MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m1detdiag Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m1detdiag 21946
Description: The determinant of a 1-dimensional matrix equals its (single) entry. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetdiag.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetdiag.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetdiag.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
m1detdiag ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐷𝑀) = (𝐼𝑀𝐼))

Proof of Theorem m1detdiag
Dummy variables 𝑏 𝑝 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetdiag.d . . . 4 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2 mdetdiag.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 mdetdiag.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 eqid 2736 . . . 4 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
5 eqid 2736 . . . 4 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
6 eqid 2736 . . . 4 (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
7 eqid 2736 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
8 eqid 2736 . . . 4 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mdetleib 21936 . . 3 (𝑀𝐵 → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥)))))))
1093ad2ant3 1135 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥)))))))
11 2fveq3 6847 . . . . . . . 8 (𝑁 = {𝐼} → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘{𝐼})))
1211adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘{𝐼})))
13123ad2ant2 1134 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘{𝐼})))
14 simp2r 1200 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝐼𝑉)
15 eqid 2736 . . . . . . . 8 (SymGrp‘{𝐼}) = (SymGrp‘{𝐼})
16 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Base‘(SymGrp‘{𝐼})) = (Base‘(SymGrp‘{𝐼}))
17 eqid 2736 . . . . . . . 8 {𝐼} = {𝐼}
1815, 16, 17symg1bas 19172 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (Base‘(SymGrp‘{𝐼})) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
1914, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘(SymGrp‘{𝐼})) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
2013, 19eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
2120mpteq1d 5200 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥))))) = (𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥))))))
22 snex 5388 . . . . . 6 {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V
2322a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V)
24 ovex 7390 . . . . 5 ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))) ∈ V
25 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}))
26 fveq1 6841 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (𝑝𝑥) = ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥))
2726oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → ((𝑝𝑥)𝑀𝑥) = (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))
2827mpteq2dv 5207 . . . . . . . . 9 (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥)) = (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))
2928oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))
3025, 29oveq12d 7375 . . . . . . 7 (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥)))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))))
3130fmptsng 7114 . . . . . 6 (({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V ∧ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))) ∈ V) → {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩} = (𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥))))))
3231eqcomd 2742 . . . . 5 (({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V ∧ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))) ∈ V) → (𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥))))) = {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩})
3323, 24, 32sylancl 586 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥))))) = {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩})
34 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
35 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin}
3634, 4, 35, 6psgnfn 19283 . . . . . . . . . . . 12 (pmSgn‘𝑁) Fn {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin}
3718adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → (Base‘(SymGrp‘{𝐼})) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
3812, 37eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
39383ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
40 rabeq 3421 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} → {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑏 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin})
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑏 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin})
42 difeq1 4075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (𝑏 ∖ I ) = ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ))
4342dmeqd 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → dom (𝑏 ∖ I ) = dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ))
4443eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin))
4544rabsnif 4684 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑏 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin} = if(dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin, {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}, ∅)
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → {𝑏 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin} = if(dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin, {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}, ∅))
47 restidsing 6006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( I ↾ {𝐼}) = ({𝐼} × {𝐼})
48 xpsng 7085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼𝑉𝐼𝑉) → ({𝐼} × {𝐼}) = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
4948anidms 567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼𝑉 → ({𝐼} × {𝐼}) = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
5047, 49eqtr2id 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩} = ( I ↾ {𝐼}))
51 fnsng 6553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼𝑉𝐼𝑉) → {⟨𝐼, 𝐼⟩} Fn {𝐼})
5251anidms 567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩} Fn {𝐼})
53 fnnfpeq0 7124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ({⟨𝐼, 𝐼⟩} Fn {𝐼} → (dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) = ∅ ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩} = ( I ↾ {𝐼})))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼𝑉 → (dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) = ∅ ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩} = ( I ↾ {𝐼})))
5550, 54mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼𝑉 → dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) = ∅)
56 0fin 9115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ∅ ∈ Fin
5755, 56eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼𝑉 → dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin)
5857adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin)
59583ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin)
6059iftrued 4494 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → if(dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin, {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}, ∅) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
6141, 46, 603eqtrrd 2781 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} = {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin})
6261fneq2d 6596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((pmSgn‘𝑁) Fn {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↔ (pmSgn‘𝑁) Fn {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin}))
6336, 62mpbiri 257 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (pmSgn‘𝑁) Fn {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
6422snid 4622 . . . . . . . . . . 11 {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}
65 fvco2 6938 . . . . . . . . . . 11 (((pmSgn‘𝑁) Fn {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})))
6663, 64, 65sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})))
67 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 = {𝐼} → (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘{𝐼}))
6867adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘{𝐼}))
69683ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘{𝐼}))
7069fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = ((pmSgn‘{𝐼})‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}))
71 snidg 4620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V → {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
7222, 71mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
7372, 18eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘{𝐼})))
7473ancli 549 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼𝑉 → (𝐼𝑉 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘{𝐼}))))
7574adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼𝑉 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘{𝐼}))))
76753ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼𝑉 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘{𝐼}))))
77 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (pmSgn‘{𝐼}) = (pmSgn‘{𝐼})
7817, 15, 16, 77psgnsn 19302 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘{𝐼}))) → ((pmSgn‘{𝐼})‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = 1)
7976, 78syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((pmSgn‘{𝐼})‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = 1)
8070, 79eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = 1)
8180fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})) = ((ℤRHom‘𝑅)‘1))
82 crngring 19976 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
83823ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
84 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (1r𝑅) = (1r𝑅)
855, 84zrh1 20913 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = (1r𝑅))
8683, 85syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = (1r𝑅))
8766, 81, 863eqtrd 2780 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = (1r𝑅))
88 simp2l 1199 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑁 = {𝐼})
8988mpteq1d 5200 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝐼} ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))
9089oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ {𝐼} ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))
918ringmgp 19970 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
9282, 91syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
93923ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
94 snidg 4620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼𝑉𝐼 ∈ {𝐼})
9594adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → 𝐼 ∈ {𝐼})
96 eleq2 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 = {𝐼} → (𝐼𝑁𝐼 ∈ {𝐼}))
9796adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼𝑁𝐼 ∈ {𝐼}))
9895, 97mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → 𝐼𝑁)
993eleq2i 2829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
10099biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
101 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → 𝐼𝑁)
102 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
103101, 101, 1023jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑁𝐼𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
10498, 100, 103syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼𝑁𝐼𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
1051043adant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼𝑁𝐼𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
106 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1072, 106matecl 21774 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑁𝐼𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
108105, 107syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
1098, 106mgpbas 19902 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
110108, 109eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
111 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
112 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐼 → ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥) = ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝐼))
113 eqvisset 3462 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝐼𝐼 ∈ V)
114 fvsng 7126 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝐼) = 𝐼)
115113, 113, 114syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐼 → ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝐼) = 𝐼)
116112, 115eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐼 → ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥) = 𝐼)
117 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐼𝑥 = 𝐼)
118116, 117oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐼 → (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥) = (𝐼𝑀𝐼))
119111, 118gsumsn 19731 . . . . . . . . . . 11 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉 ∧ (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ {𝐼} ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))) = (𝐼𝑀𝐼))
12093, 14, 110, 119syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ {𝐼} ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))) = (𝐼𝑀𝐼))
12190, 120eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))) = (𝐼𝑀𝐼))
12287, 121oveq12d 7375 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))) = ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝐼𝑀𝐼)))
123983ad2ant2 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝐼𝑁)
1241003ad2ant3 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
125123, 123, 124, 107syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
126106, 7, 84ringlidm 19992 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝐼𝑀𝐼)) = (𝐼𝑀𝐼))
12783, 125, 126syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝐼𝑀𝐼)) = (𝐼𝑀𝐼))
128122, 127eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))) = (𝐼𝑀𝐼))
129128opeq2d 4837 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩ = ⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, (𝐼𝑀𝐼)⟩)
130129sneqd 4598 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩} = {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, (𝐼𝑀𝐼)⟩})
131 ovex 7390 . . . . . 6 (𝐼𝑀𝐼) ∈ V
132 eqidd 2737 . . . . . . 7 (𝑦 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (𝐼𝑀𝐼) = (𝐼𝑀𝐼))
133132fmptsng 7114 . . . . . 6 (({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V ∧ (𝐼𝑀𝐼) ∈ V) → {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, (𝐼𝑀𝐼)⟩} = (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼)))
13423, 131, 133sylancl 586 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, (𝐼𝑀𝐼)⟩} = (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼)))
135130, 134eqtrd 2776 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩} = (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼)))
13621, 33, 1353eqtrd 2780 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥))))) = (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼)))
137136oveq2d 7373 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥)))))) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼))))
138 ringmnd 19974 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
13982, 138syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Mnd)
1401393ad2ant1 1133 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Mnd)
141106, 132gsumsn 19731 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V ∧ (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼))) = (𝐼𝑀𝐼))
142140, 23, 125, 141syl3anc 1371 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼))) = (𝐼𝑀𝐼))
14310, 137, 1423eqtrd 2780 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐷𝑀) = (𝐼𝑀𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3407  Vcvv 3445  cdif 3907  c0 4282  ifcif 4486  {csn 4586  cop 4592  cmpt 5188   I cid 5530   × cxp 5631  dom cdm 5633  cres 5635  ccom 5637   Fn wfn 6491  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  1c1 11052  Basecbs 17083  .rcmulr 17134   Σg cgsu 17322  Mndcmnd 18556  SymGrpcsymg 19148  pmSgncpsgn 19271  mulGrpcmgp 19896  1rcur 19913  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965  ℤRHomczrh 20900   Mat cmat 21754   maDet cmdat 21933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-word 14403  df-lsw 14451  df-concat 14459  df-s1 14484  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-splice 14638  df-reverse 14647  df-s2 14737  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-efmnd 18679  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-gim 19049  df-cntz 19097  df-oppg 19124  df-symg 19149  df-pmtr 19224  df-psgn 19273  df-cmn 19564  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-rnghom 20146  df-subrg 20220  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zrh 20904  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-mat 21755  df-mdet 21934
This theorem is referenced by:  chpmat1d  22185
  Copyright terms: Public domain W3C validator