MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m1detdiag Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m1detdiag 22449
Description: The determinant of a 1-dimensional matrix equals its (single) entry. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetdiag.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetdiag.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetdiag.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
m1detdiag ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐷𝑀) = (𝐼𝑀𝐼))

Proof of Theorem m1detdiag
Dummy variables 𝑏 𝑝 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetdiag.d . . . 4 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2 mdetdiag.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 mdetdiag.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 eqid 2726 . . . 4 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
5 eqid 2726 . . . 4 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
6 eqid 2726 . . . 4 (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
7 eqid 2726 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
8 eqid 2726 . . . 4 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mdetleib 22439 . . 3 (𝑀𝐵 → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥)))))))
1093ad2ant3 1132 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥)))))))
11 2fveq3 6889 . . . . . . . 8 (𝑁 = {𝐼} → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘{𝐼})))
1211adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘{𝐼})))
13123ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘{𝐼})))
14 simp2r 1197 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝐼𝑉)
15 eqid 2726 . . . . . . . 8 (SymGrp‘{𝐼}) = (SymGrp‘{𝐼})
16 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Base‘(SymGrp‘{𝐼})) = (Base‘(SymGrp‘{𝐼}))
17 eqid 2726 . . . . . . . 8 {𝐼} = {𝐼}
1815, 16, 17symg1bas 19307 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (Base‘(SymGrp‘{𝐼})) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
1914, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘(SymGrp‘{𝐼})) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
2013, 19eqtrd 2766 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
2120mpteq1d 5236 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥))))) = (𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥))))))
22 snex 5424 . . . . . 6 {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V
2322a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V)
24 ovex 7437 . . . . 5 ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))) ∈ V
25 fveq2 6884 . . . . . . . 8 (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}))
26 fveq1 6883 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (𝑝𝑥) = ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥))
2726oveq1d 7419 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → ((𝑝𝑥)𝑀𝑥) = (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))
2827mpteq2dv 5243 . . . . . . . . 9 (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥)) = (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))
2928oveq2d 7420 . . . . . . . 8 (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))
3025, 29oveq12d 7422 . . . . . . 7 (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥)))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))))
3130fmptsng 7161 . . . . . 6 (({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V ∧ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))) ∈ V) → {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩} = (𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥))))))
3231eqcomd 2732 . . . . 5 (({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V ∧ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))) ∈ V) → (𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥))))) = {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩})
3323, 24, 32sylancl 585 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥))))) = {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩})
34 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
35 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin}
3634, 4, 35, 6psgnfn 19418 . . . . . . . . . . . 12 (pmSgn‘𝑁) Fn {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin}
3718adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → (Base‘(SymGrp‘{𝐼})) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
3812, 37eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
39383ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
40 rabeq 3440 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} → {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑏 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin})
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑏 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin})
42 difeq1 4110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (𝑏 ∖ I ) = ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ))
4342dmeqd 5898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → dom (𝑏 ∖ I ) = dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ))
4443eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin))
4544rabsnif 4722 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑏 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin} = if(dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin, {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}, ∅)
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → {𝑏 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin} = if(dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin, {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}, ∅))
47 restidsing 6045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( I ↾ {𝐼}) = ({𝐼} × {𝐼})
48 xpsng 7132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼𝑉𝐼𝑉) → ({𝐼} × {𝐼}) = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
4948anidms 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼𝑉 → ({𝐼} × {𝐼}) = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
5047, 49eqtr2id 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩} = ( I ↾ {𝐼}))
51 fnsng 6593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼𝑉𝐼𝑉) → {⟨𝐼, 𝐼⟩} Fn {𝐼})
5251anidms 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩} Fn {𝐼})
53 fnnfpeq0 7171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ({⟨𝐼, 𝐼⟩} Fn {𝐼} → (dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) = ∅ ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩} = ( I ↾ {𝐼})))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼𝑉 → (dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) = ∅ ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩} = ( I ↾ {𝐼})))
5550, 54mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼𝑉 → dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) = ∅)
56 0fin 9170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ∅ ∈ Fin
5755, 56eqeltrdi 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼𝑉 → dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin)
5857adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin)
59583ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin)
6059iftrued 4531 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → if(dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin, {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}, ∅) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
6141, 46, 603eqtrrd 2771 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} = {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin})
6261fneq2d 6636 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((pmSgn‘𝑁) Fn {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↔ (pmSgn‘𝑁) Fn {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin}))
6336, 62mpbiri 258 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (pmSgn‘𝑁) Fn {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
6422snid 4659 . . . . . . . . . . 11 {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}
65 fvco2 6981 . . . . . . . . . . 11 (((pmSgn‘𝑁) Fn {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})))
6663, 64, 65sylancl 585 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})))
67 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 = {𝐼} → (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘{𝐼}))
6867adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘{𝐼}))
69683ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘{𝐼}))
7069fveq1d 6886 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = ((pmSgn‘{𝐼})‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}))
71 snidg 4657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V → {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
7222, 71mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
7372, 18eleqtrrd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘{𝐼})))
7473ancli 548 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼𝑉 → (𝐼𝑉 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘{𝐼}))))
7574adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼𝑉 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘{𝐼}))))
76753ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼𝑉 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘{𝐼}))))
77 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (pmSgn‘{𝐼}) = (pmSgn‘{𝐼})
7817, 15, 16, 77psgnsn 19437 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘{𝐼}))) → ((pmSgn‘{𝐼})‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = 1)
7976, 78syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((pmSgn‘{𝐼})‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = 1)
8070, 79eqtrd 2766 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = 1)
8180fveq2d 6888 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})) = ((ℤRHom‘𝑅)‘1))
82 crngring 20147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
83823ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
84 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (1r𝑅) = (1r𝑅)
855, 84zrh1 21394 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = (1r𝑅))
8683, 85syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = (1r𝑅))
8766, 81, 863eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = (1r𝑅))
88 simp2l 1196 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑁 = {𝐼})
8988mpteq1d 5236 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝐼} ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))
9089oveq2d 7420 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ {𝐼} ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))
918ringmgp 20141 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
9282, 91syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
93923ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
94 snidg 4657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼𝑉𝐼 ∈ {𝐼})
9594adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → 𝐼 ∈ {𝐼})
96 eleq2 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 = {𝐼} → (𝐼𝑁𝐼 ∈ {𝐼}))
9796adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼𝑁𝐼 ∈ {𝐼}))
9895, 97mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → 𝐼𝑁)
993eleq2i 2819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
10099biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
101 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → 𝐼𝑁)
102 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
103101, 101, 1023jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑁𝐼𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
10498, 100, 103syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼𝑁𝐼𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
1051043adant1 1127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼𝑁𝐼𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
106 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1072, 106matecl 22277 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑁𝐼𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
108105, 107syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
1098, 106mgpbas 20042 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
110108, 109eleqtrdi 2837 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
111 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
112 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐼 → ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥) = ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝐼))
113 eqvisset 3486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝐼𝐼 ∈ V)
114 fvsng 7173 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝐼) = 𝐼)
115113, 113, 114syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐼 → ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝐼) = 𝐼)
116112, 115eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐼 → ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥) = 𝐼)
117 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐼𝑥 = 𝐼)
118116, 117oveq12d 7422 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐼 → (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥) = (𝐼𝑀𝐼))
119111, 118gsumsn 19871 . . . . . . . . . . 11 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉 ∧ (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ {𝐼} ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))) = (𝐼𝑀𝐼))
12093, 14, 110, 119syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ {𝐼} ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))) = (𝐼𝑀𝐼))
12190, 120eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))) = (𝐼𝑀𝐼))
12287, 121oveq12d 7422 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))) = ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝐼𝑀𝐼)))
123983ad2ant2 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝐼𝑁)
1241003ad2ant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
125123, 123, 124, 107syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
126106, 7, 84ringlidm 20165 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝐼𝑀𝐼)) = (𝐼𝑀𝐼))
12783, 125, 126syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝐼𝑀𝐼)) = (𝐼𝑀𝐼))
128122, 127eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))) = (𝐼𝑀𝐼))
129128opeq2d 4875 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩ = ⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, (𝐼𝑀𝐼)⟩)
130129sneqd 4635 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩} = {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, (𝐼𝑀𝐼)⟩})
131 ovex 7437 . . . . . 6 (𝐼𝑀𝐼) ∈ V
132 eqidd 2727 . . . . . . 7 (𝑦 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (𝐼𝑀𝐼) = (𝐼𝑀𝐼))
133132fmptsng 7161 . . . . . 6 (({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V ∧ (𝐼𝑀𝐼) ∈ V) → {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, (𝐼𝑀𝐼)⟩} = (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼)))
13423, 131, 133sylancl 585 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, (𝐼𝑀𝐼)⟩} = (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼)))
135130, 134eqtrd 2766 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩} = (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼)))
13621, 33, 1353eqtrd 2770 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥))))) = (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼)))
137136oveq2d 7420 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥)))))) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼))))
138 ringmnd 20145 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
13982, 138syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Mnd)
1401393ad2ant1 1130 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Mnd)
141106, 132gsumsn 19871 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V ∧ (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼))) = (𝐼𝑀𝐼))
142140, 23, 125, 141syl3anc 1368 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼))) = (𝐼𝑀𝐼))
14310, 137, 1423eqtrd 2770 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐷𝑀) = (𝐼𝑀𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3426  Vcvv 3468  cdif 3940  c0 4317  ifcif 4523  {csn 4623  cop 4629  cmpt 5224   I cid 5566   × cxp 5667  dom cdm 5669  cres 5671  ccom 5673   Fn wfn 6531  cfv 6536  (class class class)co 7404  Fincfn 8938  1c1 11110  Basecbs 17150  .rcmulr 17204   Σg cgsu 17392  Mndcmnd 18664  SymGrpcsymg 19283  pmSgncpsgn 19406  mulGrpcmgp 20036  1rcur 20083  Ringcrg 20135  CRingccrg 20136  ℤRHomczrh 21381   Mat cmat 22257   maDet cmdat 22436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-word 14468  df-lsw 14516  df-concat 14524  df-s1 14549  df-substr 14594  df-pfx 14624  df-splice 14703  df-reverse 14712  df-s2 14802  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-efmnd 18791  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-mulg 18993  df-subg 19047  df-ghm 19136  df-gim 19181  df-cntz 19230  df-oppg 19259  df-symg 19284  df-pmtr 19359  df-psgn 19408  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-cring 20138  df-rhm 20371  df-subrng 20443  df-subrg 20468  df-sra 21018  df-rgmod 21019  df-cnfld 21236  df-zring 21329  df-zrh 21385  df-dsmm 21622  df-frlm 21637  df-mat 22258  df-mdet 22437
This theorem is referenced by:  chpmat1d  22688
  Copyright terms: Public domain W3C validator