Theorem m1detdiag 22532

Description: The determinant of a 1-dimensional matrix equals its (single) entry. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetdiag.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetdiag.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetdiag.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
m1detdiag	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑀) = (𝐼𝑀𝐼))

Proof of Theorem m1detdiag

Dummy variables 𝑏 𝑝 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetdiag.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2		mdetdiag.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		mdetdiag.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
5		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
6		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
7		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mdetleib 22522	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)))))))
10	9	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)))))))
11		2fveq3 6836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = {𝐼} → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘{𝐼})))
12	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘{𝐼})))
13	12	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘{𝐼})))
14		simp2r 1201	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑉)
15		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (SymGrp‘{𝐼}) = (SymGrp‘{𝐼})
16		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(SymGrp‘{𝐼})) = (Base‘(SymGrp‘{𝐼}))
17		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐼} = {𝐼}
18	15, 16, 17	symg1bas 19311	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (Base‘(SymGrp‘{𝐼})) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
19	14, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Base‘(SymGrp‘{𝐼})) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
20	13, 19	eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
21	20	mpteq1d 5185	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥))))) = (𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥))))))
22		snex 5378	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V)
24		ovex 7388	. . . . 5 ⊢ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))) ∈ V
25		fveq2 6831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}))
26		fveq1 6830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (𝑝‘𝑥) = ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥))
27	26	oveq1d 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥) = (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))
28	27	mpteq2dv 5189	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))
29	28	oveq2d 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))
30	25, 29	oveq12d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))))
31	30	fmptsng 7111	. . . . . 6 ⊢ (({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V ∧ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))) ∈ V) → {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩} = (𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥))))))
32	31	eqcomd 2739	. . . . 5 ⊢ (({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V ∧ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))) ∈ V) → (𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥))))) = {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩})
33	23, 24, 32	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥))))) = {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩})
34		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
35		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin}
36	34, 4, 35, 6	psgnfn 19421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (pmSgn‘𝑁) Fn {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin}
37	18	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (Base‘(SymGrp‘{𝐼})) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
38	12, 37	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
39	38	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
40		rabeq 3410	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} → {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑏 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin})
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑏 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin})
42		difeq1 4068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (𝑏 ∖ I ) = ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ))
43	42	dmeqd 5851	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → dom (𝑏 ∖ I ) = dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ))
44	43	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin))
45	44	rabsnif 4677	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑏 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin} = if(dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin, {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}, ∅)
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → {𝑏 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin} = if(dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin, {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}, ∅))
47		restidsing 6009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ( I ↾ {𝐼}) = ({𝐼} × {𝐼})
48		xpsng 7081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ({𝐼} × {𝐼}) = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
49	48	anidms 566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ({𝐼} × {𝐼}) = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
50	47, 49	eqtr2id 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩} = ( I ↾ {𝐼}))
51		fnsng 6541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → {⟨𝐼, 𝐼⟩} Fn {𝐼})
52	51	anidms 566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩} Fn {𝐼})
53		fnnfpeq0 7121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({⟨𝐼, 𝐼⟩} Fn {𝐼} → (dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) = ∅ ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩} = ( I ↾ {𝐼})))
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) = ∅ ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩} = ( I ↾ {𝐼})))
55	50, 54	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) = ∅)
56		0fi 8975	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ∅ ∈ Fin
57	55, 56	eqeltrdi 2841	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin)
58	57	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin)
59	58	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin)
60	59	iftrued 4484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → if(dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin, {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}, ∅) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
61	41, 46, 60	3eqtrrd 2773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} = {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin})
62	61	fneq2d 6583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((pmSgn‘𝑁) Fn {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↔ (pmSgn‘𝑁) Fn {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin}))
63	36, 62	mpbiri 258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (pmSgn‘𝑁) Fn {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
64	22	snid 4616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}
65		fvco2 6928	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((pmSgn‘𝑁) Fn {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})))
66	63, 64, 65	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})))
67		fveq2 6831	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = {𝐼} → (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘{𝐼}))
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘{𝐼}))
69	68	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘{𝐼}))
70	69	fveq1d 6833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = ((pmSgn‘{𝐼})‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}))
71		snidg 4614	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V → {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
72	22, 71	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
73	72, 18	eleqtrrd 2836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘{𝐼})))
74	73	ancli 548	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘{𝐼}))))
75	74	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘{𝐼}))))
76	75	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘{𝐼}))))
77		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (pmSgn‘{𝐼}) = (pmSgn‘{𝐼})
78	17, 15, 16, 77	psgnsn 19440	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘{𝐼}))) → ((pmSgn‘{𝐼})‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = 1)
79	76, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((pmSgn‘{𝐼})‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = 1)
80	70, 79	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = 1)
81	80	fveq2d 6835	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})) = ((ℤRHom‘𝑅)‘1))
82		crngring 20171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
83	82	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
84		eqid 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
85	5, 84	zrh1 21458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = (1r‘𝑅))
86	83, 85	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = (1r‘𝑅))
87	66, 81, 86	3eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = (1r‘𝑅))
88		simp2l 1200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑁 = {𝐼})
89	88	mpteq1d 5185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝐼} ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))
90	89	oveq2d 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ {𝐼} ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))
91	8	ringmgp 20165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
92	82, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
93	92	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
94		snidg 4614	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ {𝐼})
95	94	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ {𝐼})
96		eleq2 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 = {𝐼} → (𝐼 ∈ 𝑁 ↔ 𝐼 ∈ {𝐼}))
97	96	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 ∈ 𝑁 ↔ 𝐼 ∈ {𝐼}))
98	95, 97	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑁)
99	3	eleq2i 2825	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 ↔ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
100	99	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
101		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → 𝐼 ∈ 𝑁)
102		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
103	101, 101, 102	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
104	98, 100, 103	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
105	104	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
106		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
107	2, 106	matecl 22360	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
108	105, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
109	8, 106	mgpbas 20071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
110	108, 109	eleqtrdi 2843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
111		eqid 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
112		fveq2 6831	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥) = ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝐼))
113		eqvisset 3457	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → 𝐼 ∈ V)
114		fvsng 7123	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝐼) = 𝐼)
115	113, 113, 114	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝐼) = 𝐼)
116	112, 115	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥) = 𝐼)
117		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → 𝑥 = 𝐼)
118	116, 117	oveq12d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥) = (𝐼𝑀𝐼))
119	111, 118	gsumsn 19874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ {𝐼} ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))) = (𝐼𝑀𝐼))
120	93, 14, 110, 119	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ {𝐼} ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))) = (𝐼𝑀𝐼))
121	90, 120	eqtrd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))) = (𝐼𝑀𝐼))
122	87, 121	oveq12d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝐼𝑀𝐼)))
123	98	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑁)
124	100	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
125	123, 123, 124, 107	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
126	106, 7, 84	ringlidm 20195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝐼𝑀𝐼)) = (𝐼𝑀𝐼))
127	83, 125, 126	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝐼𝑀𝐼)) = (𝐼𝑀𝐼))
128	122, 127	eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))) = (𝐼𝑀𝐼))
129	128	opeq2d 4833	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩ = ⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, (𝐼𝑀𝐼)⟩)
130	129	sneqd 4589	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩} = {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, (𝐼𝑀𝐼)⟩})
131		ovex 7388	. . . . . 6 ⊢ (𝐼𝑀𝐼) ∈ V
132		eqidd 2734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (𝐼𝑀𝐼) = (𝐼𝑀𝐼))
133	132	fmptsng 7111	. . . . . 6 ⊢ (({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V ∧ (𝐼𝑀𝐼) ∈ V) → {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, (𝐼𝑀𝐼)⟩} = (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼)))
134	23, 131, 133	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, (𝐼𝑀𝐼)⟩} = (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼)))
135	130, 134	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩} = (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼)))
136	21, 33, 135	3eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥))))) = (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼)))
137	136	oveq2d 7371	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)))))) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼))))
138		ringmnd 20169	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
139	82, 138	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Mnd)
140	139	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Mnd)
141	106, 132	gsumsn 19874	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V ∧ (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼))) = (𝐼𝑀𝐼))
142	140, 23, 125, 141	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼))) = (𝐼𝑀𝐼))
143	10, 137, 142	3eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑀) = (𝐼𝑀𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3396  Vcvv 3437   ∖ cdif 3895  ∅c0 4282  ifcif 4476  {csn 4577  ⟨cop 4583   ↦ cmpt 5176   I cid 5515   × cxp 5619  dom cdm 5621   ↾ cres 5623   ∘ ccom 5625   Fn wfn 6484  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Fincfn 8879  1c1 11018  Basecbs 17127  ._rcmulr 17169   Σ_g cgsu 17351  Mndcmnd 18650  SymGrpcsymg 19289  pmSgncpsgn 19409  mulGrpcmgp 20066  1_rcur 20107  Ringcrg 20159  CRingccrg 20160  ℤRHomczrh 21445   Mat cmat 22342   maDet cmdat 22519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-addf 11096  ax-mulf 11097

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1513  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-ot 4586  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9257  df-sup 9337  df-oi 9407  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-xnn0 12466  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-rp 12897  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-seq 13916  df-exp 13976  df-hash 14245  df-word 14428  df-lsw 14477  df-concat 14485  df-s1 14511  df-substr 14556  df-pfx 14586  df-splice 14664  df-reverse 14673  df-s2 14762  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-starv 17183  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-unif 17191  df-hom 17192  df-cco 17193  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-prds 17358  df-pws 17360  df-mre 17496  df-mrc 17497  df-acs 17499  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-mhm 18699  df-submnd 18700  df-efmnd 18785  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-mulg 18989  df-subg 19044  df-ghm 19133  df-gim 19179  df-cntz 19237  df-oppg 19266  df-symg 19290  df-pmtr 19362  df-psgn 19411  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20067  df-rng 20079  df-ur 20108  df-ring 20161  df-cring 20162  df-rhm 20399  df-subrng 20470  df-subrg 20494  df-sra 21116  df-rgmod 21117  df-cnfld 21301  df-zring 21393  df-zrh 21449  df-dsmm 21678  df-frlm 21693  df-mat 22343  df-mdet 22520

This theorem is referenced by:  chpmat1d  22771