Theorem mdet0pr 22749

Description: The determinant function for 0-dimensional matrices on a given ring is the function mapping the empty set to the unity element of that ring. (Contributed by AV, 28-Feb-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mdet0pr	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∅ maDet 𝑅) = {⟨∅, (1r‘𝑅)⟩})

Proof of Theorem mdet0pr

Dummy variables 𝑚 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (∅ maDet 𝑅) = (∅ maDet 𝑅)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (∅ Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅))
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘(SymGrp‘∅)) = (Base‘(SymGrp‘∅))
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (pmSgn‘∅) = (pmSgn‘∅)
7		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mdetfval 22743	. . 3 ⊢ (∅ maDet 𝑅) = (𝑚 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))))
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∅ maDet 𝑅) = (𝑚 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
11		mat0dimbas0 22623	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
12	11	mpteq1d 5201	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑚 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))) = (𝑚 ∈ {∅} ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
13		0ex 5270	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ V)
15		ovex 7443	. . . 4 ⊢ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))))) ∈ V
16		oveq 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = ∅ → ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥) = ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))
17	16	mpteq2dv 5205	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = ∅ → (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))
18	17	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = ∅ → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))))
19	18	oveq2d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = ∅ → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))))
20	19	mpteq2dv 5205	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = ∅ → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))))))
21	20	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = ∅ → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))))))
22	21	fmptsng 7166	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))))) ∈ V) → {⟨∅, (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))))))⟩} = (𝑚 ∈ {∅} ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
23	14, 15, 22	sylancl 597	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {⟨∅, (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))))))⟩} = (𝑚 ∈ {∅} ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
24		mpt0 6677	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)) = ∅
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)) = ∅)
26	25	oveq2d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg ∅))
27		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
28	27	gsum0 18737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) Σg ∅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
29	26, 28	eqtrdi 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
30	29	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(0g‘(mulGrp‘𝑅))))
31	30	mpteq2dv 5205	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(0g‘(mulGrp‘𝑅)))))
32	31	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(0g‘(mulGrp‘𝑅))))))
33		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
34	8, 33	ringidval 20260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
35	34	eqcomi 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (1r‘𝑅)
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
37	36	oveq2d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
38		0fi 9035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ Fin
39	4, 6, 5	zrhcopsgnelbas 21745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ∅ ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅))
40	38, 39	mp3an2 1478	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅))
41		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
42	41, 7, 33	ringridm 20349	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝))
43	40, 42	syldan 602	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝))
44	37, 43	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝))
45	44	mpteq2dva 5204	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(0g‘(mulGrp‘𝑅)))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)))
46	45	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(0g‘(mulGrp‘𝑅))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝))))
47		simpl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → 𝑅 ∈ Ring)
48	38	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → ∅ ∈ Fin)
49		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)))
50		elsni 4606	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ {∅} → 𝑝 = ∅)
51		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = ∅ → ((pmSgn‘∅)‘𝑝) = ((pmSgn‘∅)‘∅))
52		psgn0fv0 19576	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((pmSgn‘∅)‘∅) = 1
53	51, 52	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = ∅ → ((pmSgn‘∅)‘𝑝) = 1)
54	50, 53	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ {∅} → ((pmSgn‘∅)‘𝑝) = 1)
55		symgbas0 19454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(SymGrp‘∅)) = {∅}
56	54, 55	eleq2s 2881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) → ((pmSgn‘∅)‘𝑝) = 1)
57	56	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → ((pmSgn‘∅)‘𝑝) = 1)
58		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (SymGrp‘∅) = (SymGrp‘∅)
59	58, 4, 6	psgnevpmb 21737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ Fin → (𝑝 ∈ (pmEven‘∅) ↔ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ∧ ((pmSgn‘∅)‘𝑝) = 1)))
60	48, 59	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → (𝑝 ∈ (pmEven‘∅) ↔ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ∧ ((pmSgn‘∅)‘𝑝) = 1)))
61	49, 57, 60	mpbir2and 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → 𝑝 ∈ (pmEven‘∅))
62	5, 6, 33	zrhpsgnevpm 21741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ∅ ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ (pmEven‘∅)) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝) = (1r‘𝑅))
63	47, 48, 61, 62	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝) = (1r‘𝑅))
64	63	mpteq2dva 5204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (1r‘𝑅)))
65	64	oveq2d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (1r‘𝑅))))
66	55	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(SymGrp‘∅)) = {∅})
67	66	mpteq1d 5201	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (1r‘𝑅)) = (𝑝 ∈ {∅} ↦ (1r‘𝑅)))
68	67	oveq2d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (1r‘𝑅))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {∅} ↦ (1r‘𝑅))))
69		ringmnd 20320	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
70	41, 33	ringidcl 20344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
71		eqidd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = ∅ → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅))
72	41, 71	gsumsn 20019	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ ∅ ∈ V ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {∅} ↦ (1r‘𝑅))) = (1r‘𝑅))
73	69, 14, 70, 72	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {∅} ↦ (1r‘𝑅))) = (1r‘𝑅))
74	65, 68, 73	3eqtrd 2802	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝))) = (1r‘𝑅))
75	32, 46, 74	3eqtrd 2802	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))))) = (1r‘𝑅))
76	75	opeq2d 4845	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ⟨∅, (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))))))⟩ = ⟨∅, (1r‘𝑅)⟩)
77	76	sneqd 4601	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {⟨∅, (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))))))⟩} = {⟨∅, (1r‘𝑅)⟩})
78	23, 77	eqtr3d 2800	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑚 ∈ {∅} ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))) = {⟨∅, (1r‘𝑅)⟩})
79	10, 12, 78	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∅ maDet 𝑅) = {⟨∅, (1r‘𝑅)⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  ∅c0 4286  {csn 4589  ⟨cop 4595   ↦ cmpt 5192   ∘ ccom 5665  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8939  1c1 11096  Basecbs 17264  ._rcmulr 17306  0_gc0g 17487   Σ_g cgsu 17488  Mndcmnd 18787  SymGrpcsymg 19434  pmSgncpsgn 19554  pmEvencevpm 19555  mulGrpcmgp 20211  1_rcur 20258  Ringcrg 20310  ℤRHomczrh 21649   Mat cmat 22564   maDet cmdat 22741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-addf 11174  ax-mulf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-word 14547  df-lsw 14596  df-concat 14604  df-s1 14630  df-substr 14675  df-pfx 14705  df-splice 14783  df-reverse 14792  df-s2 14881  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-prds 17495  df-pws 17497  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-submnd 18837  df-efmnd 18923  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-mulg 19129  df-subg 19184  df-ghm 19279  df-gim 19324  df-cntz 19382  df-oppg 19411  df-symg 19435  df-pmtr 19507  df-psgn 19556  df-evpm 19557  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-cring 20313  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-dvr 20479  df-rhm 20550  df-subrng 20645  df-subrg 20669  df-drng 20829  df-sra 21294  df-rgmod 21295  df-cnfld 21523  df-zring 21597  df-zrh 21653  df-dsmm 21882  df-frlm 21897  df-mat 22565  df-mdet 22742

This theorem is referenced by:  mdet0f1o  22750  mdet0fv0  22751  chpmat0d  22991