Theorem m1detdiag 22804

Description: The determinant of a 1-dimensional matrix equals its (single) entry. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetdiag.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetdiag.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetdiag.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
m1detdiag	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑀) = (𝐼𝑀𝐼))

Proof of Theorem m1detdiag

Dummy variables 𝑏 𝑝 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetdiag.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2		mdetdiag.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		mdetdiag.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
5		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
6		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
7		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mdetleib 22794	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)))))))
10	9	3ad2ant3 1153	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)))))))
11		2fveq3 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = {𝐼} → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘{𝐼})))
12	11	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘{𝐼})))
13	12	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘{𝐼})))
14		simp2r 1219	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑉)
15		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (SymGrp‘{𝐼}) = (SymGrp‘{𝐼})
16		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(SymGrp‘{𝐼})) = (Base‘(SymGrp‘{𝐼}))
17		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐼} = {𝐼}
18	15, 16, 17	symg1bas 19505	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (Base‘(SymGrp‘{𝐼})) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
19	14, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Base‘(SymGrp‘{𝐼})) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
20	13, 19	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
21	20	mpteq1d 5203	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥))))) = (𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥))))))
22		snex 5412	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V)
24		ovex 7452	. . . . 5 ⊢ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))) ∈ V
25		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}))
26		fveq1 6884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (𝑝‘𝑥) = ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥))
27	26	oveq1d 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥) = (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))
28	27	mpteq2dv 5207	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))
29	28	oveq2d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))
30	25, 29	oveq12d 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))))
31	30	fmptsng 7172	. . . . . 6 ⊢ (({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V ∧ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))) ∈ V) → {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩} = (𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥))))))
32	31	eqcomd 2771	. . . . 5 ⊢ (({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V ∧ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))) ∈ V) → (𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥))))) = {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩})
33	23, 24, 32	sylancl 598	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥))))) = {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩})
34		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
35		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin}
36	34, 4, 35, 6	psgnfn 19615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (pmSgn‘𝑁) Fn {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin}
37	18	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (Base‘(SymGrp‘{𝐼})) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
38	12, 37	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
39	38	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
40		rabeq 3432	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} → {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑏 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin})
41	39, 40	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑏 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin})
42		difeq1 4074	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (𝑏 ∖ I ) = ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ))
43	42	dmeqd 5897	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → dom (𝑏 ∖ I ) = dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ))
44	43	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin))
45	44	rabsnif 4691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑏 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin} = if(dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin, {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}, ∅)
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → {𝑏 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin} = if(dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin, {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}, ∅))
47		restidsing 6057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ( I ↾ {𝐼}) = ({𝐼} × {𝐼})
48		xpsng 7139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ({𝐼} × {𝐼}) = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
49	48	anidms 577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ({𝐼} × {𝐼}) = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
50	47, 49	eqtr2id 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩} = ( I ↾ {𝐼}))
51		fnsng 6592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → {⟨𝐼, 𝐼⟩} Fn {𝐼})
52	51	anidms 577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩} Fn {𝐼})
53		fnnfpeq0 7182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({⟨𝐼, 𝐼⟩} Fn {𝐼} → (dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) = ∅ ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩} = ( I ↾ {𝐼})))
54	52, 53	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) = ∅ ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩} = ( I ↾ {𝐼})))
55	50, 54	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) = ∅)
56		0fi 9046	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ∅ ∈ Fin
57	55, 56	eqeltrdi 2873	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin)
58	57	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin)
59	58	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin)
60	59	iftrued 4497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → if(dom ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∖ I ) ∈ Fin, {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}, ∅) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
61	41, 46, 60	3eqtrrd 2805	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} = {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin})
62	61	fneq2d 6633	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((pmSgn‘𝑁) Fn {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↔ (pmSgn‘𝑁) Fn {𝑏 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∣ dom (𝑏 ∖ I ) ∈ Fin}))
63	36, 62	mpbiri 261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (pmSgn‘𝑁) Fn {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
64	22	snid 4630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}
65		fvco2 6982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((pmSgn‘𝑁) Fn {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})))
66	63, 64, 65	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})))
67		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = {𝐼} → (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘{𝐼}))
68	67	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘{𝐼}))
69	68	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘{𝐼}))
70	69	fveq1d 6887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = ((pmSgn‘{𝐼})‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}))
71		snidg 4628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V → {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
72	22, 71	mp1i 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
73	72, 18	eleqtrrd 2868	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘{𝐼})))
74	73	ancli 558	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘{𝐼}))))
75	74	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘{𝐼}))))
76	75	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘{𝐼}))))
77		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (pmSgn‘{𝐼}) = (pmSgn‘{𝐼})
78	17, 15, 16, 77	psgnsn 19634	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘{𝐼}))) → ((pmSgn‘{𝐼})‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = 1)
79	76, 78	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((pmSgn‘{𝐼})‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = 1)
80	70, 79	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = 1)
81	80	fveq2d 6889	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})) = ((ℤRHom‘𝑅)‘1))
82		crngring 20371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
83	82	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
84		eqid 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
85	5, 84	zrh1 21712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = (1r‘𝑅))
86	83, 85	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = (1r‘𝑅))
87	66, 81, 86	3eqtrd 2804	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩}) = (1r‘𝑅))
88		simp2l 1218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑁 = {𝐼})
89	88	mpteq1d 5203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝐼} ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))
90	89	oveq2d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ {𝐼} ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))
91	8	ringmgp 20365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
92	82, 91	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
93	92	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
94		snidg 4628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ {𝐼})
95	94	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ {𝐼})
96		eleq2 2854	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 = {𝐼} → (𝐼 ∈ 𝑁 ↔ 𝐼 ∈ {𝐼}))
97	96	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 ∈ 𝑁 ↔ 𝐼 ∈ {𝐼}))
98	95, 97	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑁)
99	3	eleq2i 2857	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 ↔ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
100	99	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
101		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → 𝐼 ∈ 𝑁)
102		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
103	101, 101, 102	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
104	98, 100, 103	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
105	104	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
106		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
107	2, 106	matecl 22632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
108	105, 107	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
109	8, 106	mgpbas 20265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
110	108, 109	eleqtrdi 2875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
111		eqid 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
112		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥) = ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝐼))
113		eqvisset 3477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → 𝐼 ∈ V)
114		fvsng 7184	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝐼) = 𝐼)
115	113, 113, 114	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝐼) = 𝐼)
116	112, 115	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → ({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥) = 𝐼)
117		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → 𝑥 = 𝐼)
118	116, 117	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥) = (𝐼𝑀𝐼))
119	111, 118	gsumsn 20068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ {𝐼} ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))) = (𝐼𝑀𝐼))
120	93, 14, 110, 119	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ {𝐼} ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))) = (𝐼𝑀𝐼))
121	90, 120	eqtrd 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))) = (𝐼𝑀𝐼))
122	87, 121	oveq12d 7437	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝐼𝑀𝐼)))
123	98	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑁)
124	100	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
125	123, 123, 124, 107	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
126	106, 7, 84	ringlidm 20397	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝐼𝑀𝐼)) = (𝐼𝑀𝐼))
127	83, 125, 126	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝐼𝑀𝐼)) = (𝐼𝑀𝐼))
128	122, 127	eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥)))) = (𝐼𝑀𝐼))
129	128	opeq2d 4847	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩ = ⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, (𝐼𝑀𝐼)⟩)
130	129	sneqd 4603	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩} = {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, (𝐼𝑀𝐼)⟩})
131		ovex 7452	. . . . . 6 ⊢ (𝐼𝑀𝐼) ∈ V
132		eqidd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (𝐼𝑀𝐼) = (𝐼𝑀𝐼))
133	132	fmptsng 7172	. . . . . 6 ⊢ (({⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V ∧ (𝐼𝑀𝐼) ∈ V) → {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, (𝐼𝑀𝐼)⟩} = (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼)))
134	23, 131, 133	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, (𝐼𝑀𝐼)⟩} = (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼)))
135	130, 134	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → {⟨{⟨𝐼, 𝐼⟩}, ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘{⟨𝐼, 𝐼⟩})(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨𝐼, 𝐼⟩}‘𝑥)𝑀𝑥))))⟩} = (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼)))
136	21, 33, 135	3eqtrd 2804	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥))))) = (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼)))
137	136	oveq2d 7435	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)))))) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼))))
138		ringmnd 20369	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
139	82, 138	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Mnd)
140	139	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Mnd)
141	106, 132	gsumsn 20068	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩} ∈ V ∧ (𝐼𝑀𝐼) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼))) = (𝐼𝑀𝐼))
142	140, 23, 125, 141	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↦ (𝐼𝑀𝐼))) = (𝐼𝑀𝐼))
143	10, 137, 142	3eqtrd 2804	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑀) = (𝐼𝑀𝐼))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3418  Vcvv 3457   ∖ cdif 3903  ∅c0 4286  ifcif 4489  {csn 4591  ⟨cop 4597   ↦ cmpt 5194   I cid 5557   × cxp 5661  dom cdm 5663   ↾ cres 5665   ∘ ccom 5667   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Fincfn 8949  1c1 11116  Basecbs 17291  ._rcmulr 17333   Σ_g cgsu 17515  Mndcmnd 18824  SymGrpcsymg 19483  pmSgncpsgn 19603  mulGrpcmgp 20260  1_rcur 20307  Ringcrg 20359  CRingccrg 20360  ℤRHomczrh 21699   Mat cmat 22614   maDet cmdat 22791

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-addf 11194  ax-mulf 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-sup 9409  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-xnn0 12593  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-rp 13033  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-seq 14056  df-exp 14116  df-hash 14385  df-word 14569  df-lsw 14618  df-concat 14626  df-s1 14653  df-substr 14699  df-pfx 14731  df-splice 14809  df-reverse 14818  df-s2 14909  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-starv 17347  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-ip 17350  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-unif 17355  df-hom 17356  df-cco 17357  df-0g 17516  df-gsum 17517  df-prds 17522  df-pws 17524  df-mre 17660  df-mrc 17661  df-acs 17663  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-mhm 18878  df-submnd 18879  df-efmnd 18965  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-mulg 19178  df-subg 19233  df-ghm 19328  df-gim 19373  df-cntz 19431  df-oppg 19460  df-symg 19484  df-pmtr 19556  df-psgn 19605  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-rng 20275  df-ur 20308  df-ring 20361  df-cring 20362  df-rhm 20600  df-subrng 20695  df-subrg 20719  df-sra 21344  df-rgmod 21345  df-cnfld 21573  df-zring 21647  df-zrh 21703  df-dsmm 21932  df-frlm 21947  df-mat 22615  df-mdet 22792

This theorem is used by:  chpmat1d  23043