Theorem eqvreltr4d 38863

Description: A transitivity relation for equivalences. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.) (Revised by Peter Mazsa, 2-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqvreltr4d.1	⊢ (𝜑 → EqvRel 𝑅)
eqvreltr4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
eqvreltr4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eqvreltr4d	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqvreltr4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvreltr4d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → EqvRel 𝑅)
2		eqvreltr4d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
3		eqvreltr4d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐵)
4	1, 3	eqvrelsym 38859	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)
5	1, 2, 4	eqvreltrd 38862	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   class class class wbr 5097   EqvRel weqvrel 38370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pr 5376

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3399  df-v 3441  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-br 5098  df-opab 5160  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-refrel 38762  df-symrel 38794  df-trrel 38828  df-eqvrel 38839

This theorem is referenced by:  eqvrelref  38864  eqvreldisj  38868