HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cvexchlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvexchlem 32045
Description: Lemma for cvexchi 32046. (Contributed by NM, 10-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
chpssat.1 𝐴C
chpssat.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
cvexchlem ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵𝐴 (𝐴 𝐵))

Proof of Theorem cvexchlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chpssat.1 . . . . 5 𝐴C
2 chpssat.2 . . . . 5 𝐵C
31, 2chincli 31137 . . . 4 (𝐴𝐵) ∈ C
4 cvpss 31962 . . . 4 (((𝐴𝐵) ∈ C𝐵C ) → ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵 → (𝐴𝐵) ⊊ 𝐵))
53, 2, 4mp2an 689 . . 3 ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵 → (𝐴𝐵) ⊊ 𝐵)
63, 2chpssati 32040 . . 3 ((𝐴𝐵) ⊊ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵)))
75, 6syl 17 . 2 ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵)))
8 ssin 4222 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵))
9 ancom 460 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ (𝑥𝐵𝑥𝐴))
108, 9bitr3i 277 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ⊆ (𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐵𝑥𝐴))
1110baibr 536 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵 → (𝑥𝐴𝑥 ⊆ (𝐴𝐵)))
1211notbid 318 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵 → (¬ 𝑥𝐴 ↔ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵)))
1312biimpar 477 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵)) → ¬ 𝑥𝐴)
14 chcv1 32032 . . . . . . . . 9 ((𝐴C𝑥 ∈ HAtoms) → (¬ 𝑥𝐴𝐴 (𝐴 𝑥)))
151, 14mpan 687 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ HAtoms → (¬ 𝑥𝐴𝐴 (𝐴 𝑥)))
1615biimpa 476 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝐴 (𝐴 𝑥))
1713, 16sylan2 592 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵))) → 𝐴 (𝐴 𝑥))
1817adantrr 714 . . . . 5 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ ((𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵)) ∧ (𝐴𝐵) ⋖ 𝐵)) → 𝐴 (𝐴 𝑥))
19 atelch 32021 . . . . . 6 (𝑥 ∈ HAtoms → 𝑥C )
20 chjass 31210 . . . . . . . . . 10 ((𝐴C ∧ (𝐴𝐵) ∈ C𝑥C ) → ((𝐴 (𝐴𝐵)) ∨ 𝑥) = (𝐴 ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥)))
211, 3, 20mp3an12 1447 . . . . . . . . 9 (𝑥C → ((𝐴 (𝐴𝐵)) ∨ 𝑥) = (𝐴 ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥)))
221, 2chabs1i 31195 . . . . . . . . . 10 (𝐴 (𝐴𝐵)) = 𝐴
2322oveq1i 7411 . . . . . . . . 9 ((𝐴 (𝐴𝐵)) ∨ 𝑥) = (𝐴 𝑥)
2421, 23eqtr3di 2779 . . . . . . . 8 (𝑥C → (𝐴 ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥)) = (𝐴 𝑥))
2524adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑥C ∧ ((𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵)) ∧ (𝐴𝐵) ⋖ 𝐵)) → (𝐴 ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥)) = (𝐴 𝑥))
26 ancom 460 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵)) ↔ (¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐵))
27 chnle 31191 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵) ∈ C𝑥C ) → (¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵) ↔ (𝐴𝐵) ⊊ ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥)))
283, 27mpan 687 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥C → (¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵) ↔ (𝐴𝐵) ⊊ ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥)))
29 inss2 4221 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵
3029biantrur 530 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐵 ↔ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐵𝑥𝐵))
31 chlub 31186 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐵) ∈ C𝑥C𝐵C ) → (((𝐴𝐵) ⊆ 𝐵𝑥𝐵) ↔ ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) ⊆ 𝐵))
323, 2, 31mp3an13 1448 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥C → (((𝐴𝐵) ⊆ 𝐵𝑥𝐵) ↔ ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) ⊆ 𝐵))
3330, 32bitrid 283 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥C → (𝑥𝐵 ↔ ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) ⊆ 𝐵))
3428, 33anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C → ((¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ↔ ((𝐴𝐵) ⊊ ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) ∧ ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) ⊆ 𝐵)))
3526, 34bitrid 283 . . . . . . . . . 10 (𝑥C → ((𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵)) ↔ ((𝐴𝐵) ⊊ ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) ∧ ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) ⊆ 𝐵)))
36 chjcl 31034 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵) ∈ C𝑥C ) → ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) ∈ C )
373, 36mpan 687 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥C → ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) ∈ C )
38 cvnbtwn2 31964 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵) ∈ C𝐵C ∧ ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) ∈ C ) → ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵 → (((𝐴𝐵) ⊊ ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) ∧ ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) ⊆ 𝐵) → ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) = 𝐵)))
393, 2, 38mp3an12 1447 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) ∈ C → ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵 → (((𝐴𝐵) ⊊ ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) ∧ ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) ⊆ 𝐵) → ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) = 𝐵)))
4037, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C → ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵 → (((𝐴𝐵) ⊊ ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) ∧ ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) ⊆ 𝐵) → ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) = 𝐵)))
4140com23 86 . . . . . . . . . 10 (𝑥C → (((𝐴𝐵) ⊊ ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) ∧ ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) ⊆ 𝐵) → ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵 → ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) = 𝐵)))
4235, 41sylbid 239 . . . . . . . . 9 (𝑥C → ((𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵)) → ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵 → ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) = 𝐵)))
4342imp32 418 . . . . . . . 8 ((𝑥C ∧ ((𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵)) ∧ (𝐴𝐵) ⋖ 𝐵)) → ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) = 𝐵)
4443oveq2d 7417 . . . . . . 7 ((𝑥C ∧ ((𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵)) ∧ (𝐴𝐵) ⋖ 𝐵)) → (𝐴 ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥)) = (𝐴 𝐵))
4525, 44eqtr3d 2766 . . . . . 6 ((𝑥C ∧ ((𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵)) ∧ (𝐴𝐵) ⋖ 𝐵)) → (𝐴 𝑥) = (𝐴 𝐵))
4619, 45sylan 579 . . . . 5 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ ((𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵)) ∧ (𝐴𝐵) ⋖ 𝐵)) → (𝐴 𝑥) = (𝐴 𝐵))
4718, 46breqtrd 5164 . . . 4 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ ((𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵)) ∧ (𝐴𝐵) ⋖ 𝐵)) → 𝐴 (𝐴 𝐵))
4847exp32 420 . . 3 (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵)) → ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵𝐴 (𝐴 𝐵))))
4948rexlimiv 3140 . 2 (∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵)) → ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵𝐴 (𝐴 𝐵)))
507, 49mpcom 38 1 ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵𝐴 (𝐴 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3062  cin 3939  wss 3940  wpss 3941   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401   C cch 30606   chj 30610   ccv 30641  HAtomscat 30642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631  ax-cc 10425  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-addf 11184  ax-mulf 11185  ax-hilex 30676  ax-hfvadd 30677  ax-hvcom 30678  ax-hvass 30679  ax-hv0cl 30680  ax-hvaddid 30681  ax-hfvmul 30682  ax-hvmulid 30683  ax-hvmulass 30684  ax-hvdistr1 30685  ax-hvdistr2 30686  ax-hvmul0 30687  ax-hfi 30756  ax-his1 30759  ax-his2 30760  ax-his3 30761  ax-his4 30762  ax-hcompl 30879
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-fi 9401  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-card 9929  df-acn 9932  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-submnd 18701  df-mulg 18983  df-cntz 19218  df-cmn 19687  df-psmet 21215  df-xmet 21216  df-met 21217  df-bl 21218  df-mopn 21219  df-fbas 21220  df-fg 21221  df-cnfld 21224  df-top 22706  df-topon 22723  df-topsp 22745  df-bases 22759  df-cld 22833  df-ntr 22834  df-cls 22835  df-nei 22912  df-cn 23041  df-cnp 23042  df-lm 23043  df-haus 23129  df-tx 23376  df-hmeo 23569  df-fil 23660  df-fm 23752  df-flim 23753  df-flf 23754  df-xms 24136  df-ms 24137  df-tms 24138  df-cfil 25093  df-cau 25094  df-cmet 25095  df-grpo 30170  df-gid 30171  df-ginv 30172  df-gdiv 30173  df-ablo 30222  df-vc 30236  df-nv 30269  df-va 30272  df-ba 30273  df-sm 30274  df-0v 30275  df-vs 30276  df-nmcv 30277  df-ims 30278  df-dip 30378  df-ssp 30399  df-ph 30490  df-cbn 30540  df-hnorm 30645  df-hba 30646  df-hvsub 30648  df-hlim 30649  df-hcau 30650  df-sh 30884  df-ch 30898  df-oc 30929  df-ch0 30930  df-shs 30985  df-span 30986  df-chj 30987  df-chsup 30988  df-pjh 31072  df-cv 31956  df-at 32015
This theorem is referenced by:  cvexchi  32046
  Copyright terms: Public domain W3C validator