Theorem eqvrelsym 39621

Description: An equivalence relation is symmetric. (Contributed by NM, 4-Jun-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.) (Revised by Peter Mazsa, 2-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqvrelsym.1	⊢ (𝜑 → EqvRel 𝑅)
eqvrelsym.2	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eqvrelsym	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐴)

Proof of Theorem eqvrelsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvrelsym.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
2		eqvrelsym.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → EqvRel 𝑅)
3		eqvrelrel 39613	. . . 4 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → Rel 𝑅)
4		relbrcnvg 6101	. . . 4 ⊢ (Rel 𝑅 → (𝐵◡𝑅𝐴 ↔ 𝐴𝑅𝐵))
5	2, 3, 4	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵◡𝑅𝐴 ↔ 𝐴𝑅𝐵))
6	1, 5	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵◡𝑅𝐴)
7		eqvrelsymrel 39615	. . . 4 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → SymRel 𝑅)
8		dfsymrel2 39565	. . . . 5 ⊢ ( SymRel 𝑅 ↔ (◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅))
9	8	simplbi 502	. . . 4 ⊢ ( SymRel 𝑅 → ◡𝑅 ⊆ 𝑅)
10	2, 7, 9	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝑅 ⊆ 𝑅)
11	10	ssbrd 5148	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵◡𝑅𝐴 → 𝐵𝑅𝐴))
12	6, 11	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ^◡ccnv 5650  Rel wrel 5656   SymRel wsymrel 39127   EqvRel weqvrel 39132

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-refrel 39524  df-symrel 39556  df-trrel 39590  df-eqvrel 39601

This theorem is used by:  eqvrelsymb  39622  eqvreltr4d  39625  eqvrelth  39627