Theorem fmptsn 7103

Description: Express a singleton function in maps-to notation. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fmptsn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem fmptsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsng 7073	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
2		fconstmpt 5681	. 2 ⊢ ({𝐴} × {𝐵}) = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵)
3	1, 2	eqtr3di 2779	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4577  ⟨cop 4583   ↦ cmpt 5173   × cxp 5617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489

This theorem is referenced by:  fmptap  7106  ofs1  14877  islindf4  21745  mat1dimscm  22360  istrkg2ld  28405  mptprop  32641  esumsnf  34037  ofcs1  34518  signstf0  34542  ptrest  37609  fmptsnxp  45157  rnsnf  45172