MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m1detdiag Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m1detdiag 21969
Description: The determinant of a 1-dimensional matrix equals its (single) entry. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetdiag.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetdiag.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetdiag.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
m1detdiag ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐷𝑀) = (𝐼𝑀𝐼))

Proof of Theorem m1detdiag
Dummy variables 𝑏 𝑝 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetdiag.d . . . 4 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2 mdetdiag.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 mdetdiag.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 eqid 2733 . . . 4 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
5 eqid 2733 . . . 4 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
6 eqid 2733 . . . 4 (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
7 eqid 2733 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
8 eqid 2733 . . . 4 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mdetleib 21959 . . 3 (𝑀𝐵 → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥)))))))
1093ad2ant3 1136 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥)))))))
11 2fveq3 6851 . . . . . . . 8 (𝑁 = {𝐼} → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘{𝐼})))
1211adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘{𝐼})))
13123ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘{𝐼})))
14 simp2r 1201 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝐼𝑉)
15 eqid 2733 . . . . . . . 8 (SymGrp‘{𝐼}) = (SymGrp‘{𝐼})
16 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Base‘(SymGrp‘{𝐼})) = (Base‘(SymGrp‘{𝐼}))
17 eqid 2733 . . . . . . . 8 {𝐼} = {𝐼}
1815, 16, 17symg1bas 19180 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (Base‘(SymGrp‘{𝐼})) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
1914, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘(SymGrp‘{𝐼})) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
2013, 19eqtrd 2773 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
2120mpteq1d 5204 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥))))) = (𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥))))))
22 snex 5392 . . . . . 6 {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V
2322a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V)
24 ovex 7394 . . . . 5 ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))) ∈ V
25 fveq2 6846 . . . . . . . 8 (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}))
26 fveq1 6845 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (𝑝𝑥) = ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥))
2726oveq1d 7376 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → ((𝑝𝑥)𝑀𝑥) = (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))
2827mpteq2dv 5211 . . . . . . . . 9 (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥)) = (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))
2928oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))
3025, 29oveq12d 7379 . . . . . . 7 (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥)))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))))
3130fmptsng 7118 . . . . . 6 (({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V ∧ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))) ∈ V) → {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩} = (𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥))))))
3231eqcomd 2739 . . . . 5 (({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V ∧ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))) ∈ V) → (𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥))))) = {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩})
3323, 24, 32sylancl 587 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥))))) = {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩})
34 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
35 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin}
3634, 4, 35, 6psgnfn 19291 . . . . . . . . . . . 12 (pmSgn‘𝑁) Fn {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin}
3718adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → (Base‘(SymGrp‘{𝐼})) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
3812, 37eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
39383ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
40 rabeq 3420 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} → {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑏 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin})
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑏 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin})
42 difeq1 4079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (𝑏 ∖ I ) = ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ))
4342dmeqd 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → dom (𝑏 ∖ I ) = dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ))
4443eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin))
4544rabsnif 4688 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑏 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin} = if(dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin, {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}, ∅)
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → {𝑏 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin} = if(dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin, {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}, ∅))
47 restidsing 6010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( I ↾ {𝐼}) = ({𝐼} × {𝐼})
48 xpsng 7089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼𝑉𝐼𝑉) → ({𝐼} × {𝐼}) = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
4948anidms 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼𝑉 → ({𝐼} × {𝐼}) = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
5047, 49eqtr2id 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩} = ( I ↾ {𝐼}))
51 fnsng 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼𝑉𝐼𝑉) → {⟨𝐼, 𝐼⟩} Fn {𝐼})
5251anidms 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩} Fn {𝐼})
53 fnnfpeq0 7128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ({⟨𝐼, 𝐼⟩} Fn {𝐼} → (dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) = ∅ ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩} = ( I ↾ {𝐼})))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼𝑉 → (dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) = ∅ ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩} = ( I ↾ {𝐼})))
5550, 54mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼𝑉 → dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) = ∅)
56 0fin 9121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ∅ ∈ Fin
5755, 56eqeltrdi 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼𝑉 → dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin)
5857adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin)
59583ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin)
6059iftrued 4498 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → if(dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin, {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}, ∅) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
6141, 46, 603eqtrrd 2778 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} = {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin})
6261fneq2d 6600 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((pmSgn‘𝑁) Fn {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↔ (pmSgn‘𝑁) Fn {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin}))
6336, 62mpbiri 258 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (pmSgn‘𝑁) Fn {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
6422snid 4626 . . . . . . . . . . 11 {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}
65 fvco2 6942 . . . . . . . . . . 11 (((pmSgn‘𝑁) Fn {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})))
6663, 64, 65sylancl 587 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})))
67 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 = {𝐼} → (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘{𝐼}))
6867adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘{𝐼}))
69683ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘{𝐼}))
7069fveq1d 6848 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = ((pmSgn‘{𝐼})‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}))
71 snidg 4624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V → {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
7222, 71mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
7372, 18eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘{𝐼})))
7473ancli 550 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼𝑉 → (𝐼𝑉 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘{𝐼}))))
7574adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼𝑉 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘{𝐼}))))
76753ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼𝑉 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘{𝐼}))))
77 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (pmSgn‘{𝐼}) = (pmSgn‘{𝐼})
7817, 15, 16, 77psgnsn 19310 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘{𝐼}))) → ((pmSgn‘{𝐼})‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = 1)
7976, 78syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((pmSgn‘{𝐼})‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = 1)
8070, 79eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = 1)
8180fveq2d 6850 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})) = ((ℤRHom‘𝑅)‘1))
82 crngring 19984 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
83823ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
84 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (1r𝑅) = (1r𝑅)
855, 84zrh1 20936 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = (1r𝑅))
8683, 85syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = (1r𝑅))
8766, 81, 863eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = (1r𝑅))
88 simp2l 1200 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑁 = {𝐼})
8988mpteq1d 5204 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝐼} ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))
9089oveq2d 7377 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ {𝐼} ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))
918ringmgp 19978 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
9282, 91syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
93923ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
94 snidg 4624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼𝑉𝐼 ∈ {𝐼})
9594adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → 𝐼 ∈ {𝐼})
96 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 = {𝐼} → (𝐼𝑁𝐼 ∈ {𝐼}))
9796adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼𝑁𝐼 ∈ {𝐼}))
9895, 97mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → 𝐼𝑁)
993eleq2i 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
10099biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
101 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → 𝐼𝑁)
102 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
103101, 101, 1023jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑁𝐼𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
10498, 100, 103syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼𝑁𝐼𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
1051043adant1 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼𝑁𝐼𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
106 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1072, 106matecl 21797 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑁𝐼𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
108105, 107syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
1098, 106mgpbas 19910 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
110108, 109eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
111 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
112 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐼 → ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥) = ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝐼))
113 eqvisset 3464 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝐼𝐼 ∈ V)
114 fvsng 7130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝐼) = 𝐼)
115113, 113, 114syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐼 → ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝐼) = 𝐼)
116112, 115eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐼 → ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥) = 𝐼)
117 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐼𝑥 = 𝐼)
118116, 117oveq12d 7379 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐼 → (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥) = (𝐼𝑀𝐼))
119111, 118gsumsn 19739 . . . . . . . . . . 11 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉 ∧ (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ {𝐼} ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))) = (𝐼𝑀𝐼))
12093, 14, 110, 119syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ {𝐼} ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))) = (𝐼𝑀𝐼))
12190, 120eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))) = (𝐼𝑀𝐼))
12287, 121oveq12d 7379 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))) = ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝐼𝑀𝐼)))
123983ad2ant2 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝐼𝑁)
1241003ad2ant3 1136 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
125123, 123, 124, 107syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
126106, 7, 84ringlidm 20000 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝐼𝑀𝐼)) = (𝐼𝑀𝐼))
12783, 125, 126syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝐼𝑀𝐼)) = (𝐼𝑀𝐼))
128122, 127eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))) = (𝐼𝑀𝐼))
129128opeq2d 4841 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩ = ⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, (𝐼𝑀𝐼)⟩)
130129sneqd 4602 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩} = {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, (𝐼𝑀𝐼)⟩})
131 ovex 7394 . . . . . 6 (𝐼𝑀𝐼) ∈ V
132 eqidd 2734 . . . . . . 7 (𝑦 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (𝐼𝑀𝐼) = (𝐼𝑀𝐼))
133132fmptsng 7118 . . . . . 6 (({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V ∧ (𝐼𝑀𝐼) ∈ V) → {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, (𝐼𝑀𝐼)⟩} = (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼)))
13423, 131, 133sylancl 587 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, (𝐼𝑀𝐼)⟩} = (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼)))
135130, 134eqtrd 2773 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩} = (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼)))
13621, 33, 1353eqtrd 2777 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥))))) = (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼)))
137136oveq2d 7377 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑀𝑥)))))) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼))))
138 ringmnd 19982 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
13982, 138syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Mnd)
1401393ad2ant1 1134 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Mnd)
141106, 132gsumsn 19739 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V ∧ (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼))) = (𝐼𝑀𝐼))
142140, 23, 125, 141syl3anc 1372 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼))) = (𝐼𝑀𝐼))
14310, 137, 1423eqtrd 2777 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐷𝑀) = (𝐼𝑀𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3447  cdif 3911  c0 4286  ifcif 4490  {csn 4590  cop 4596  cmpt 5192   I cid 5534   × cxp 5635  dom cdm 5637  cres 5639  ccom 5641   Fn wfn 6495  cfv 6500  (class class class)co 7361  Fincfn 8889  1c1 11060  Basecbs 17091  .rcmulr 17142   Σg cgsu 17330  Mndcmnd 18564  SymGrpcsymg 19156  pmSgncpsgn 19279  mulGrpcmgp 19904  1rcur 19921  Ringcrg 19972  CRingccrg 19973  ℤRHomczrh 20923   Mat cmat 21777   maDet cmdat 21956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-word 14412  df-lsw 14460  df-concat 14468  df-s1 14493  df-substr 14538  df-pfx 14568  df-splice 14647  df-reverse 14656  df-s2 14746  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-efmnd 18687  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-gim 19057  df-cntz 19105  df-oppg 19132  df-symg 19157  df-pmtr 19232  df-psgn 19281  df-cmn 19572  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-rnghom 20156  df-subrg 20262  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-cnfld 20820  df-zring 20893  df-zrh 20927  df-dsmm 21161  df-frlm 21176  df-mat 21778  df-mdet 21957
This theorem is referenced by:  chpmat1d  22208
  Copyright terms: Public domain W3C validator