Theorem unexg 7722

Description: The union of two sets is a set. Corollary 5.8 of [TakeutiZaring] p. 16. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.) Prove unexg 7722 first and then unex 7723 and unexb 7726 from it. (Revised by BJ, 21-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
unexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem unexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniprg 4880	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
2		prex 5394	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
4	3	uniexd 7721	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∪ {𝐴, 𝐵} ∈ V)
5	1, 4	eqeltrrd 2862	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ∪ cun 3902  {cpr 4583  ∪ cuni 4864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-tru 1562  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-v 3455  df-un 3909  df-ss 3921  df-sn 4582  df-pr 4584  df-uni 4865

This theorem is referenced by:  unex  7723  unexb  7726  xpexg  7729  unexd  7733  difex2  7739  difsnexi  7740  eldifpw  7747  pwuncl  7749  ordunpr  7802  soex  7898  fnse  8108  suppun  8159  tposexg  8215  frrlem13  8274  tfrlem12  8355  tfrlem16  8359  elmapresaun  8858  ralxpmap  8874  undifixp  8912  undom  9033  domunsncan  9045  domssex2  9105  domssex  9106  sbthfilem  9162  fsuppunbi  9332  elfiun  9373  brwdom2  9518  unwdomg  9529  djuex  9863  djuexALT  9877  alephprc  10052  djudoml  10138  infunabs  10159  fin23lem11  10271  axdc2lem  10402  ttukeylem1  10463  fpwwe2lem12  10597  wunex2  10693  wuncval2  10702  hashunx  14396  hashf1lem1  14465  trclexlem  15004  trclun  15024  relexp0g  15032  relexpsucnnr  15035  isstruct2  17168  setsvalg  17185  setsid  17226  yonffth  18299  pwmndgplus  18955  dmdprdsplit2  20071  basdif0  22993  fiuncmp  23444  refun0  23555  ptbasfi  23621  dfac14lem  23657  ptrescn  23679  xkoptsub  23694  filconn  23923  isufil2  23948  ufileu  23959  filufint  23960  fmfnfmlem4  23997  fmfnfm  23998  fclsfnflim  24067  flimfnfcls  24068  ptcmplem1  24092  elply2  26236  plyss  26239  noeta2  27831  etaslts2  27864  cutbdaybnd2lim  27867  wlkp1lem4  29821  resf1o  32882  tocycfv  33250  tocycf  33258  locfinref  34099  esumsplit  34311  esumpad2  34314  sseqval  34646  bnj1149  35051  tz9.1regs  35394  satfvsuc  35675  satf0suclem  35689  sat1el2xp  35693  fmlasuc0  35698  altxpexg  36292  hfun  36492  refssfne  36682  topjoin  36689  weiunse  36792  ttcsnexg  36844  bj-2uplex  37471  ptrest  38082  poimirlem3  38086  paddval  40386  evlselvlem  43134  elrfi  43239  rtrclexlem  44156  clcnvlem  44163  cnvrcl0  44165  dfrtrcl5  44169  iunrelexp0  44242  relexpxpmin  44257  brtrclfv2  44267  sge0resplit  46944  sge0split  46947  setsv  47948  setrec1lem4  50275