Theorem difsnid 4761

Description: If we remove a single element from a class then put it back in, we end up with the original class. (Contributed by NM, 2-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
difsnid	⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = 𝐴)

Proof of Theorem difsnid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4759	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → {𝐵} ⊆ 𝐴)
2		undifr 4432	. 2 ⊢ ({𝐵} ⊆ 𝐴 ↔ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = 𝐴)
3	1, 2	sylib 218	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3894   ∪ cun 3895   ⊆ wss 3897  {csn 4575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4283  df-sn 4576

This theorem is referenced by:  fnsnsplit  7124  fsnunf2  7126  difsnexi  7700  difsnen  8978  enfixsn  9005  pssnn  9084  dif1ennnALT  9167  frfi  9175  dif1card  9907  hashgt23el  14337  hashfun  14350  fprodfvdvdsd  16251  prmdvdsprmo  16960  mreexexlem4d  17559  symgextf1  19339  symgextfo  19340  symgfixf1  19355  gsumdifsnd  19879  gsummgp0  20242  islindf4  21781  scmatf1  22452  gsummatr01  22580  tdeglem4  25998  finsumvtxdg2sstep  29535  dfconngr1  30175  fmptunsnop  32688  satfv1lem  35413  bj-raldifsn  37151  lindsadd  37659  lindsenlbs  37661  poimirlem25  37691  poimirlem27  37693  hdmap14lem4a  41976  hdmap14lem13  41985  supxrmnf2  45536  infxrpnf2  45566  fsumnncl  45677  hoidmv1lelem2  46695  gsumdifsndf  48286  mgpsumunsn  48466