Theorem eqvreltr4d 38606

Description: A transitivity relation for equivalences. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.) (Revised by Peter Mazsa, 2-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqvreltr4d.1	⊢ (𝜑 → EqvRel 𝑅)
eqvreltr4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
eqvreltr4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eqvreltr4d	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqvreltr4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvreltr4d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → EqvRel 𝑅)
2		eqvreltr4d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
3		eqvreltr4d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐵)
4	1, 3	eqvrelsym 38602	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)
5	1, 2, 4	eqvreltrd 38605	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   class class class wbr 5092   EqvRel weqvrel 38192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-br 5093  df-opab 5155  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-refrel 38509  df-symrel 38541  df-trrel 38571  df-eqvrel 38582

This theorem is referenced by:  eqvrelref  38607  eqvreldisj  38611