Theorem mdet0pr 22570

Description: The determinant function for 0-dimensional matrices on a given ring is the function mapping the empty set to the unity element of that ring. (Contributed by AV, 28-Feb-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mdet0pr	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∅ maDet 𝑅) = {⟨∅, (1r‘𝑅)⟩})

Proof of Theorem mdet0pr

Dummy variables 𝑚 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (∅ maDet 𝑅) = (∅ maDet 𝑅)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (∅ Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅))
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘(SymGrp‘∅)) = (Base‘(SymGrp‘∅))
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (pmSgn‘∅) = (pmSgn‘∅)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mdetfval 22564	. . 3 ⊢ (∅ maDet 𝑅) = (𝑚 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))))
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∅ maDet 𝑅) = (𝑚 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
11		mat0dimbas0 22444	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
12	11	mpteq1d 5176	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑚 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))) = (𝑚 ∈ {∅} ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
13		0ex 5243	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ V)
15		ovex 7394	. . . 4 ⊢ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))))) ∈ V
16		oveq 7367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = ∅ → ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥) = ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))
17	16	mpteq2dv 5180	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = ∅ → (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))
18	17	oveq2d 7377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = ∅ → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))))
19	18	oveq2d 7377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = ∅ → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))))
20	19	mpteq2dv 5180	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = ∅ → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))))))
21	20	oveq2d 7377	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = ∅ → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))))))
22	21	fmptsng 7117	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))))) ∈ V) → {⟨∅, (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))))))⟩} = (𝑚 ∈ {∅} ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
23	14, 15, 22	sylancl 587	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {⟨∅, (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))))))⟩} = (𝑚 ∈ {∅} ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
24		mpt0 6635	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)) = ∅
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)) = ∅)
26	25	oveq2d 7377	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg ∅))
27		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
28	27	gsum0 18646	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) Σg ∅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
29	26, 28	eqtrdi 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
30	29	oveq2d 7377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(0g‘(mulGrp‘𝑅))))
31	30	mpteq2dv 5180	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(0g‘(mulGrp‘𝑅)))))
32	31	oveq2d 7377	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(0g‘(mulGrp‘𝑅))))))
33		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
34	8, 33	ringidval 20158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
35	34	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (1r‘𝑅)
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
37	36	oveq2d 7377	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
38		0fi 8983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ Fin
39	4, 6, 5	zrhcopsgnelbas 21588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ∅ ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅))
40	38, 39	mp3an2 1452	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅))
41		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
42	41, 7, 33	ringridm 20245	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝))
43	40, 42	syldan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝))
44	37, 43	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝))
45	44	mpteq2dva 5179	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(0g‘(mulGrp‘𝑅)))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)))
46	45	oveq2d 7377	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)(0g‘(mulGrp‘𝑅))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝))))
47		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → 𝑅 ∈ Ring)
48	38	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → ∅ ∈ Fin)
49		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)))
50		elsni 4585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ {∅} → 𝑝 = ∅)
51		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = ∅ → ((pmSgn‘∅)‘𝑝) = ((pmSgn‘∅)‘∅))
52		psgn0fv0 19480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((pmSgn‘∅)‘∅) = 1
53	51, 52	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = ∅ → ((pmSgn‘∅)‘𝑝) = 1)
54	50, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ {∅} → ((pmSgn‘∅)‘𝑝) = 1)
55		symgbas0 19358	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(SymGrp‘∅)) = {∅}
56	54, 55	eleq2s 2855	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) → ((pmSgn‘∅)‘𝑝) = 1)
57	56	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → ((pmSgn‘∅)‘𝑝) = 1)
58		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (SymGrp‘∅) = (SymGrp‘∅)
59	58, 4, 6	psgnevpmb 21580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ Fin → (𝑝 ∈ (pmEven‘∅) ↔ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ∧ ((pmSgn‘∅)‘𝑝) = 1)))
60	48, 59	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → (𝑝 ∈ (pmEven‘∅) ↔ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ∧ ((pmSgn‘∅)‘𝑝) = 1)))
61	49, 57, 60	mpbir2and 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → 𝑝 ∈ (pmEven‘∅))
62	5, 6, 33	zrhpsgnevpm 21584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ∅ ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ (pmEven‘∅)) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝) = (1r‘𝑅))
63	47, 48, 61, 62	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝) = (1r‘𝑅))
64	63	mpteq2dva 5179	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (1r‘𝑅)))
65	64	oveq2d 7377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (1r‘𝑅))))
66	55	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(SymGrp‘∅)) = {∅})
67	66	mpteq1d 5176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (1r‘𝑅)) = (𝑝 ∈ {∅} ↦ (1r‘𝑅)))
68	67	oveq2d 7377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (1r‘𝑅))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {∅} ↦ (1r‘𝑅))))
69		ringmnd 20218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
70	41, 33	ringidcl 20240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
71		eqidd 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = ∅ → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅))
72	41, 71	gsumsn 19923	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ ∅ ∈ V ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {∅} ↦ (1r‘𝑅))) = (1r‘𝑅))
73	69, 14, 70, 72	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {∅} ↦ (1r‘𝑅))) = (1r‘𝑅))
74	65, 68, 73	3eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝))) = (1r‘𝑅))
75	32, 46, 74	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥)))))) = (1r‘𝑅))
76	75	opeq2d 4824	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ⟨∅, (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))))))⟩ = ⟨∅, (1r‘𝑅)⟩)
77	76	sneqd 4580	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {⟨∅, (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)∅𝑥))))))⟩} = {⟨∅, (1r‘𝑅)⟩})
78	23, 77	eqtr3d 2774	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑚 ∈ {∅} ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘∅)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘∅))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))) = {⟨∅, (1r‘𝑅)⟩})
79	10, 12, 78	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∅ maDet 𝑅) = {⟨∅, (1r‘𝑅)⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ∅c0 4274  {csn 4568  ⟨cop 4574   ↦ cmpt 5167   ∘ ccom 5629  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Fincfn 8887  1c1 11033  Basecbs 17173  ._rcmulr 17215  0_gc0g 17396   Σ_g cgsu 17397  Mndcmnd 18696  SymGrpcsymg 19338  pmSgncpsgn 19458  pmEvencevpm 19459  mulGrpcmgp 20115  1_rcur 20156  Ringcrg 20208  ℤRHomczrh 21492   Mat cmat 22385   maDet cmdat 22562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-addf 11111  ax-mulf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1514  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-xnn0 12505  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-rp 12937  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-exp 14018  df-hash 14287  df-word 14470  df-lsw 14519  df-concat 14527  df-s1 14553  df-substr 14598  df-pfx 14628  df-splice 14706  df-reverse 14715  df-s2 14804  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-hom 17238  df-cco 17239  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-prds 17404  df-pws 17406  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-efmnd 18831  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-mulg 19038  df-subg 19093  df-ghm 19182  df-gim 19228  df-cntz 19286  df-oppg 19315  df-symg 19339  df-pmtr 19411  df-psgn 19460  df-evpm 19461  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-cring 20211  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-unit 20332  df-invr 20362  df-dvr 20375  df-rhm 20446  df-subrng 20517  df-subrg 20541  df-drng 20702  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-cnfld 21348  df-zring 21440  df-zrh 21496  df-dsmm 21725  df-frlm 21740  df-mat 22386  df-mdet 22563

This theorem is referenced by:  mdet0f1o  22571  mdet0fv0  22572  chpmat0d  22812