MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m1detdiag Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m1detdiag 22604
Description: The determinant of a 1-dimensional matrix equals its (single) entry. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetdiag.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetdiag.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetdiag.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
m1detdiag ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐷𝑀) = (𝐼𝑀𝐼))

Proof of Theorem m1detdiag
Dummy variables 𝑏 𝑝 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetdiag.d . . . 4 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2 mdetdiag.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 mdetdiag.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 eqid 2736 . . . 4 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
5 eqid 2736 . . . 4 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
6 eqid 2736 . . . 4 (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
7 eqid 2736 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
8 eqid 2736 . . . 4 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mdetleib 22594 . . 3 (𝑀𝐵 → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥)))))))
1093ad2ant3 1135 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥)))))))
11 2fveq3 6910 . . . . . . . 8 (𝑁 = {𝐼} → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘{𝐼})))
1211adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘{𝐼})))
13123ad2ant2 1134 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘{𝐼})))
14 simp2r 1200 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝐼𝑉)
15 eqid 2736 . . . . . . . 8 (SymGrp‘{𝐼}) = (SymGrp‘{𝐼})
16 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Base‘(SymGrp‘{𝐼})) = (Base‘(SymGrp‘{𝐼}))
17 eqid 2736 . . . . . . . 8 {𝐼} = {𝐼}
1815, 16, 17symg1bas 19409 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (Base‘(SymGrp‘{𝐼})) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
1914, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘(SymGrp‘{𝐼})) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
2013, 19eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
2120mpteq1d 5236 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥))))) = (𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥))))))
22 snex 5435 . . . . . 6 {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V
2322a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V)
24 ovex 7465 . . . . 5 ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))) ∈ V
25 fveq2 6905 . . . . . . . 8 (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}))
26 fveq1 6904 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (𝑝𝑥) = ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥))
2726oveq1d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → ((𝑝𝑥)𝑀𝑥) = (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))
2827mpteq2dv 5243 . . . . . . . . 9 (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥)) = (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))
2928oveq2d 7448 . . . . . . . 8 (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))
3025, 29oveq12d 7450 . . . . . . 7 (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥)))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))))
3130fmptsng 7189 . . . . . 6 (({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V ∧ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))) ∈ V) → {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩} = (𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥))))))
3231eqcomd 2742 . . . . 5 (({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V ∧ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))) ∈ V) → (𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥))))) = {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩})
3323, 24, 32sylancl 586 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥))))) = {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩})
34 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
35 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin}
3634, 4, 35, 6psgnfn 19520 . . . . . . . . . . . 12 (pmSgn‘𝑁) Fn {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin}
3718adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → (Base‘(SymGrp‘{𝐼})) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
3812, 37eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
39383ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
40 rabeq 3450 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} → {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑏 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin})
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑏 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin})
42 difeq1 4118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (𝑏 ∖ I ) = ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ))
4342dmeqd 5915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → dom (𝑏 ∖ I ) = dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ))
4443eleq1d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin))
4544rabsnif 4722 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑏 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin} = if(dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin, {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}, ∅)
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → {𝑏 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin} = if(dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin, {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}, ∅))
47 restidsing 6070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( I ↾ {𝐼}) = ({𝐼} × {𝐼})
48 xpsng 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼𝑉𝐼𝑉) → ({𝐼} × {𝐼}) = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
4948anidms 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼𝑉 → ({𝐼} × {𝐼}) = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
5047, 49eqtr2id 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩} = ( I ↾ {𝐼}))
51 fnsng 6617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼𝑉𝐼𝑉) → {⟨𝐼, 𝐼⟩} Fn {𝐼})
5251anidms 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩} Fn {𝐼})
53 fnnfpeq0 7199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ({⟨𝐼, 𝐼⟩} Fn {𝐼} → (dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) = ∅ ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩} = ( I ↾ {𝐼})))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼𝑉 → (dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) = ∅ ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩} = ( I ↾ {𝐼})))
5550, 54mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼𝑉 → dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) = ∅)
56 0fi 9083 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ∅ ∈ Fin
5755, 56eqeltrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼𝑉 → dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin)
5857adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin)
59583ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin)
6059iftrued 4532 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → if(dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin, {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}, ∅) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
6141, 46, 603eqtrrd 2781 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} = {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin})
6261fneq2d 6661 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((pmSgn‘𝑁) Fn {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↔ (pmSgn‘𝑁) Fn {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin}))
6336, 62mpbiri 258 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (pmSgn‘𝑁) Fn {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
6422snid 4661 . . . . . . . . . . 11 {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}
65 fvco2 7005 . . . . . . . . . . 11 (((pmSgn‘𝑁) Fn {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})))
6663, 64, 65sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})))
67 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 = {𝐼} → (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘{𝐼}))
6867adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘{𝐼}))
69683ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘{𝐼}))
7069fveq1d 6907 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = ((pmSgn‘{𝐼})‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}))
71 snidg 4659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V → {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
7222, 71mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
7372, 18eleqtrrd 2843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘{𝐼})))
7473ancli 548 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼𝑉 → (𝐼𝑉 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘{𝐼}))))
7574adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼𝑉 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘{𝐼}))))
76753ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼𝑉 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘{𝐼}))))
77 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (pmSgn‘{𝐼}) = (pmSgn‘{𝐼})
7817, 15, 16, 77psgnsn 19539 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘{𝐼}))) → ((pmSgn‘{𝐼})‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = 1)
7976, 78syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((pmSgn‘{𝐼})‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = 1)
8070, 79eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = 1)
8180fveq2d 6909 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})) = ((ℤRHom‘𝑅)‘1))
82 crngring 20243 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
83823ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
84 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (1r𝑅) = (1r𝑅)
855, 84zrh1 21524 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = (1r𝑅))
8683, 85syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = (1r𝑅))
8766, 81, 863eqtrd 2780 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = (1r𝑅))
88 simp2l 1199 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑁 = {𝐼})
8988mpteq1d 5236 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝐼} ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))
9089oveq2d 7448 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ {𝐼} ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))
918ringmgp 20237 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
9282, 91syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
93923ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
94 snidg 4659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼𝑉𝐼 ∈ {𝐼})
9594adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → 𝐼 ∈ {𝐼})
96 eleq2 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 = {𝐼} → (𝐼𝑁𝐼 ∈ {𝐼}))
9796adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼𝑁𝐼 ∈ {𝐼}))
9895, 97mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → 𝐼𝑁)
993eleq2i 2832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
10099biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
101 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → 𝐼𝑁)
102 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
103101, 101, 1023jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑁𝐼𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
10498, 100, 103syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼𝑁𝐼𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
1051043adant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼𝑁𝐼𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
106 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1072, 106matecl 22432 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑁𝐼𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
108105, 107syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
1098, 106mgpbas 20143 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
110108, 109eleqtrdi 2850 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
111 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
112 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐼 → ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥) = ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝐼))
113 eqvisset 3499 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝐼𝐼 ∈ V)
114 fvsng 7201 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝐼) = 𝐼)
115113, 113, 114syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐼 → ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝐼) = 𝐼)
116112, 115eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐼 → ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥) = 𝐼)
117 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐼𝑥 = 𝐼)
118116, 117oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐼 → (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥) = (𝐼𝑀𝐼))
119111, 118gsumsn 19973 . . . . . . . . . . 11 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉 ∧ (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ {𝐼} ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))) = (𝐼𝑀𝐼))
12093, 14, 110, 119syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ {𝐼} ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))) = (𝐼𝑀𝐼))
12190, 120eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))) = (𝐼𝑀𝐼))
12287, 121oveq12d 7450 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))) = ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝐼𝑀𝐼)))
123983ad2ant2 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝐼𝑁)
1241003ad2ant3 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
125123, 123, 124, 107syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
126106, 7, 84ringlidm 20267 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝐼𝑀𝐼)) = (𝐼𝑀𝐼))
12783, 125, 126syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝐼𝑀𝐼)) = (𝐼𝑀𝐼))
128122, 127eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))) = (𝐼𝑀𝐼))
129128opeq2d 4879 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩ = ⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, (𝐼𝑀𝐼)⟩)
130129sneqd 4637 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩} = {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, (𝐼𝑀𝐼)⟩})
131 ovex 7465 . . . . . 6 (𝐼𝑀𝐼) ∈ V
132 eqidd 2737 . . . . . . 7 (𝑦 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (𝐼𝑀𝐼) = (𝐼𝑀𝐼))
133132fmptsng 7189 . . . . . 6 (({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V ∧ (𝐼𝑀𝐼) ∈ V) → {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, (𝐼𝑀𝐼)⟩} = (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼)))
13423, 131, 133sylancl 586 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, (𝐼𝑀𝐼)⟩} = (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼)))
135130, 134eqtrd 2776 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩} = (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼)))
13621, 33, 1353eqtrd 2780 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥))))) = (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼)))
137136oveq2d 7448 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥)))))) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼))))
138 ringmnd 20241 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
13982, 138syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Mnd)
1401393ad2ant1 1133 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Mnd)
141106, 132gsumsn 19973 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V ∧ (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼))) = (𝐼𝑀𝐼))
142140, 23, 125, 141syl3anc 1372 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼))) = (𝐼𝑀𝐼))
14310, 137, 1423eqtrd 2780 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐷𝑀) = (𝐼𝑀𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  {crab 3435  Vcvv 3479  cdif 3947  c0 4332  ifcif 4524  {csn 4625  cop 4631  cmpt 5224   I cid 5576   × cxp 5682  dom cdm 5684  cres 5686  ccom 5688   Fn wfn 6555  cfv 6560  (class class class)co 7432  Fincfn 8986  1c1 11157  Basecbs 17248  .rcmulr 17299   Σg cgsu 17486  Mndcmnd 18748  SymGrpcsymg 19387  pmSgncpsgn 19508  mulGrpcmgp 20138  1rcur 20179  Ringcrg 20231  CRingccrg 20232  ℤRHomczrh 21511   Mat cmat 22412   maDet cmdat 22591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-addf 11235  ax-mulf 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1511  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-word 14554  df-lsw 14602  df-concat 14610  df-s1 14635  df-substr 14680  df-pfx 14710  df-splice 14789  df-reverse 14798  df-s2 14888  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-efmnd 18883  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-ghm 19232  df-gim 19278  df-cntz 19336  df-oppg 19365  df-symg 19388  df-pmtr 19461  df-psgn 19510  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-cring 20234  df-rhm 20473  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-cnfld 21366  df-zring 21459  df-zrh 21515  df-dsmm 21753  df-frlm 21768  df-mat 22413  df-mdet 22592
This theorem is referenced by:  chpmat1d  22843
  Copyright terms: Public domain W3C validator