Theorem difsnid 4768

Description: If we remove a single element from a class then put it back in, we end up with the original class. (Contributed by NM, 2-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
difsnid	⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = 𝐴)

Proof of Theorem difsnid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4766	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → {𝐵} ⊆ 𝐴)
2		undifr 4437	. 2 ⊢ ({𝐵} ⊆ 𝐴 ↔ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = 𝐴)
3	1, 2	sylib 218	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901   ⊆ wss 3903  {csn 4582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-sn 4583

This theorem is referenced by:  fnsnsplit  7140  fsnunf2  7142  difsnexi  7716  difsnen  8999  enfixsn  9026  pssnn  9105  dif1ennnALT  9189  frfi  9197  dif1card  9932  hashgt23el  14359  hashfun  14372  fprodfvdvdsd  16273  prmdvdsprmo  16982  mreexexlem4d  17582  symgextf1  19362  symgextfo  19363  symgfixf1  19378  gsumdifsnd  19902  gsummgp0  20265  islindf4  21805  scmatf1  22487  gsummatr01  22615  tdeglem4  26033  finsumvtxdg2sstep  29635  dfconngr1  30275  fmptunsnop  32790  satfv1lem  35578  bj-raldifsn  37353  lindsadd  37864  lindsenlbs  37866  poimirlem25  37896  poimirlem27  37898  hdmap14lem4a  42247  hdmap14lem13  42256  supxrmnf2  45791  infxrpnf2  45821  fsumnncl  45932  hoidmv1lelem2  46950  gsumdifsndf  48541  mgpsumunsn  48721