Theorem pmtrdifellem1 19595

Description: Lemma 1 for pmtrdifel 19599. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrdifel.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
pmtrdifel.r	⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
pmtrdifel.0	⊢ 𝑆 = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I ))

Assertion

Ref	Expression
pmtrdifellem1	⊢ (𝑄 ∈ 𝑇 → 𝑆 ∈ 𝑅)

Proof of Theorem pmtrdifellem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . 3 ⊢ (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
2		pmtrdifel.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
3	1, 2	pmtrfb 19584	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑇 ↔ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V ∧ 𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2o))
4		difsnexi 7767	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V → 𝑁 ∈ V)
5		f1of 6825	. . . 4 ⊢ (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}))
6		fdm 6720	. . . 4 ⊢ (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) → dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}))
7		difssd 4091	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑄)
8		dmss 5894	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑄 → dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ dom 𝑄)
9	7, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ dom 𝑄)
10		difssd 4091	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
11		sseq1 3963	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → (dom 𝑄 ⊆ 𝑁 ↔ (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁))
12	10, 11	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → dom 𝑄 ⊆ 𝑁)
13	9, 12	sstrd 3948	. . . 4 ⊢ (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑁)
14	5, 6, 13	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) → dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑁)
15		id 23	. . 3 ⊢ (dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2o → dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2o)
16		pmtrdifel.0	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I ))
17		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (pmTrsp‘𝑁) = (pmTrsp‘𝑁)
18		pmtrdifel.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
19	17, 18	pmtrrn 19576	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑁 ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2o) → ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I )) ∈ 𝑅)
20	16, 19	eqeltrid 2869	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑁 ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2o) → 𝑆 ∈ 𝑅)
21	4, 14, 15, 20	syl3an 1178	. 2 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V ∧ 𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2o) → 𝑆 ∈ 𝑅)
22	3, 21	sylbi 220	1 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑇 → 𝑆 ∈ 𝑅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  {csn 4591   class class class wbr 5111   I cid 5557  dom cdm 5663  ran crn 5664  ⟶wf 6537  –1-1-onto→wf1o 6540  ‘cfv 6541  2_oc2o 8454   ≈ cen 8947  pmTrspcpmtr 19560

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-om 7870  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-fin 8954  df-pmtr 19561

This theorem is used by:  pmtrdifellem3  19597  pmtrdifellem4  19598  pmtrdifel  19599  pmtrdifwrdellem1  19600  pmtrdifwrdellem2  19601