Theorem difsnexi 7796

Description: If the difference of a class and a singleton is a set, the class itself is a set. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
difsnexi	⊢ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V → 𝑁 ∈ V)

Proof of Theorem difsnexi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V)
2		snex 5451	. . . . 5 ⊢ {𝐾} ∈ V
3		unexg 7778	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V ∧ {𝐾} ∈ V) → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancl 585	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V) → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∈ V)
5		difsnid 4835	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) = 𝑁)
6	5	eqcomd 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))
7	6	eleq1d 2829	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝑁 ∈ V ↔ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∈ V))
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V) → (𝑁 ∈ V ↔ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∈ V))
9	4, 8	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V) → 𝑁 ∈ V)
10	9	ex 412	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V → 𝑁 ∈ V))
11		difsn 4823	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ 𝑁 → (𝑁 ∖ {𝐾}) = 𝑁)
12	11	eleq1d 2829	. . 3 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V ↔ 𝑁 ∈ V))
13	12	biimpd 229	. 2 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V → 𝑁 ∈ V))
14	10, 13	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V → 𝑁 ∈ V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973   ∪ cun 3974  {csn 4648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-sn 4649  df-pr 4651  df-uni 4932

This theorem is referenced by:  pmtrdifellem1  19518  pmtrdifellem2  19519  tgdif0  23020