Theorem funpr 6609

Description: A function with a domain of two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
funpr.1	⊢ 𝐴 ∈ V
funpr.2	⊢ 𝐵 ∈ V
funpr.3	⊢ 𝐶 ∈ V
funpr.4	⊢ 𝐷 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
funpr	⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})

Proof of Theorem funpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funpr.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		funpr.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 470	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
4		funpr.3	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
5		funpr.4	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ V
6	4, 5	pm3.2i 470	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V)
7		funprg 6607	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})
8	3, 6, 7	mp3an12 1448	1 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  Vcvv 3471  {cpr 4631  ⟨cop 4635  Fun wfun 6542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-mo 2530  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-fun 6550

This theorem is referenced by:  funtp  6610  fpr  7163  fnprb  7220  1sdomOLD  9273