MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrdifellem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrdifellem1 18355
Description: Lemma 1 for pmtrdifel 18359. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrdifel.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
pmtrdifel.r 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
pmtrdifel.0 𝑆 = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I ))
Assertion
Ref Expression
pmtrdifellem1 (𝑄𝑇𝑆𝑅)

Proof of Theorem pmtrdifellem1
StepHypRef Expression
1 eqid 2772 . . 3 (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
2 pmtrdifel.t . . 3 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
31, 2pmtrfb 18344 . 2 (𝑄𝑇 ↔ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V ∧ 𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2o))
4 difsnexi 7294 . . 3 ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V → 𝑁 ∈ V)
5 f1of 6438 . . . 4 (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}))
6 fdm 6346 . . . 4 (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) → dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}))
7 difssd 3995 . . . . . 6 (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑄)
8 dmss 5614 . . . . . 6 ((𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑄 → dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ dom 𝑄)
97, 8syl 17 . . . . 5 (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ dom 𝑄)
10 difssd 3995 . . . . . 6 (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
11 sseq1 3878 . . . . . 6 (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → (dom 𝑄𝑁 ↔ (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁))
1210, 11mpbird 249 . . . . 5 (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → dom 𝑄𝑁)
139, 12sstrd 3864 . . . 4 (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑁)
145, 6, 133syl 18 . . 3 (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) → dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑁)
15 id 22 . . 3 (dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2o → dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2o)
16 pmtrdifel.0 . . . 4 𝑆 = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I ))
17 eqid 2772 . . . . 5 (pmTrsp‘𝑁) = (pmTrsp‘𝑁)
18 pmtrdifel.r . . . . 5 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
1917, 18pmtrrn 18336 . . . 4 ((𝑁 ∈ V ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑁 ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2o) → ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I )) ∈ 𝑅)
2016, 19syl5eqel 2864 . . 3 ((𝑁 ∈ V ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑁 ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2o) → 𝑆𝑅)
214, 14, 15, 20syl3an 1140 . 2 (((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V ∧ 𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2o) → 𝑆𝑅)
223, 21sylbi 209 1 (𝑄𝑇𝑆𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2048  Vcvv 3409  cdif 3822  wss 3825  {csn 4435   class class class wbr 4923   I cid 5304  dom cdm 5400  ran crn 5401  wf 6178  1-1-ontowf1o 6181  cfv 6182  2oc2o 7891  cen 8295  pmTrspcpmtr 18320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-om 7391  df-1o 7897  df-2o 7898  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-pmtr 18321
This theorem is referenced by:  pmtrdifellem3  18357  pmtrdifellem4  18358  pmtrdifel  18359  pmtrdifwrdellem1  18360  pmtrdifwrdellem2  18361
  Copyright terms: Public domain W3C validator