Theorem dfsymrels3 36587

Description: Alternate definition of the class of symmetric relations. (Contributed by Peter Mazsa, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfsymrels3	⊢ SymRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑟𝑦 → 𝑦𝑟𝑥)}

Distinct variable group:   𝑥,𝑟,𝑦

Proof of Theorem dfsymrels3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsymrels2 36586	. 2 ⊢ SymRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ ◡𝑟 ⊆ 𝑟}
2		cnvsym 6008	. 2 ⊢ (◡𝑟 ⊆ 𝑟 ↔ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑟𝑦 → 𝑦𝑟𝑥))
3	1, 2	rabbieq 36317	1 ⊢ SymRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑟𝑦 → 𝑦𝑟𝑥)}

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1537   = wceq 1539  {crab 3067   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  ^◡ccnv 5579   Rels crels 36262   SymRels csymrels 36271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-rels 36530  df-ssr 36543  df-syms 36583  df-symrels 36584

This theorem is referenced by:  elsymrels3  36595