Theorem mdet0pr 22922

Description: The determinant function for 0-dimensional matrices on a given ring is the function mapping the empty set to the unity element of that ring. (Contributed by AV, 28-Feb-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mdet0pr	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∅ maDet 𝑅) = {⟨∅, (1r‘𝑅)⟩})

Proof of Theorem mdet0pr

Dummy variables 𝑚 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (∅ maDet 𝑅) = (∅ maDet 𝑅)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (∅ Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅))
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘(SymGrp‘∅)) = (Base‘(SymGrp‘∅))
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (pmSgn‘∅) = (pmSgn‘∅)
7		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mdetfval 22916	. . 3 ⊢ (∅ maDet 𝑅) = (𝑚 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))))
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∅ maDet 𝑅) = (𝑚 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
11		mat0dimbas0 22796	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
12	11	mpteq1d 5198	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑚 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))) = (𝑚 ∈ {∅} ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
13		0ex 5264	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ V)
15		ovex 7463	. . . 4 ⊢ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))))) ∈ V
16		oveq 7436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = ∅ → ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥) = ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))
17	16	mpteq2dv 5202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = ∅ → (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))
18	17	oveq2d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = ∅ → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))))
19	18	oveq2d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = ∅ → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))))
20	19	mpteq2dv 5202	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = ∅ → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))))))
21	20	oveq2d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = ∅ → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))))))
22	21	fmptsng 7183	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))))) ∈ V) → {⟨∅, (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))))))⟩} = (𝑚 ∈ {∅} ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
23	14, 15, 22	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {⟨∅, (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))))))⟩} = (𝑚 ∈ {∅} ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
24		mpt0 6692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)) = ∅
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)) = ∅)
26	25	oveq2d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg ∅))
27		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
28	27	gsum0 18888	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) Σg ∅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
29	26, 28	eqtrdi 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
30	29	oveq2d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(0g‘(mulGrp‘𝑅))))
31	30	mpteq2dv 5202	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(0g‘(mulGrp‘𝑅)))))
32	31	oveq2d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(0g‘(mulGrp‘𝑅))))))
33		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
34	8, 33	ringidval 20424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
35	34	eqcomi 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (1r‘𝑅)
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
37	36	oveq2d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
38		0fi 9084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ Fin
39	4, 6, 5	zrhcopsgnelbas 21916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ∅ ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅))
40	38, 39	mp3an2 1478	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅))
41		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
42	41, 7, 33	ringridm 20514	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝))
43	40, 42	syldan 603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝))
44	37, 43	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝))
45	44	mpteq2dva 5201	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(0g‘(mulGrp‘𝑅)))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)))
46	45	oveq2d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(0g‘(mulGrp‘𝑅))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝))))
47		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → 𝑅 ∈ Ring)
48	38	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → ∅ ∈ Fin)
49		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)))
50		elsni 4601	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ {∅} → 𝑝 = ∅)
51		fveq2 6896	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = ∅ → ((pmSgn‘∅)‘𝑝) = ((pmSgn‘∅)‘∅))
52		psgn0fv0 19740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((pmSgn‘∅)‘∅) = 1
53	51, 52	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = ∅ → ((pmSgn‘∅)‘𝑝) = 1)
54	50, 53	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ {∅} → ((pmSgn‘∅)‘𝑝) = 1)
55		symgbas0 19618	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(SymGrp‘∅)) = {∅}
56	54, 55	eleq2s 2882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) → ((pmSgn‘∅)‘𝑝) = 1)
57	56	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → ((pmSgn‘∅)‘𝑝) = 1)
58		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (SymGrp‘∅) = (SymGrp‘∅)
59	58, 4, 6	psgnevpmb 21908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ Fin → (𝑝 ∈ (pmEven‘∅) ↔ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ∧ ((pmSgn‘∅)‘𝑝) = 1)))
60	48, 59	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → (𝑝 ∈ (pmEven‘∅) ↔ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ∧ ((pmSgn‘∅)‘𝑝) = 1)))
61	49, 57, 60	mpbir2and 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → 𝑝 ∈ (pmEven‘∅))
62	5, 6, 33	zrhpsgnevpm 21912	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ∅ ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ (pmEven‘∅)) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝) = (1r‘𝑅))
63	47, 48, 61, 62	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝) = (1r‘𝑅))
64	63	mpteq2dva 5201	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (1r‘𝑅)))
65	64	oveq2d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (1r‘𝑅))))
66	55	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(SymGrp‘∅)) = {∅})
67	66	mpteq1d 5198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (1r‘𝑅)) = (𝑝 ∈ {∅} ↦ (1r‘𝑅)))
68	67	oveq2d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (1r‘𝑅))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {∅} ↦ (1r‘𝑅))))
69		ringmnd 20485	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
70	41, 33	ringidcl 20509	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
71		eqidd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = ∅ → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅))
72	41, 71	gsumsn 20183	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ ∅ ∈ V ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {∅} ↦ (1r‘𝑅))) = (1r‘𝑅))
73	69, 14, 70, 72	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {∅} ↦ (1r‘𝑅))) = (1r‘𝑅))
74	65, 68, 73	3eqtrd 2802	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝))) = (1r‘𝑅))
75	32, 46, 74	3eqtrd 2802	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))))) = (1r‘𝑅))
76	75	opeq2d 4850	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ⟨∅, (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))))))⟩ = ⟨∅, (1r‘𝑅)⟩)
77	76	sneqd 4596	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {⟨∅, (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))))))⟩} = {⟨∅, (1r‘𝑅)⟩})
78	23, 77	eqtr3d 2800	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑚 ∈ {∅} ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))) = {⟨∅, (1r‘𝑅)⟩})
79	10, 12, 78	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∅ maDet 𝑅) = {⟨∅, (1r‘𝑅)⟩})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  Vcvv 3454  ∅c0 4281  {csn 4588  ⟨cop 4838   ↦ cmpt 5189   ∘ ccom 5659  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  Fincfn 8987  1c1 11214  Basecbs 17402  ._rcmulr 17444  0_gc0g 17625   Σ_g cgsu 17626  Mndcmnd 18938  SymGrpcsymg 19598  pmSgncpsgn 19718  pmEvencevpm 19719  mulGrpcmgp 20375  1_rcur 20422  Ringcrg 20474  ℤRHomczrh 21820   Mat cmat 22737   maDet cmdat 22914

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-addf 11292  ax-mulf 11293

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1541  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-supp 8191  df-tpos 8257  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-2o 8491  df-er 8731  df-map 8863  df-ixp 8940  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-fsupp 9368  df-sup 9447  df-oi 9517  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-xnn0 12693  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-rp 13134  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-seq 14158  df-exp 14218  df-hash 14488  df-word 14672  df-lsw 14721  df-concat 14729  df-s1 14756  df-substr 14803  df-pfx 14835  df-splice 14913  df-reverse 14922  df-s2 15013  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-starv 17458  df-sca 17459  df-vsca 17460  df-ip 17461  df-tset 17462  df-ple 17463  df-ds 17465  df-unif 17466  df-hom 17467  df-cco 17468  df-0g 17627  df-gsum 17628  df-prds 17633  df-pws 17635  df-mre 17771  df-mrc 17772  df-acs 17774  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-mhm 18993  df-submnd 18994  df-efmnd 19080  df-grp 19162  df-minusg 19163  df-mulg 19293  df-subg 19348  df-ghm 19443  df-gim 19488  df-cntz 19546  df-oppg 19575  df-symg 19599  df-pmtr 19671  df-psgn 19720  df-evpm 19721  df-cmn 20011  df-abl 20012  df-mgp 20376  df-rng 20390  df-ur 20423  df-ring 20476  df-cring 20477  df-oppr 20582  df-dvdsr 20602  df-unit 20603  df-invr 20633  df-dvr 20646  df-rhm 20717  df-subrng 20813  df-subrg 20837  df-drng 20997  df-sra 21463  df-rgmod 21464  df-cnfld 21694  df-zring 21768  df-zrh 21824  df-dsmm 22053  df-frlm 22068  df-mat 22738  df-mdet 22915

This theorem is used by:  mdet0f1o  22923  mdet0fv0  22924  chpmat0d  23167