Theorem m1detdiag 22604

Description: The determinant of a 1-dimensional matrix equals its (single) entry. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetdiag.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetdiag.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetdiag.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
m1detdiag	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑀) = (𝐼𝑀𝐼))

Proof of Theorem m1detdiag

Dummy variables 𝑏 𝑝 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetdiag.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2		mdetdiag.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		mdetdiag.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
5		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
6		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
7		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mdetleib 22594	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)))))))
10	9	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)))))))
11		2fveq3 6910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = {𝐼} → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘{𝐼})))
12	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘{𝐼})))
13	12	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘{𝐼})))
14		simp2r 1200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑉)
15		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (SymGrp‘{𝐼}) = (SymGrp‘{𝐼})
16		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(SymGrp‘{𝐼})) = (Base‘(SymGrp‘{𝐼}))
17		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐼} = {𝐼}
18	15, 16, 17	symg1bas 19409	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (Base‘(SymGrp‘{𝐼})) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
19	14, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Base‘(SymGrp‘{𝐼})) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
20	13, 19	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
21	20	mpteq1d 5236	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥))))) = (𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥))))))
22		snex 5435	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V)
24		ovex 7465	. . . . 5 ⊢ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))) ∈ V
25		fveq2 6905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}))
26		fveq1 6904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (𝑝‘𝑥) = ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥))
27	26	oveq1d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥) = (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))
28	27	mpteq2dv 5243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))
29	28	oveq2d 7448	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))
30	25, 29	oveq12d 7450	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))))
31	30	fmptsng 7189	. . . . . 6 ⊢ (({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V ∧ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))) ∈ V) → {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩} = (𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥))))))
32	31	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ (({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V ∧ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))) ∈ V) → (𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥))))) = {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩})
33	23, 24, 32	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥))))) = {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩})
34		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
35		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin}
36	34, 4, 35, 6	psgnfn 19520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (pmSgn‘𝑁) Fn {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin}
37	18	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (Base‘(SymGrp‘{𝐼})) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
38	12, 37	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
39	38	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
40		rabeq 3450	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} → {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑏 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin})
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑏 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin})
42		difeq1 4118	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (𝑏 ∖ I ) = ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ))
43	42	dmeqd 5915	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → dom (𝑏 ∖ I ) = dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ))
44	43	eleq1d 2825	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin))
45	44	rabsnif 4722	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑏 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin} = if(dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin, {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}, ∅)
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → {𝑏 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin} = if(dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin, {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}, ∅))
47		restidsing 6070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ( I ↾ {𝐼}) = ({𝐼} × {𝐼})
48		xpsng 7158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ({𝐼} × {𝐼}) = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
49	48	anidms 566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ({𝐼} × {𝐼}) = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
50	47, 49	eqtr2id 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩} = ( I ↾ {𝐼}))
51		fnsng 6617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → {⟨𝐼, 𝐼⟩} Fn {𝐼})
52	51	anidms 566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩} Fn {𝐼})
53		fnnfpeq0 7199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({⟨𝐼, 𝐼⟩} Fn {𝐼} → (dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) = ∅ ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩} = ( I ↾ {𝐼})))
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) = ∅ ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩} = ( I ↾ {𝐼})))
55	50, 54	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) = ∅)
56		0fi 9083	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ∅ ∈ Fin
57	55, 56	eqeltrdi 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin)
58	57	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin)
59	58	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin)
60	59	iftrued 4532	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → if(dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin, {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}, ∅) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
61	41, 46, 60	3eqtrrd 2781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} = {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin})
62	61	fneq2d 6661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((pmSgn‘𝑁) Fn {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↔ (pmSgn‘𝑁) Fn {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin}))
63	36, 62	mpbiri 258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (pmSgn‘𝑁) Fn {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
64	22	snid 4661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}
65		fvco2 7005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((pmSgn‘𝑁) Fn {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})))
66	63, 64, 65	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})))
67		fveq2 6905	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = {𝐼} → (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘{𝐼}))
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘{𝐼}))
69	68	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘{𝐼}))
70	69	fveq1d 6907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = ((pmSgn‘{𝐼})‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}))
71		snidg 4659	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V → {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
72	22, 71	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
73	72, 18	eleqtrrd 2843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘{𝐼})))
74	73	ancli 548	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘{𝐼}))))
75	74	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘{𝐼}))))
76	75	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘{𝐼}))))
77		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (pmSgn‘{𝐼}) = (pmSgn‘{𝐼})
78	17, 15, 16, 77	psgnsn 19539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘{𝐼}))) → ((pmSgn‘{𝐼})‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = 1)
79	76, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((pmSgn‘{𝐼})‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = 1)
80	70, 79	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = 1)
81	80	fveq2d 6909	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})) = ((ℤRHom‘𝑅)‘1))
82		crngring 20243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
83	82	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
84		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
85	5, 84	zrh1 21524	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = (1r‘𝑅))
86	83, 85	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = (1r‘𝑅))
87	66, 81, 86	3eqtrd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = (1r‘𝑅))
88		simp2l 1199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑁 = {𝐼})
89	88	mpteq1d 5236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝐼} ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))
90	89	oveq2d 7448	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ {𝐼} ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))
91	8	ringmgp 20237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
92	82, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
93	92	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
94		snidg 4659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ {𝐼})
95	94	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ {𝐼})
96		eleq2 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 = {𝐼} → (𝐼 ∈ 𝑁 ↔ 𝐼 ∈ {𝐼}))
97	96	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 ∈ 𝑁 ↔ 𝐼 ∈ {𝐼}))
98	95, 97	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑁)
99	3	eleq2i 2832	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 ↔ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
100	99	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
101		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → 𝐼 ∈ 𝑁)
102		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
103	101, 101, 102	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
104	98, 100, 103	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
105	104	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
106		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
107	2, 106	matecl 22432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
108	105, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
109	8, 106	mgpbas 20143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
110	108, 109	eleqtrdi 2850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
111		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
112		fveq2 6905	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥) = ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝐼))
113		eqvisset 3499	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → 𝐼 ∈ V)
114		fvsng 7201	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝐼) = 𝐼)
115	113, 113, 114	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝐼) = 𝐼)
116	112, 115	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥) = 𝐼)
117		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → 𝑥 = 𝐼)
118	116, 117	oveq12d 7450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥) = (𝐼𝑀𝐼))
119	111, 118	gsumsn 19973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ {𝐼} ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))) = (𝐼𝑀𝐼))
120	93, 14, 110, 119	syl3anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ {𝐼} ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))) = (𝐼𝑀𝐼))
121	90, 120	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))) = (𝐼𝑀𝐼))
122	87, 121	oveq12d 7450	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝐼𝑀𝐼)))
123	98	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑁)
124	100	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
125	123, 123, 124, 107	syl3anc 1372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
126	106, 7, 84	ringlidm 20267	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝐼𝑀𝐼)) = (𝐼𝑀𝐼))
127	83, 125, 126	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝐼𝑀𝐼)) = (𝐼𝑀𝐼))
128	122, 127	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))) = (𝐼𝑀𝐼))
129	128	opeq2d 4879	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩ = ⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, (𝐼𝑀𝐼)⟩)
130	129	sneqd 4637	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩} = {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, (𝐼𝑀𝐼)⟩})
131		ovex 7465	. . . . . 6 ⊢ (𝐼𝑀𝐼) ∈ V
132		eqidd 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (𝐼𝑀𝐼) = (𝐼𝑀𝐼))
133	132	fmptsng 7189	. . . . . 6 ⊢ (({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V ∧ (𝐼𝑀𝐼) ∈ V) → {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, (𝐼𝑀𝐼)⟩} = (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼)))
134	23, 131, 133	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, (𝐼𝑀𝐼)⟩} = (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼)))
135	130, 134	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩} = (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼)))
136	21, 33, 135	3eqtrd 2780	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥))))) = (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼)))
137	136	oveq2d 7448	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)))))) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼))))
138		ringmnd 20241	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
139	82, 138	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Mnd)
140	139	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Mnd)
141	106, 132	gsumsn 19973	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V ∧ (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼))) = (𝐼𝑀𝐼))
142	140, 23, 125, 141	syl3anc 1372	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼))) = (𝐼𝑀𝐼))
143	10, 137, 142	3eqtrd 2780	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑀) = (𝐼𝑀𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {crab 3435  Vcvv 3479   ∖ cdif 3947  ∅c0 4332  ifcif 4524  {csn 4625  ⟨cop 4631   ↦ cmpt 5224   I cid 5576   × cxp 5682  dom cdm 5684   ↾ cres 5686   ∘ ccom 5688   Fn wfn 6555  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Fincfn 8986  1c1 11157  Basecbs 17248  ._rcmulr 17299   Σ_g cgsu 17486  Mndcmnd 18748  SymGrpcsymg 19387  pmSgncpsgn 19508  mulGrpcmgp 20138  1_rcur 20179  Ringcrg 20231  CRingccrg 20232  ℤRHomczrh 21511   Mat cmat 22412   maDet cmdat 22591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-addf 11235  ax-mulf 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1511  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-word 14554  df-lsw 14602  df-concat 14610  df-s1 14635  df-substr 14680  df-pfx 14710  df-splice 14789  df-reverse 14798  df-s2 14888  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-efmnd 18883  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-ghm 19232  df-gim 19278  df-cntz 19336  df-oppg 19365  df-symg 19388  df-pmtr 19461  df-psgn 19510  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-cring 20234  df-rhm 20473  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-cnfld 21366  df-zring 21459  df-zrh 21515  df-dsmm 21753  df-frlm 21768  df-mat 22413  df-mdet 22592

This theorem is referenced by:  chpmat1d  22843