Theorem difsnexi 7706

Description: If the difference of a class and a singleton is a set, the class itself is a set. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
difsnexi	⊢ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V → 𝑁 ∈ V)

Proof of Theorem difsnexi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V)
2		snex 5381	. . . . 5 ⊢ {𝐾} ∈ V
3		unexg 7688	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V ∧ {𝐾} ∈ V) → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V) → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∈ V)
5		difsnid 4766	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) = 𝑁)
6	5	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))
7	6	eleq1d 2821	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝑁 ∈ V ↔ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∈ V))
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V) → (𝑁 ∈ V ↔ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∈ V))
9	4, 8	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V) → 𝑁 ∈ V)
10	9	ex 412	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V → 𝑁 ∈ V))
11		difsn 4754	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ 𝑁 → (𝑁 ∖ {𝐾}) = 𝑁)
12	11	eleq1d 2821	. . 3 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V ↔ 𝑁 ∈ V))
13	12	biimpd 229	. 2 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V → 𝑁 ∈ V))
14	10, 13	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V → 𝑁 ∈ V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ∖ cdif 3898   ∪ cun 3899  {csn 4580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-sn 4581  df-pr 4583  df-uni 4864

This theorem is referenced by:  pmtrdifellem1  19407  pmtrdifellem2  19408  tgdif0  22938