Theorem mdet0pr 21649

Description: The determinant function for 0-dimensional matrices on a given ring is the function mapping the empty set to the unit of that ring. (Contributed by AV, 28-Feb-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mdet0pr	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∅ maDet 𝑅) = {⟨∅, (1r‘𝑅)⟩})

Proof of Theorem mdet0pr

Dummy variables 𝑚 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (∅ maDet 𝑅) = (∅ maDet 𝑅)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (∅ Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅)
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅))
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘(SymGrp‘∅)) = (Base‘(SymGrp‘∅))
5		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
6		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (pmSgn‘∅) = (pmSgn‘∅)
7		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mdetfval 21643	. . 3 ⊢ (∅ maDet 𝑅) = (𝑚 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))))
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∅ maDet 𝑅) = (𝑚 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
11		mat0dimbas0 21523	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
12	11	mpteq1d 5165	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑚 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))) = (𝑚 ∈ {∅} ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
13		0ex 5226	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ V)
15		ovex 7288	. . . 4 ⊢ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))))) ∈ V
16		oveq 7261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = ∅ → ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥) = ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))
17	16	mpteq2dv 5172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = ∅ → (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))
18	17	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = ∅ → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))))
19	18	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = ∅ → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))))
20	19	mpteq2dv 5172	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = ∅ → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))))))
21	20	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = ∅ → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))))))
22	21	fmptsng 7022	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))))) ∈ V) → {⟨∅, (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))))))⟩} = (𝑚 ∈ {∅} ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
23	14, 15, 22	sylancl 585	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {⟨∅, (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))))))⟩} = (𝑚 ∈ {∅} ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
24		mpt0 6559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)) = ∅
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)) = ∅)
26	25	oveq2d 7271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg ∅))
27		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
28	27	gsum0 18283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) Σg ∅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
29	26, 28	eqtrdi 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
30	29	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(0g‘(mulGrp‘𝑅))))
31	30	mpteq2dv 5172	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(0g‘(mulGrp‘𝑅)))))
32	31	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(0g‘(mulGrp‘𝑅))))))
33		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
34	8, 33	ringidval 19654	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
35	34	eqcomi 2747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (1r‘𝑅)
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
37	36	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
38		0fin 8916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ Fin
39	4, 6, 5	zrhcopsgnelbas 20712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ∅ ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅))
40	38, 39	mp3an2 1447	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅))
41		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
42	41, 7, 33	ringridm 19726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝))
43	40, 42	syldan 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝))
44	37, 43	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝))
45	44	mpteq2dva 5170	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(0g‘(mulGrp‘𝑅)))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)))
46	45	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(0g‘(mulGrp‘𝑅))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝))))
47		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → 𝑅 ∈ Ring)
48	38	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → ∅ ∈ Fin)
49		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)))
50		elsni 4575	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ {∅} → 𝑝 = ∅)
51		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = ∅ → ((pmSgn‘∅)‘𝑝) = ((pmSgn‘∅)‘∅))
52		psgn0fv0 19034	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((pmSgn‘∅)‘∅) = 1
53	51, 52	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = ∅ → ((pmSgn‘∅)‘𝑝) = 1)
54	50, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ {∅} → ((pmSgn‘∅)‘𝑝) = 1)
55		symgbas0 18911	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(SymGrp‘∅)) = {∅}
56	54, 55	eleq2s 2857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) → ((pmSgn‘∅)‘𝑝) = 1)
57	56	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → ((pmSgn‘∅)‘𝑝) = 1)
58		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (SymGrp‘∅) = (SymGrp‘∅)
59	58, 4, 6	psgnevpmb 20704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ Fin → (𝑝 ∈ (pmEven‘∅) ↔ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ∧ ((pmSgn‘∅)‘𝑝) = 1)))
60	48, 59	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → (𝑝 ∈ (pmEven‘∅) ↔ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ∧ ((pmSgn‘∅)‘𝑝) = 1)))
61	49, 57, 60	mpbir2and 709	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → 𝑝 ∈ (pmEven‘∅))
62	5, 6, 33	zrhpsgnevpm 20708	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ∅ ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ (pmEven‘∅)) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝) = (1r‘𝑅))
63	47, 48, 61, 62	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝) = (1r‘𝑅))
64	63	mpteq2dva 5170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (1r‘𝑅)))
65	64	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (1r‘𝑅))))
66	55	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(SymGrp‘∅)) = {∅})
67	66	mpteq1d 5165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (1r‘𝑅)) = (𝑝 ∈ {∅} ↦ (1r‘𝑅)))
68	67	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (1r‘𝑅))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {∅} ↦ (1r‘𝑅))))
69		ringmnd 19708	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
70	41, 33	ringidcl 19722	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
71		eqidd 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = ∅ → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅))
72	41, 71	gsumsn 19470	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ ∅ ∈ V ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {∅} ↦ (1r‘𝑅))) = (1r‘𝑅))
73	69, 14, 70, 72	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {∅} ↦ (1r‘𝑅))) = (1r‘𝑅))
74	65, 68, 73	3eqtrd 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝))) = (1r‘𝑅))
75	32, 46, 74	3eqtrd 2782	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))))) = (1r‘𝑅))
76	75	opeq2d 4808	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ⟨∅, (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))))))⟩ = ⟨∅, (1r‘𝑅)⟩)
77	76	sneqd 4570	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {⟨∅, (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))))))⟩} = {⟨∅, (1r‘𝑅)⟩})
78	23, 77	eqtr3d 2780	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑚 ∈ {∅} ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))) = {⟨∅, (1r‘𝑅)⟩})
79	10, 12, 78	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∅ maDet 𝑅) = {⟨∅, (1r‘𝑅)⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  ∅c0 4253  {csn 4558  ⟨cop 4564   ↦ cmpt 5153   ∘ ccom 5584  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  1c1 10803  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889  0_gc0g 17067   Σ_g cgsu 17068  Mndcmnd 18300  SymGrpcsymg 18889  pmSgncpsgn 19012  pmEvencevpm 19013  mulGrpcmgp 19635  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  ℤRHomczrh 20613   Mat cmat 21464   maDet cmdat 21641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-xor 1504  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-word 14146  df-lsw 14194  df-concat 14202  df-s1 14229  df-substr 14282  df-pfx 14312  df-splice 14391  df-reverse 14400  df-s2 14489  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-efmnd 18423  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-gim 18790  df-cntz 18838  df-oppg 18865  df-symg 18890  df-pmtr 18965  df-psgn 19014  df-evpm 19015  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-rnghom 19874  df-drng 19908  df-subrg 19937  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-cnfld 20511  df-zring 20583  df-zrh 20617  df-dsmm 20849  df-frlm 20864  df-mat 21465  df-mdet 21642

This theorem is referenced by:  mdet0f1o  21650  mdet0fv0  21651  chpmat0d  21891