Theorem eqvrelsym 38569

Description: An equivalence relation is symmetric. (Contributed by NM, 4-Jun-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.) (Revised by Peter Mazsa, 2-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqvrelsym.1	⊢ (𝜑 → EqvRel 𝑅)
eqvrelsym.2	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eqvrelsym	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐴)

Proof of Theorem eqvrelsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvrelsym.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
2		eqvrelsym.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → EqvRel 𝑅)
3		eqvrelrel 38561	. . . 4 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → Rel 𝑅)
4		relbrcnvg 6065	. . . 4 ⊢ (Rel 𝑅 → (𝐵◡𝑅𝐴 ↔ 𝐴𝑅𝐵))
5	2, 3, 4	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵◡𝑅𝐴 ↔ 𝐴𝑅𝐵))
6	1, 5	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵◡𝑅𝐴)
7		eqvrelsymrel 38563	. . . 4 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → SymRel 𝑅)
8		dfsymrel2 38513	. . . . 5 ⊢ ( SymRel 𝑅 ↔ (◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅))
9	8	simplbi 497	. . . 4 ⊢ ( SymRel 𝑅 → ◡𝑅 ⊆ 𝑅)
10	2, 7, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝑅 ⊆ 𝑅)
11	10	ssbrd 5145	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵◡𝑅𝐴 → 𝐵𝑅𝐴))
12	6, 11	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5630  Rel wrel 5636   SymRel wsymrel 38154   EqvRel weqvrel 38159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5103  df-opab 5165  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-refrel 38476  df-symrel 38508  df-trrel 38538  df-eqvrel 38549

This theorem is referenced by:  eqvrelsymb  38570  eqvreltr4d  38573  eqvrelth  38575