Theorem eqvrelsym 38596

Description: An equivalence relation is symmetric. (Contributed by NM, 4-Jun-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.) (Revised by Peter Mazsa, 2-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqvrelsym.1	⊢ (𝜑 → EqvRel 𝑅)
eqvrelsym.2	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eqvrelsym	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐴)

Proof of Theorem eqvrelsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvrelsym.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
2		eqvrelsym.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → EqvRel 𝑅)
3		eqvrelrel 38588	. . . 4 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → Rel 𝑅)
4		relbrcnvg 6076	. . . 4 ⊢ (Rel 𝑅 → (𝐵◡𝑅𝐴 ↔ 𝐴𝑅𝐵))
5	2, 3, 4	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵◡𝑅𝐴 ↔ 𝐴𝑅𝐵))
6	1, 5	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵◡𝑅𝐴)
7		eqvrelsymrel 38590	. . . 4 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → SymRel 𝑅)
8		dfsymrel2 38540	. . . . 5 ⊢ ( SymRel 𝑅 ↔ (◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅))
9	8	simplbi 497	. . . 4 ⊢ ( SymRel 𝑅 → ◡𝑅 ⊆ 𝑅)
10	2, 7, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝑅 ⊆ 𝑅)
11	10	ssbrd 5150	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵◡𝑅𝐴 → 𝐵𝑅𝐴))
12	6, 11	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107  ^◡ccnv 5637  Rel wrel 5643   SymRel wsymrel 38181   EqvRel weqvrel 38186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5108  df-opab 5170  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-refrel 38503  df-symrel 38535  df-trrel 38565  df-eqvrel 38576

This theorem is referenced by:  eqvrelsymb  38597  eqvreltr4d  38600  eqvrelth  38602