Theorem funtp 6573

Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
funtp.1	⊢ 𝐴 ∈ V
funtp.2	⊢ 𝐵 ∈ V
funtp.3	⊢ 𝐶 ∈ V
funtp.4	⊢ 𝐷 ∈ V
funtp.5	⊢ 𝐸 ∈ V
funtp.6	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
funtp	⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → Fun {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩})

Proof of Theorem funtp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funtp.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		funtp.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		funtp.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ V
4		funtp.5	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 ∈ V
5	1, 2, 3, 4	funpr 6572	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → Fun {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩})
6		funtp.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ V
7		funtp.6	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ∈ V
8	6, 7	funsn 6569	. . . . 5 ⊢ Fun {⟨𝐶, 𝐹⟩}
9	5, 8	jctir 520	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → (Fun {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∧ Fun {⟨𝐶, 𝐹⟩}))
10	3, 4	dmprop 6190	. . . . . . 7 ⊢ dom {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} = {𝐴, 𝐵}
11		df-pr 4592	. . . . . . 7 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
12	10, 11	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ dom {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
13	7	dmsnop 6189	. . . . . 6 ⊢ dom {⟨𝐶, 𝐹⟩} = {𝐶}
14	12, 13	ineq12i 4181	. . . . 5 ⊢ (dom {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∩ dom {⟨𝐶, 𝐹⟩}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶})
15		disjsn2 4676	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐶 → ({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅)
16		disjsn2 4676	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 → ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
17	15, 16	anim12i 613	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅))
18		undisj1 4425	. . . . . 6 ⊢ ((({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅) ↔ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = ∅)
19	17, 18	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = ∅)
20	14, 19	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (dom {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∩ dom {⟨𝐶, 𝐹⟩}) = ∅)
21		funun 6562	. . . 4 ⊢ (((Fun {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∧ Fun {⟨𝐶, 𝐹⟩}) ∧ (dom {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∩ dom {⟨𝐶, 𝐹⟩}) = ∅) → Fun ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩}))
22	9, 20, 21	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → Fun ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩}))
23	22	3impb 1114	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → Fun ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩}))
24		df-tp 4594	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩} = ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩})
25	24	funeqi 6537	. 2 ⊢ (Fun {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩} ↔ Fun ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩}))
26	23, 25	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → Fun {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3447   ∪ cun 3912   ∩ cin 3913  ∅c0 4296  {csn 4589  {cpr 4591  {ctp 4593  ⟨cop 4595  dom cdm 5638  Fun wfun 6505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-br 5108  df-opab 5170  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-fun 6513

This theorem is referenced by:  fntp  6577  fntpb  7183  cnfldfunALT  21279  cnfldfunALTOLD  21292