Theorem eqvreltr4d 38137

Description: A transitivity relation for equivalences. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.) (Revised by Peter Mazsa, 2-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqvreltr4d.1	⊢ (𝜑 → EqvRel 𝑅)
eqvreltr4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
eqvreltr4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eqvreltr4d	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqvreltr4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvreltr4d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → EqvRel 𝑅)
2		eqvreltr4d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
3		eqvreltr4d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐵)
4	1, 3	eqvrelsym 38133	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)
5	1, 2, 4	eqvreltrd 38136	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   class class class wbr 5143   EqvRel weqvrel 37722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5423

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-refrel 38040  df-symrel 38072  df-trrel 38102  df-eqvrel 38113

This theorem is referenced by:  eqvrelref  38138  eqvreldisj  38142