Theorem difsnexi 7780

Description: If the difference of a class and a singleton is a set, the class itself is a set. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
difsnexi	⊢ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V → 𝑁 ∈ V)

Proof of Theorem difsnexi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V)
2		snex 5442	. . . . 5 ⊢ {𝐾} ∈ V
3		unexg 7762	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V ∧ {𝐾} ∈ V) → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V) → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∈ V)
5		difsnid 4815	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) = 𝑁)
6	5	eqcomd 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))
7	6	eleq1d 2824	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝑁 ∈ V ↔ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∈ V))
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V) → (𝑁 ∈ V ↔ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∈ V))
9	4, 8	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V) → 𝑁 ∈ V)
10	9	ex 412	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V → 𝑁 ∈ V))
11		difsn 4803	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ 𝑁 → (𝑁 ∖ {𝐾}) = 𝑁)
12	11	eleq1d 2824	. . 3 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V ↔ 𝑁 ∈ V))
13	12	biimpd 229	. 2 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V → 𝑁 ∈ V))
14	10, 13	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V → 𝑁 ∈ V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ∖ cdif 3960   ∪ cun 3961  {csn 4631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-sn 4632  df-pr 4634  df-uni 4913

This theorem is referenced by:  pmtrdifellem1  19509  pmtrdifellem2  19510  tgdif0  23015