Theorem mdet0pr 22907

Description: The determinant function for 0-dimensional matrices on a given ring is the function mapping the empty set to the unity element of that ring. (Contributed by AV, 28-Feb-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mdet0pr	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∅ maDet 𝑅) = {⟨∅, (1r‘𝑅)⟩})

Proof of Theorem mdet0pr

Dummy variables 𝑚 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (∅ maDet 𝑅) = (∅ maDet 𝑅)
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (∅ Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅)
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅))
4		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘(SymGrp‘∅)) = (Base‘(SymGrp‘∅))
5		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
6		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (pmSgn‘∅) = (pmSgn‘∅)
7		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mdetfval 22901	. . 3 ⊢ (∅ maDet 𝑅) = (𝑚 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))))
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∅ maDet 𝑅) = (𝑚 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
11		mat0dimbas0 22781	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
12	11	mpteq1d 5195	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑚 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))) = (𝑚 ∈ {∅} ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
13		0ex 5261	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ V)
15		ovex 7453	. . . 4 ⊢ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))))) ∈ V
16		oveq 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = ∅ → ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥) = ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))
17	16	mpteq2dv 5199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = ∅ → (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))
18	17	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = ∅ → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))))
19	18	oveq2d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = ∅ → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))))
20	19	mpteq2dv 5199	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = ∅ → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))))))
21	20	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = ∅ → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))))))
22	21	fmptsng 7173	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))))) ∈ V) → {⟨∅, (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))))))⟩} = (𝑚 ∈ {∅} ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
23	14, 15, 22	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {⟨∅, (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))))))⟩} = (𝑚 ∈ {∅} ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
24		mpt0 6681	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)) = ∅
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)) = ∅)
26	25	oveq2d 7436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg ∅))
27		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
28	27	gsum0 18873	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) Σg ∅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
29	26, 28	eqtrdi 2812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
30	29	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(0g‘(mulGrp‘𝑅))))
31	30	mpteq2dv 5199	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(0g‘(mulGrp‘𝑅)))))
32	31	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(0g‘(mulGrp‘𝑅))))))
33		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
34	8, 33	ringidval 20409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
35	34	eqcomi 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (1r‘𝑅)
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
37	36	oveq2d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
38		0fi 9070	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ Fin
39	4, 6, 5	zrhcopsgnelbas 21901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ∅ ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅))
40	38, 39	mp3an2 1478	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅))
41		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
42	41, 7, 33	ringridm 20499	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝))
43	40, 42	syldan 603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝))
44	37, 43	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝))
45	44	mpteq2dva 5198	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(0g‘(mulGrp‘𝑅)))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)))
46	45	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(0g‘(mulGrp‘𝑅))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝))))
47		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → 𝑅 ∈ Ring)
48	38	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → ∅ ∈ Fin)
49		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)))
50		elsni 4601	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ {∅} → 𝑝 = ∅)
51		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = ∅ → ((pmSgn‘∅)‘𝑝) = ((pmSgn‘∅)‘∅))
52		psgn0fv0 19725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((pmSgn‘∅)‘∅) = 1
53	51, 52	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = ∅ → ((pmSgn‘∅)‘𝑝) = 1)
54	50, 53	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ {∅} → ((pmSgn‘∅)‘𝑝) = 1)
55		symgbas0 19603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(SymGrp‘∅)) = {∅}
56	54, 55	eleq2s 2879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) → ((pmSgn‘∅)‘𝑝) = 1)
57	56	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → ((pmSgn‘∅)‘𝑝) = 1)
58		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (SymGrp‘∅) = (SymGrp‘∅)
59	58, 4, 6	psgnevpmb 21893	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ Fin → (𝑝 ∈ (pmEven‘∅) ↔ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ∧ ((pmSgn‘∅)‘𝑝) = 1)))
60	48, 59	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → (𝑝 ∈ (pmEven‘∅) ↔ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ∧ ((pmSgn‘∅)‘𝑝) = 1)))
61	49, 57, 60	mpbir2and 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → 𝑝 ∈ (pmEven‘∅))
62	5, 6, 33	zrhpsgnevpm 21897	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ∅ ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ (pmEven‘∅)) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝) = (1r‘𝑅))
63	47, 48, 61, 62	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝) = (1r‘𝑅))
64	63	mpteq2dva 5198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (1r‘𝑅)))
65	64	oveq2d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (1r‘𝑅))))
66	55	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(SymGrp‘∅)) = {∅})
67	66	mpteq1d 5195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (1r‘𝑅)) = (𝑝 ∈ {∅} ↦ (1r‘𝑅)))
68	67	oveq2d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (1r‘𝑅))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {∅} ↦ (1r‘𝑅))))
69		ringmnd 20470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
70	41, 33	ringidcl 20494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
71		eqidd 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = ∅ → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅))
72	41, 71	gsumsn 20168	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ ∅ ∈ V ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {∅} ↦ (1r‘𝑅))) = (1r‘𝑅))
73	69, 14, 70, 72	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {∅} ↦ (1r‘𝑅))) = (1r‘𝑅))
74	65, 68, 73	3eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝))) = (1r‘𝑅))
75	32, 46, 74	3eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))))) = (1r‘𝑅))
76	75	opeq2d 4840	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ⟨∅, (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))))))⟩ = ⟨∅, (1r‘𝑅)⟩)
77	76	sneqd 4596	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {⟨∅, (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))))))⟩} = {⟨∅, (1r‘𝑅)⟩})
78	23, 77	eqtr3d 2798	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑚 ∈ {∅} ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))) = {⟨∅, (1r‘𝑅)⟩})
79	10, 12, 78	3eqtrd 2800	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∅ maDet 𝑅) = {⟨∅, (1r‘𝑅)⟩})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  ∅c0 4279  {csn 4584  ⟨cop 4590   ↦ cmpt 5186   ∘ ccom 5655  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8973  1c1 11201  Basecbs 17387  ._rcmulr 17429  0_gc0g 17610   Σ_g cgsu 17611  Mndcmnd 18923  SymGrpcsymg 19583  pmSgncpsgn 19703  pmEvencevpm 19704  mulGrpcmgp 20360  1_rcur 20407  Ringcrg 20459  ℤRHomczrh 21805   Mat cmat 22722   maDet cmdat 22899

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-addf 11279  ax-mulf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-word 14659  df-lsw 14708  df-concat 14716  df-s1 14743  df-substr 14789  df-pfx 14821  df-splice 14899  df-reverse 14908  df-s2 14999  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-efmnd 19065  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-gim 19473  df-cntz 19531  df-oppg 19560  df-symg 19584  df-pmtr 19656  df-psgn 19705  df-evpm 19706  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-dvr 20631  df-rhm 20702  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-drng 20982  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-cnfld 21679  df-zring 21753  df-zrh 21809  df-dsmm 22038  df-frlm 22053  df-mat 22723  df-mdet 22900

This theorem is used by:  mdet0f1o  22908  mdet0fv0  22909  chpmat0d  23152