Theorem pmtrdifellem1 19180

Description: Lemma 1 for pmtrdifel 19184. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrdifel.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
pmtrdifel.r	⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
pmtrdifel.0	⊢ 𝑆 = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I ))

Assertion

Ref	Expression
pmtrdifellem1	⊢ (𝑄 ∈ 𝑇 → 𝑆 ∈ 𝑅)

Proof of Theorem pmtrdifellem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
2		pmtrdifel.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
3	1, 2	pmtrfb 19169	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑇 ↔ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V ∧ 𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2o))
4		difsnexi 7673	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V → 𝑁 ∈ V)
5		f1of 6767	. . . 4 ⊢ (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}))
6		fdm 6660	. . . 4 ⊢ (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) → dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}))
7		difssd 4079	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑄)
8		dmss 5844	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑄 → dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ dom 𝑄)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ dom 𝑄)
10		difssd 4079	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
11		sseq1 3957	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → (dom 𝑄 ⊆ 𝑁 ↔ (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁))
12	10, 11	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → dom 𝑄 ⊆ 𝑁)
13	9, 12	sstrd 3942	. . . 4 ⊢ (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑁)
14	5, 6, 13	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) → dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑁)
15		id 22	. . 3 ⊢ (dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2o → dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2o)
16		pmtrdifel.0	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I ))
17		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (pmTrsp‘𝑁) = (pmTrsp‘𝑁)
18		pmtrdifel.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
19	17, 18	pmtrrn 19161	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑁 ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2o) → ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I )) ∈ 𝑅)
20	16, 19	eqeltrid 2841	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑁 ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2o) → 𝑆 ∈ 𝑅)
21	4, 14, 15, 20	syl3an 1159	. 2 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V ∧ 𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2o) → 𝑆 ∈ 𝑅)
22	3, 21	sylbi 216	1 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑇 → 𝑆 ∈ 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3441   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898  {csn 4573   class class class wbr 5092   I cid 5517  dom cdm 5620  ran crn 5621  ⟶wf 6475  –1-1-onto→wf1o 6478  ‘cfv 6479  2_oc2o 8361   ≈ cen 8801  pmTrspcpmtr 19145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-om 7781  df-1o 8367  df-2o 8368  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-pmtr 19146

This theorem is referenced by:  pmtrdifellem3  19182  pmtrdifellem4  19183  pmtrdifel  19184  pmtrdifwrdellem1  19185  pmtrdifwrdellem2  19186