Theorem difsnid 4778

Description: If we remove a single element from a class then put it back in, we end up with the original class. (Contributed by NM, 2-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
difsnid	⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = 𝐴)

Proof of Theorem difsnid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4753	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → {𝐵} ⊆ 𝐴)
2		undifr 4446	. 2 ⊢ ({𝐵} ⊆ 𝐴 ↔ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = 𝐴)
3	1, 2	sylib 221	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∖ cdif 3903   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906  {csn 4591

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-sn 4592

This theorem is used by:  fnsnsplit  7188  fsnunf2  7190  difsnexi  7766  difsnen  9054  enfixsn  9081  pssnn  9160  dif1ennnALT  9244  frfi  9252  dif1card  10010  hashgt23el  14479  hashfun  14492  fprodfvdvdsd  16414  prmdvdsprmo  17124  mreexexlem4d  17725  symgextf1  19535  symgextfo  19536  symgfixf1  19551  gsumdifsnd  20075  gsummgp0  20445  islindf4  22038  scmatf1  22738  gsummatr01  22866  tdeglem4  26268  finsumvtxdg2sstep  29957  dfconngr1  30610  fmptunsnop  33116  satfv1lem  35891  bj-raldifsn  37799  lindsadd  38321  lindsenlbs  38323  poimirlem25  38353  poimirlem27  38355  hdmap14lem4a  42703  hdmap14lem13  42712  supxrmnf2  46205  infxrpnf2  46235  fsumnncl  46346  hoidmv1lelem2  47364  gsumdifsndf  49003  mgpsumunsn  49198