| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | velsn 4642 | . . . . 5
⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴) | 
| 2 | 1 | bicomi 224 | . . . 4
⊢ (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ {𝐴}) | 
| 3 | 2 | anbi1i 624 | . . 3
⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 = 𝐵)) | 
| 4 | 3 | opabbii 5210 | . 2
⊢
{〈𝑥, 𝑦〉 ∣ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)} = {〈𝑥, 𝑦〉 ∣ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 = 𝐵)} | 
| 5 |  | velsn 4642 | . . . . 5
⊢ (𝑝 ∈ {〈𝐴, 𝐶〉} ↔ 𝑝 = 〈𝐴, 𝐶〉) | 
| 6 |  | eqidd 2738 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → 𝐴 = 𝐴) | 
| 7 |  | eqidd 2738 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → 𝐶 = 𝐶) | 
| 8 |  | eqeq1 2741 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐴)) | 
| 9 | 8 | adantr 480 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐶) → (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐴)) | 
| 10 |  | eqeq1 2741 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 = 𝐵 ↔ 𝐶 = 𝐵)) | 
| 11 |  | fmptsng.1 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶) | 
| 12 | 11 | eqeq2d 2748 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐶 = 𝐵 ↔ 𝐶 = 𝐶)) | 
| 13 | 10, 12 | sylan9bbr 510 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐶) → (𝑦 = 𝐵 ↔ 𝐶 = 𝐶)) | 
| 14 | 9, 13 | anbi12d 632 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐶) → ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) ↔ (𝐴 = 𝐴 ∧ 𝐶 = 𝐶))) | 
| 15 | 14 | opelopabga 5538 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (〈𝐴, 𝐶〉 ∈ {〈𝑥, 𝑦〉 ∣ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)} ↔ (𝐴 = 𝐴 ∧ 𝐶 = 𝐶))) | 
| 16 | 6, 7, 15 | mpbir2and 713 | . . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → 〈𝐴, 𝐶〉 ∈ {〈𝑥, 𝑦〉 ∣ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)}) | 
| 17 |  | eleq1 2829 | . . . . . 6
⊢ (𝑝 = 〈𝐴, 𝐶〉 → (𝑝 ∈ {〈𝑥, 𝑦〉 ∣ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)} ↔ 〈𝐴, 𝐶〉 ∈ {〈𝑥, 𝑦〉 ∣ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)})) | 
| 18 | 16, 17 | syl5ibrcom 247 | . . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝑝 = 〈𝐴, 𝐶〉 → 𝑝 ∈ {〈𝑥, 𝑦〉 ∣ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)})) | 
| 19 | 5, 18 | biimtrid 242 | . . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝑝 ∈ {〈𝐴, 𝐶〉} → 𝑝 ∈ {〈𝑥, 𝑦〉 ∣ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)})) | 
| 20 |  | elopab 5532 | . . . . 5
⊢ (𝑝 ∈ {〈𝑥, 𝑦〉 ∣ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)} ↔ ∃𝑥∃𝑦(𝑝 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵))) | 
| 21 |  | opeq12 4875 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → 〈𝑥, 𝑦〉 = 〈𝐴, 𝐵〉) | 
| 22 | 21 | eqeq2d 2748 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝑝 = 〈𝑥, 𝑦〉 ↔ 𝑝 = 〈𝐴, 𝐵〉)) | 
| 23 | 11 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝐵 = 𝐶) | 
| 24 | 23 | opeq2d 4880 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → 〈𝐴, 𝐵〉 = 〈𝐴, 𝐶〉) | 
| 25 |  | opex 5469 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
〈𝐴, 𝐶〉 ∈ V | 
| 26 | 25 | snid 4662 | . . . . . . . . . . 11
⊢
〈𝐴, 𝐶〉 ∈ {〈𝐴, 𝐶〉} | 
| 27 | 24, 26 | eqeltrdi 2849 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → 〈𝐴, 𝐵〉 ∈ {〈𝐴, 𝐶〉}) | 
| 28 |  | eleq1 2829 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑝 = 〈𝐴, 𝐵〉 → (𝑝 ∈ {〈𝐴, 𝐶〉} ↔ 〈𝐴, 𝐵〉 ∈ {〈𝐴, 𝐶〉})) | 
| 29 | 27, 28 | syl5ibrcom 247 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝑝 = 〈𝐴, 𝐵〉 → 𝑝 ∈ {〈𝐴, 𝐶〉})) | 
| 30 | 22, 29 | sylbid 240 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝑝 = 〈𝑥, 𝑦〉 → 𝑝 ∈ {〈𝐴, 𝐶〉})) | 
| 31 | 30 | impcom 407 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑝 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)) → 𝑝 ∈ {〈𝐴, 𝐶〉}) | 
| 32 | 31 | exlimivv 1932 | . . . . . 6
⊢
(∃𝑥∃𝑦(𝑝 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)) → 𝑝 ∈ {〈𝐴, 𝐶〉}) | 
| 33 | 32 | a1i 11 | . . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (∃𝑥∃𝑦(𝑝 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)) → 𝑝 ∈ {〈𝐴, 𝐶〉})) | 
| 34 | 20, 33 | biimtrid 242 | . . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝑝 ∈ {〈𝑥, 𝑦〉 ∣ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)} → 𝑝 ∈ {〈𝐴, 𝐶〉})) | 
| 35 | 19, 34 | impbid 212 | . . 3
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝑝 ∈ {〈𝐴, 𝐶〉} ↔ 𝑝 ∈ {〈𝑥, 𝑦〉 ∣ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)})) | 
| 36 | 35 | eqrdv 2735 | . 2
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → {〈𝐴, 𝐶〉} = {〈𝑥, 𝑦〉 ∣ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)}) | 
| 37 |  | df-mpt 5226 | . . 3
⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) = {〈𝑥, 𝑦〉 ∣ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 = 𝐵)} | 
| 38 | 37 | a1i 11 | . 2
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) = {〈𝑥, 𝑦〉 ∣ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 = 𝐵)}) | 
| 39 | 4, 36, 38 | 3eqtr4a 2803 | 1
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → {〈𝐴, 𝐶〉} = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵)) |