Theorem elsymrels4 36596

Description: Element of the class of symmetric relations. (Contributed by Peter Mazsa, 17-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elsymrels4	⊢ (𝑅 ∈ SymRels ↔ (◡𝑅 = 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ Rels ))

Proof of Theorem elsymrels4

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsymrels4 36588	. 2 ⊢ SymRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ ◡𝑟 = 𝑟}
2		cnveq 5771	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ◡𝑟 = ◡𝑅)
3		id 22	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → 𝑟 = 𝑅)
4	2, 3	eqeq12d 2754	. 2 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (◡𝑟 = 𝑟 ↔ ◡𝑅 = 𝑅))
5	1, 4	rabeqel 36321	1 ⊢ (𝑅 ∈ SymRels ↔ (◡𝑅 = 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ Rels ))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ^◡ccnv 5579   Rels crels 36262   SymRels csymrels 36271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-rels 36530  df-ssr 36543  df-syms 36583  df-symrels 36584

This theorem is referenced by: (None)