MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgdif0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgdif0 22358
Description: A generated topology is not affected by the addition or removal of the empty set from the base. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgdif0 (topGenβ€˜(𝐡 βˆ– {βˆ…})) = (topGenβ€˜π΅)

Proof of Theorem tgdif0
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 indif1 4232 . . . . . . 7 ((𝐡 βˆ– {βˆ…}) ∩ 𝒫 π‘₯) = ((𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) βˆ– {βˆ…})
21unieqi 4879 . . . . . 6 βˆͺ ((𝐡 βˆ– {βˆ…}) ∩ 𝒫 π‘₯) = βˆͺ ((𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) βˆ– {βˆ…})
3 unidif0 5316 . . . . . 6 βˆͺ ((𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) βˆ– {βˆ…}) = βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯)
42, 3eqtri 2761 . . . . 5 βˆͺ ((𝐡 βˆ– {βˆ…}) ∩ 𝒫 π‘₯) = βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯)
54sseq2i 3974 . . . 4 (π‘₯ βŠ† βˆͺ ((𝐡 βˆ– {βˆ…}) ∩ 𝒫 π‘₯) ↔ π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯))
65abbii 2803 . . 3 {π‘₯ ∣ π‘₯ βŠ† βˆͺ ((𝐡 βˆ– {βˆ…}) ∩ 𝒫 π‘₯)} = {π‘₯ ∣ π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯)}
7 difexg 5285 . . . 4 (𝐡 ∈ V β†’ (𝐡 βˆ– {βˆ…}) ∈ V)
8 tgval 22321 . . . 4 ((𝐡 βˆ– {βˆ…}) ∈ V β†’ (topGenβ€˜(𝐡 βˆ– {βˆ…})) = {π‘₯ ∣ π‘₯ βŠ† βˆͺ ((𝐡 βˆ– {βˆ…}) ∩ 𝒫 π‘₯)})
97, 8syl 17 . . 3 (𝐡 ∈ V β†’ (topGenβ€˜(𝐡 βˆ– {βˆ…})) = {π‘₯ ∣ π‘₯ βŠ† βˆͺ ((𝐡 βˆ– {βˆ…}) ∩ 𝒫 π‘₯)})
10 tgval 22321 . . 3 (𝐡 ∈ V β†’ (topGenβ€˜π΅) = {π‘₯ ∣ π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯)})
116, 9, 103eqtr4a 2799 . 2 (𝐡 ∈ V β†’ (topGenβ€˜(𝐡 βˆ– {βˆ…})) = (topGenβ€˜π΅))
12 difsnexi 7696 . . . 4 ((𝐡 βˆ– {βˆ…}) ∈ V β†’ 𝐡 ∈ V)
13 fvprc 6835 . . . 4 (Β¬ (𝐡 βˆ– {βˆ…}) ∈ V β†’ (topGenβ€˜(𝐡 βˆ– {βˆ…})) = βˆ…)
1412, 13nsyl5 159 . . 3 (Β¬ 𝐡 ∈ V β†’ (topGenβ€˜(𝐡 βˆ– {βˆ…})) = βˆ…)
15 fvprc 6835 . . 3 (Β¬ 𝐡 ∈ V β†’ (topGenβ€˜π΅) = βˆ…)
1614, 15eqtr4d 2776 . 2 (Β¬ 𝐡 ∈ V β†’ (topGenβ€˜(𝐡 βˆ– {βˆ…})) = (topGenβ€˜π΅))
1711, 16pm2.61i 182 1 (topGenβ€˜(𝐡 βˆ– {βˆ…})) = (topGenβ€˜π΅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  Vcvv 3444   βˆ– cdif 3908   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  π’« cpw 4561  {csn 4587  βˆͺ cuni 4866  β€˜cfv 6497  topGenctg 17324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-topgen 17330
This theorem is referenced by:  prdsxmslem2  23901
  Copyright terms: Public domain W3C validator