Theorem difsnexi 7744

Description: If the difference of a class and a singleton is a set, the class itself is a set. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
difsnexi	⊢ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V → 𝑁 ∈ V)

Proof of Theorem difsnexi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V)
2		snex 5430	. . . . 5 ⊢ {𝐾} ∈ V
3		unexg 7732	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V ∧ {𝐾} ∈ V) → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V) → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∈ V)
5		difsnid 4812	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) = 𝑁)
6	5	eqcomd 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))
7	6	eleq1d 2818	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝑁 ∈ V ↔ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∈ V))
8	7	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V) → (𝑁 ∈ V ↔ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∈ V))
9	4, 8	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V) → 𝑁 ∈ V)
10	9	ex 413	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V → 𝑁 ∈ V))
11		difsn 4800	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ 𝑁 → (𝑁 ∖ {𝐾}) = 𝑁)
12	11	eleq1d 2818	. . 3 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V ↔ 𝑁 ∈ V))
13	12	biimpd 228	. 2 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V → 𝑁 ∈ V))
14	10, 13	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V → 𝑁 ∈ V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∖ cdif 3944   ∪ cun 3945  {csn 4627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-sn 4628  df-pr 4630  df-uni 4908

This theorem is referenced by:  pmtrdifellem1  19338  pmtrdifellem2  19339  tgdif0  22486