Theorem pmtrdifellem1 19474

Description: Lemma 1 for pmtrdifel 19478. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrdifel.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
pmtrdifel.r	⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
pmtrdifel.0	⊢ 𝑆 = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I ))

Assertion

Ref	Expression
pmtrdifellem1	⊢ (𝑄 ∈ 𝑇 → 𝑆 ∈ 𝑅)

Proof of Theorem pmtrdifellem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2726	. . 3 ⊢ (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
2		pmtrdifel.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
3	1, 2	pmtrfb 19463	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑇 ↔ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V ∧ 𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2o))
4		difsnexi 7769	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V → 𝑁 ∈ V)
5		f1of 6843	. . . 4 ⊢ (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}))
6		fdm 6737	. . . 4 ⊢ (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) → dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}))
7		difssd 4132	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑄)
8		dmss 5909	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑄 → dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ dom 𝑄)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ dom 𝑄)
10		difssd 4132	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
11		sseq1 4005	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → (dom 𝑄 ⊆ 𝑁 ↔ (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁))
12	10, 11	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → dom 𝑄 ⊆ 𝑁)
13	9, 12	sstrd 3990	. . . 4 ⊢ (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑁)
14	5, 6, 13	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) → dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑁)
15		id 22	. . 3 ⊢ (dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2o → dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2o)
16		pmtrdifel.0	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I ))
17		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (pmTrsp‘𝑁) = (pmTrsp‘𝑁)
18		pmtrdifel.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
19	17, 18	pmtrrn 19455	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑁 ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2o) → ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I )) ∈ 𝑅)
20	16, 19	eqeltrid 2830	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑁 ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2o) → 𝑆 ∈ 𝑅)
21	4, 14, 15, 20	syl3an 1157	. 2 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V ∧ 𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2o) → 𝑆 ∈ 𝑅)
22	3, 21	sylbi 216	1 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑇 → 𝑆 ∈ 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3462   ∖ cdif 3944   ⊆ wss 3947  {csn 4633   class class class wbr 5153   I cid 5579  dom cdm 5682  ran crn 5683  ⟶wf 6550  –1-1-onto→wf1o 6553  ‘cfv 6554  2_oc2o 8490   ≈ cen 8971  pmTrspcpmtr 19439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-om 7877  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-pmtr 19440

This theorem is referenced by:  pmtrdifellem3  19476  pmtrdifellem4  19477  pmtrdifel  19478  pmtrdifwrdellem1  19479  pmtrdifwrdellem2  19480