Theorem atexch 32475

Description: The Hilbert lattice satisfies the atom exchange property. Proposition 1(i) of [Kalmbach] p. 140. A version of this theorem related to vector analysis was originally proved by Hermann Grassmann in 1862. Also Definition 3.4-3(b) in [MegPav2000] p. 2345 (PDF p. 8) (use atnemeq0 32471 to obtain atom inequality). (Contributed by NM, 27-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
atexch	⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))

Proof of Theorem atexch

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atelch 32438	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → 𝐶 ∈ Cℋ )
2		chub2 31602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))
3	2	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))
4	1, 3	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))
5	4	3adant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ)) → 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))
7		cvp 32469	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ↔ 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
8		atelch 32438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵 ∈ Cℋ )
9		chjcl 31451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )
10	8, 9	sylan2 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )
11		cvpss 32379	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ) → (𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝐴 ⊊ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
12	10, 11	syldan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝐴 ⊊ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
13	7, 12	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ → 𝐴 ⊊ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
14	13	3adant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ → 𝐴 ⊊ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
15	14	adantld 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → 𝐴 ⊊ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
16		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 𝐴 ∈ Cℋ )
17		chub1 31601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))
18	17	3adant2 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))
19	18	a1d 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)))
20	19	ancrd 551	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))))
21		chjcl 31451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ )
22	21	3adant2 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ )
23		chlub 31603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)))
24	22, 23	syld3an3 1412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)))
25	20, 24	sylibd 239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)))
26	16, 8, 1, 25	syl3an 1161	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)))
27	26	adantrd 491	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)))
28	15, 27	jcad 512	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝐴 ⊊ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))))
29	28	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ)) → (𝐴 ⊊ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)))
30		simp1 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐴 ∈ Cℋ )
31	9	3adant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )
32	30, 22, 31	3jca 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ))
33	16, 8, 1, 32	syl3an 1161	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ))
34	14, 26	anim12d 610	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐴 ⊊ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))))
35	34	ancomsd 465	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝐴 ⊊ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))))
36		psssstr 4063	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊊ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → 𝐴 ⊊ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))
37	35, 36	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → 𝐴 ⊊ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)))
38		chcv2 32450	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴 ⊊ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ↔ 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)))
39	38	3adant2 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴 ⊊ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ↔ 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)))
40	37, 39	sylibd 239	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)))
41		cvnbtwn2 32381	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ) → (𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) → ((𝐴 ⊊ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐶))))
42	33, 40, 41	sylsyld 61	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → ((𝐴 ⊊ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐶))))
43	42	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ)) → ((𝐴 ⊊ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐶)))
44	29, 43	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ)) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐶))
45	6, 44	sseqtrrd 3973	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ)) → 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
46	45	ex 412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903   ⊊ wpss 3904   class class class wbr 5100  (class class class)co 7370   C_ℋ cch 31023   ∨_ℋ chj 31027  0_ℋc0h 31029   ⋖_ℋ ccv 31058  HAtomscat 31059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-inf2 9564  ax-cc 10359  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118  ax-addf 11119  ax-mulf 11120  ax-hilex 31093  ax-hfvadd 31094  ax-hvcom 31095  ax-hvass 31096  ax-hv0cl 31097  ax-hvaddid 31098  ax-hfvmul 31099  ax-hvmulid 31100  ax-hvmulass 31101  ax-hvdistr1 31102  ax-hvdistr2 31103  ax-hvmul0 31104  ax-hfi 31173  ax-his1 31176  ax-his2 31177  ax-his3 31178  ax-his4 31179  ax-hcompl 31296

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-supp 8115  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-oadd 8413  df-omul 8414  df-er 8647  df-map 8779  df-pm 8780  df-ixp 8850  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-fsupp 9279  df-fi 9328  df-sup 9359  df-inf 9360  df-oi 9429  df-card 9865  df-acn 9868  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-q 12876  df-rp 12920  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13279  df-ico 13281  df-icc 13282  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-fl 13726  df-seq 13939  df-exp 13999  df-hash 14268  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173  df-clim 15425  df-rlim 15426  df-sum 15624  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-starv 17206  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-ip 17209  df-tset 17210  df-ple 17211  df-ds 17213  df-unif 17214  df-hom 17215  df-cco 17216  df-rest 17356  df-topn 17357  df-0g 17375  df-gsum 17376  df-topgen 17377  df-pt 17378  df-prds 17381  df-xrs 17437  df-qtop 17442  df-imas 17443  df-xps 17445  df-mre 17519  df-mrc 17520  df-acs 17522  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-submnd 18723  df-mulg 19015  df-cntz 19263  df-cmn 19728  df-psmet 21318  df-xmet 21319  df-met 21320  df-bl 21321  df-mopn 21322  df-fbas 21323  df-fg 21324  df-cnfld 21327  df-top 22855  df-topon 22872  df-topsp 22894  df-bases 22907  df-cld 22980  df-ntr 22981  df-cls 22982  df-nei 23059  df-cn 23188  df-cnp 23189  df-lm 23190  df-haus 23276  df-tx 23523  df-hmeo 23716  df-fil 23807  df-fm 23899  df-flim 23900  df-flf 23901  df-xms 24281  df-ms 24282  df-tms 24283  df-cfil 25228  df-cau 25229  df-cmet 25230  df-grpo 30587  df-gid 30588  df-ginv 30589  df-gdiv 30590  df-ablo 30639  df-vc 30653  df-nv 30686  df-va 30689  df-ba 30690  df-sm 30691  df-0v 30692  df-vs 30693  df-nmcv 30694  df-ims 30695  df-dip 30795  df-ssp 30816  df-ph 30907  df-cbn 30957  df-hnorm 31062  df-hba 31063  df-hvsub 31065  df-hlim 31066  df-hcau 31067  df-sh 31301  df-ch 31315  df-oc 31346  df-ch0 31347  df-shs 31402  df-span 31403  df-chj 31404  df-chsup 31405  df-pjh 31489  df-cv 32373  df-at 32432

This theorem is referenced by:  atomli  32476  atcvatlem  32479  atcvat4i  32491  mdsymlem3  32499  mdsymlem5  32501