HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  atexch Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atexch 31323
Description: The Hilbert lattice satisfies the atom exchange property. Proposition 1(i) of [Kalmbach] p. 140. A version of this theorem related to vector analysis was originally proved by Hermann Grassmann in 1862. Also Definition 3.4-3(b) in [MegPav2000] p. 2345 (PDF p. 8) (use atnemeq0 31319 to obtain atom inequality). (Contributed by NM, 27-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
atexch ((𝐴C𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) ∧ (𝐴𝐵) = 0) → 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵)))

Proof of Theorem atexch
StepHypRef Expression
1 atelch 31286 . . . . . 6 (𝐶 ∈ HAtoms → 𝐶C )
2 chub2 30450 . . . . . . 7 ((𝐶C𝐴C ) → 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐶))
32ancoms 459 . . . . . 6 ((𝐴C𝐶C ) → 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐶))
41, 3sylan2 593 . . . . 5 ((𝐴C𝐶 ∈ HAtoms) → 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐶))
543adant2 1131 . . . 4 ((𝐴C𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐶))
65adantr 481 . . 3 (((𝐴C𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) ∧ (𝐴𝐵) = 0)) → 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐶))
7 cvp 31317 . . . . . . . . 9 ((𝐴C𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝐴𝐵) = 0𝐴 (𝐴 𝐵)))
8 atelch 31286 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵C )
9 chjcl 30299 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝐵) ∈ C )
108, 9sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((𝐴C𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 𝐵) ∈ C )
11 cvpss 31227 . . . . . . . . . 10 ((𝐴C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C ) → (𝐴 (𝐴 𝐵) → 𝐴 ⊊ (𝐴 𝐵)))
1210, 11syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝐴C𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 (𝐴 𝐵) → 𝐴 ⊊ (𝐴 𝐵)))
137, 12sylbid 239 . . . . . . . 8 ((𝐴C𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝐴𝐵) = 0𝐴 ⊊ (𝐴 𝐵)))
14133adant3 1132 . . . . . . 7 ((𝐴C𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐴𝐵) = 0𝐴 ⊊ (𝐴 𝐵)))
1514adantld 491 . . . . . 6 ((𝐴C𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) ∧ (𝐴𝐵) = 0) → 𝐴 ⊊ (𝐴 𝐵)))
16 id 22 . . . . . . . 8 (𝐴C𝐴C )
17 chub1 30449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴C𝐶C ) → 𝐴 ⊆ (𝐴 𝐶))
18173adant2 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴C𝐵C𝐶C ) → 𝐴 ⊆ (𝐴 𝐶))
1918a1d 25 . . . . . . . . . 10 ((𝐴C𝐵C𝐶C ) → (𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) → 𝐴 ⊆ (𝐴 𝐶)))
2019ancrd 552 . . . . . . . . 9 ((𝐴C𝐵C𝐶C ) → (𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) → (𝐴 ⊆ (𝐴 𝐶) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))))
21 chjcl 30299 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴C𝐶C ) → (𝐴 𝐶) ∈ C )
22213adant2 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝐴C𝐵C𝐶C ) → (𝐴 𝐶) ∈ C )
23 chlub 30451 . . . . . . . . . 10 ((𝐴C𝐵C ∧ (𝐴 𝐶) ∈ C ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 𝐶) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) ↔ (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐶)))
2422, 23syld3an3 1409 . . . . . . . . 9 ((𝐴C𝐵C𝐶C ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 𝐶) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) ↔ (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐶)))
2520, 24sylibd 238 . . . . . . . 8 ((𝐴C𝐵C𝐶C ) → (𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) → (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐶)))
2616, 8, 1, 25syl3an 1160 . . . . . . 7 ((𝐴C𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) → (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐶)))
2726adantrd 492 . . . . . 6 ((𝐴C𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐶)))
2815, 27jcad 513 . . . . 5 ((𝐴C𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝐴 ⊊ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐶))))
2928imp 407 . . . 4 (((𝐴C𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) ∧ (𝐴𝐵) = 0)) → (𝐴 ⊊ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐶)))
30 simp1 1136 . . . . . . . 8 ((𝐴C𝐵C𝐶C ) → 𝐴C )
3193adant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝐴C𝐵C𝐶C ) → (𝐴 𝐵) ∈ C )
3230, 22, 313jca 1128 . . . . . . 7 ((𝐴C𝐵C𝐶C ) → (𝐴C ∧ (𝐴 𝐶) ∈ C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C ))
3316, 8, 1, 32syl3an 1160 . . . . . 6 ((𝐴C𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴C ∧ (𝐴 𝐶) ∈ C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C ))
3414, 26anim12d 609 . . . . . . . . 9 ((𝐴C𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((𝐴𝐵) = 0𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐴 ⊊ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐶))))
3534ancomsd 466 . . . . . . . 8 ((𝐴C𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝐴 ⊊ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐶))))
36 psssstr 4066 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊊ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐶)) → 𝐴 ⊊ (𝐴 𝐶))
3735, 36syl6 35 . . . . . . 7 ((𝐴C𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) ∧ (𝐴𝐵) = 0) → 𝐴 ⊊ (𝐴 𝐶)))
38 chcv2 31298 . . . . . . . 8 ((𝐴C𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴 ⊊ (𝐴 𝐶) ↔ 𝐴 (𝐴 𝐶)))
39383adant2 1131 . . . . . . 7 ((𝐴C𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴 ⊊ (𝐴 𝐶) ↔ 𝐴 (𝐴 𝐶)))
4037, 39sylibd 238 . . . . . 6 ((𝐴C𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) ∧ (𝐴𝐵) = 0) → 𝐴 (𝐴 𝐶)))
41 cvnbtwn2 31229 . . . . . 6 ((𝐴C ∧ (𝐴 𝐶) ∈ C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C ) → (𝐴 (𝐴 𝐶) → ((𝐴 ⊊ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 𝐶))))
4233, 40, 41sylsyld 61 . . . . 5 ((𝐴C𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) ∧ (𝐴𝐵) = 0) → ((𝐴 ⊊ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 𝐶))))
4342imp 407 . . . 4 (((𝐴C𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) ∧ (𝐴𝐵) = 0)) → ((𝐴 ⊊ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 𝐶)))
4429, 43mpd 15 . . 3 (((𝐴C𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) ∧ (𝐴𝐵) = 0)) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 𝐶))
456, 44sseqtrrd 3985 . 2 (((𝐴C𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) ∧ (𝐴𝐵) = 0)) → 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵))
4645ex 413 1 ((𝐴C𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) ∧ (𝐴𝐵) = 0) → 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cin 3909  wss 3910  wpss 3911   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357   C cch 29871   chj 29875  0c0h 29877   ccv 29906  HAtomscat 29907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131  ax-hilex 29941  ax-hfvadd 29942  ax-hvcom 29943  ax-hvass 29944  ax-hv0cl 29945  ax-hvaddid 29946  ax-hfvmul 29947  ax-hvmulid 29948  ax-hvmulass 29949  ax-hvdistr1 29950  ax-hvdistr2 29951  ax-hvmul0 29952  ax-hfi 30021  ax-his1 30024  ax-his2 30025  ax-his3 30026  ax-his4 30027  ax-hcompl 30144
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-lm 22580  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cfil 24619  df-cau 24620  df-cmet 24621  df-grpo 29435  df-gid 29436  df-ginv 29437  df-gdiv 29438  df-ablo 29487  df-vc 29501  df-nv 29534  df-va 29537  df-ba 29538  df-sm 29539  df-0v 29540  df-vs 29541  df-nmcv 29542  df-ims 29543  df-dip 29643  df-ssp 29664  df-ph 29755  df-cbn 29805  df-hnorm 29910  df-hba 29911  df-hvsub 29913  df-hlim 29914  df-hcau 29915  df-sh 30149  df-ch 30163  df-oc 30194  df-ch0 30195  df-shs 30250  df-span 30251  df-chj 30252  df-chsup 30253  df-pjh 30337  df-cv 31221  df-at 31280
This theorem is referenced by:  atomli  31324  atcvatlem  31327  atcvat4i  31339  mdsymlem3  31347  mdsymlem5  31349
  Copyright terms: Public domain W3C validator