Theorem eqvrelsym 38940

Description: An equivalence relation is symmetric. (Contributed by NM, 4-Jun-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.) (Revised by Peter Mazsa, 2-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqvrelsym.1	⊢ (𝜑 → EqvRel 𝑅)
eqvrelsym.2	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eqvrelsym	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐴)

Proof of Theorem eqvrelsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvrelsym.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
2		eqvrelsym.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → EqvRel 𝑅)
3		eqvrelrel 38932	. . . 4 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → Rel 𝑅)
4		relbrcnvg 6072	. . . 4 ⊢ (Rel 𝑅 → (𝐵◡𝑅𝐴 ↔ 𝐴𝑅𝐵))
5	2, 3, 4	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵◡𝑅𝐴 ↔ 𝐴𝑅𝐵))
6	1, 5	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵◡𝑅𝐴)
7		eqvrelsymrel 38934	. . . 4 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → SymRel 𝑅)
8		dfsymrel2 38884	. . . . 5 ⊢ ( SymRel 𝑅 ↔ (◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅))
9	8	simplbi 496	. . . 4 ⊢ ( SymRel 𝑅 → ◡𝑅 ⊆ 𝑅)
10	2, 7, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝑅 ⊆ 𝑅)
11	10	ssbrd 5143	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵◡𝑅𝐴 → 𝐵𝑅𝐴))
12	6, 11	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100  ^◡ccnv 5631  Rel wrel 5637   SymRel wsymrel 38446   EqvRel weqvrel 38451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-refrel 38843  df-symrel 38875  df-trrel 38909  df-eqvrel 38920

This theorem is referenced by:  eqvrelsymb  38941  eqvreltr4d  38944  eqvrelth  38946