 22933  df-cld 23006  df-ntr 23007  df-cls 23008  df-nei 23085  df-cn 23214  df-cnp 23215  df-lm 23216  df-haus 23302  df-tx 23549  df-hmeo 23742  df-fil 23833  df-fm 23925  df-flim 23926  df-flf 23927  df-xms 24307  df-ms 24308  df-tms 24309  df-cfil 25244  df-cau 25245  df-cmet 25246  df-grpo 30586  df-gid 30587  df-ginv 30588  df-gdiv 30589  df-ablo 30638  df-vc 30652  df-nv 30685  df-va 30688  df-ba 30689  df-sm 30690  df-0v 30691  df-vs 30692  df-nmcv 30693  df-ims 30694  df-dip 30794  df-ssp 30815  df-ph 30906  df-cbn 30956  df-hnorm 31061  df-hba 31062  df-hvsub 31064  df-hlim 31065  df-hcau 31066  df-sh 31300  df-ch 31314  df-oc 31345  df-ch0 31346  df-shs 31401  df-span 31402  df-chj 31403  df-chsup 31404  df-pjh 31488  df-cv 32372  df-at 32431

This theorem is referenced by:  cvexchi  32462