Theorem eqvreltr4d 39370

Description: A transitivity relation for equivalences. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.) (Revised by Peter Mazsa, 2-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqvreltr4d.1	⊢ (𝜑 → EqvRel 𝑅)
eqvreltr4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
eqvreltr4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eqvreltr4d	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqvreltr4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvreltr4d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → EqvRel 𝑅)
2		eqvreltr4d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
3		eqvreltr4d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐵)
4	1, 3	eqvrelsym 39366	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)
5	1, 2, 4	eqvreltrd 39369	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   class class class wbr 5108   EqvRel weqvrel 38877

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-br 5109  df-opab 5173  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-refrel 39269  df-symrel 39301  df-trrel 39335  df-eqvrel 39346

This theorem is used by:  eqvrelref  39371  eqvreldisj  39375