Theorem difsnid 4650

Description: If we remove a single element from a class then put it back in, we end up with the original class. (Contributed by NM, 2-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
difsnid	⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = 𝐴)

Proof of Theorem difsnid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uncom 4050	. 2 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵}))
2		snssi 4648	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → {𝐵} ⊆ 𝐴)
3		undif 4344	. . 3 ⊢ ({𝐵} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = 𝐴)
4	2, 3	sylib 219	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = 𝐴)
5	1, 4	syl5eq 2843	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ∖ cdif 3856   ∪ cun 3857   ⊆ wss 3859  {csn 4472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-ext 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ral 3110  df-rab 3114  df-v 3439  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-sn 4473

This theorem is referenced by:  fnsnsplit  6813  fsnunf2  6815  difsnexi  7340  difsnen  8446  enfixsn  8473  phplem2  8544  pssnn  8582  dif1en  8597  frfi  8609  xpfi  8635  dif1card  9282  hashgt23el  13633  hashfun  13646  fprodfvdvdsd  15516  prmdvdsprmo  16207  mreexexlem4d  16747  symgextf1  18280  symgextfo  18281  symgfixf1  18296  gsumdifsnd  18801  gsummgp0  19048  islindf4  20664  scmatf1  20824  gsummatr01  20952  tdeglem4  24337  finsumvtxdg2sstep  27014  dfconngr1  27654  satfv1lem  32218  bj-raldifsn  34010  lindsadd  34435  lindsenlbs  34437  poimirlem25  34467  poimirlem27  34469  hdmap14lem4a  38557  hdmap14lem13  38566  supxrmnf2  41268  infxrpnf2  41300  fsumnncl  41413  hoidmv1lelem2  42436  mgpsumunsn  43907  gsumdifsndf  43911