Theorem funpr 6545

Description: A function with a domain of two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
funpr.1	⊢ 𝐴 ∈ V
funpr.2	⊢ 𝐵 ∈ V
funpr.3	⊢ 𝐶 ∈ V
funpr.4	⊢ 𝐷 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
funpr	⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})

Proof of Theorem funpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funpr.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		funpr.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 472	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
4		funpr.3	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
5		funpr.4	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ V
6	4, 5	pm3.2i 472	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V)
7		funprg 6543	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})
8	3, 6, 7	mp3an12 1460	1 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  Vcvv 3433  {cpr 4560  ⟨cop 4564  Fun wfun 6483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-sb 2075  df-mo 2545  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5076  df-opab 5138  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-fun 6491

This theorem is referenced by:  funtp  6546  fpr  7101  fnprb  7156