Theorem opeq12 4806

Description: Equality theorem for ordered pairs. (Contributed by NM, 28-May-1995.)

Assertion

Ref	Expression
opeq12	⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)

Proof of Theorem opeq12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 4804	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)
2		opeq2 4805	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝐷 → ⟨𝐶, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)
3	1, 2	sylan9eq 2794	1 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547  ⟨cop 4561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562

This theorem is referenced by:  opeq12i  4809  opeq12d  4812  cbvopab  5144  cbvopabv  5145  opth  5416  copsex2t  5433  relop  5792  funopg  6519  fvn0ssdmfun  7015  fsn  7077  fnressn  7101  fmptsng  7112  fmptsnd  7113  tpres  7145  cbvoprab12  7445  cbvoprab12v  7446  eqopi  7967  f1o2ndf1  8061  tposoprab  8202  omeu  8510  brecop  8747  ecovcom  8760  ecovass  8761  ecovdi  8762  xpf1o  9067  addsrmo  10987  mulsrmo  10988  addsrpr  10989  mulsrpr  10990  addcnsr  11049  axcnre  11078  seqeq1  13957  opfi1uzind  14464  fsumcnv  15726  fprodcnv  15939  eucalgval2  16541  xpstopnlem1  23792  qustgplem  24104  finsumvtxdg2size  29637  brabgaf  32698  qqhval2  34166  brsegle  36336  copsex2d  37499  finxpreclem3  37755  eqrelf  38625  dvnprodlem1  46389  or2expropbilem1  47495  or2expropbilem2  47496  funop1  47746  ich2exprop  47946  ichnreuop  47947  ichreuopeq  47948  reuopreuprim  48001  uspgrsprf1  48638