Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrdifellem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrdifellem1 18600
 Description: Lemma 1 for pmtrdifel 18604. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrdifel.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
pmtrdifel.r 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
pmtrdifel.0 𝑆 = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I ))
Assertion
Ref Expression
pmtrdifellem1 (𝑄𝑇𝑆𝑅)

Proof of Theorem pmtrdifellem1
StepHypRef Expression
1 eqid 2798 . . 3 (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
2 pmtrdifel.t . . 3 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
31, 2pmtrfb 18589 . 2 (𝑄𝑇 ↔ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V ∧ 𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2o))
4 difsnexi 7466 . . 3 ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V → 𝑁 ∈ V)
5 f1of 6591 . . . 4 (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}))
6 fdm 6496 . . . 4 (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) → dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}))
7 difssd 4060 . . . . . 6 (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑄)
8 dmss 5736 . . . . . 6 ((𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑄 → dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ dom 𝑄)
97, 8syl 17 . . . . 5 (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ dom 𝑄)
10 difssd 4060 . . . . . 6 (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
11 sseq1 3940 . . . . . 6 (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → (dom 𝑄𝑁 ↔ (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁))
1210, 11mpbird 260 . . . . 5 (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → dom 𝑄𝑁)
139, 12sstrd 3925 . . . 4 (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑁)
145, 6, 133syl 18 . . 3 (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) → dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑁)
15 id 22 . . 3 (dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2o → dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2o)
16 pmtrdifel.0 . . . 4 𝑆 = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I ))
17 eqid 2798 . . . . 5 (pmTrsp‘𝑁) = (pmTrsp‘𝑁)
18 pmtrdifel.r . . . . 5 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
1917, 18pmtrrn 18581 . . . 4 ((𝑁 ∈ V ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑁 ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2o) → ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I )) ∈ 𝑅)
2016, 19eqeltrid 2894 . . 3 ((𝑁 ∈ V ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑁 ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2o) → 𝑆𝑅)
214, 14, 15, 20syl3an 1157 . 2 (((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V ∧ 𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2o) → 𝑆𝑅)
223, 21sylbi 220 1 (𝑄𝑇𝑆𝑅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878   ⊆ wss 3881  {csn 4525   class class class wbr 5031   I cid 5425  dom cdm 5520  ran crn 5521  ⟶wf 6321  –1-1-onto→wf1o 6324  ‘cfv 6325  2oc2o 8082   ≈ cen 8492  pmTrspcpmtr 18565 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-om 7564  df-1o 8088  df-2o 8089  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-pmtr 18566 This theorem is referenced by:  pmtrdifellem3  18602  pmtrdifellem4  18603  pmtrdifel  18604  pmtrdifwrdellem1  18605  pmtrdifwrdellem2  18606
 Copyright terms: Public domain W3C validator