MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funtp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funtp 6610
Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
funtp.1 𝐴 ∈ V
funtp.2 𝐵 ∈ V
funtp.3 𝐶 ∈ V
funtp.4 𝐷 ∈ V
funtp.5 𝐸 ∈ V
funtp.6 𝐹 ∈ V
Assertion
Ref Expression
funtp ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶) → Fun {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩})

Proof of Theorem funtp
StepHypRef Expression
1 funtp.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ V
2 funtp.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
3 funtp.4 . . . . . 6 𝐷 ∈ V
4 funtp.5 . . . . . 6 𝐸 ∈ V
51, 2, 3, 4funpr 6609 . . . . 5 (𝐴𝐵 → Fun {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩})
6 funtp.3 . . . . . 6 𝐶 ∈ V
7 funtp.6 . . . . . 6 𝐹 ∈ V
86, 7funsn 6606 . . . . 5 Fun {⟨𝐶, 𝐹⟩}
95, 8jctir 520 . . . 4 (𝐴𝐵 → (Fun {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∧ Fun {⟨𝐶, 𝐹⟩}))
103, 4dmprop 6221 . . . . . . 7 dom {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} = {𝐴, 𝐵}
11 df-pr 4632 . . . . . . 7 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
1210, 11eqtri 2756 . . . . . 6 dom {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
137dmsnop 6220 . . . . . 6 dom {⟨𝐶, 𝐹⟩} = {𝐶}
1412, 13ineq12i 4210 . . . . 5 (dom {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∩ dom {⟨𝐶, 𝐹⟩}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶})
15 disjsn2 4717 . . . . . . 7 (𝐴𝐶 → ({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅)
16 disjsn2 4717 . . . . . . 7 (𝐵𝐶 → ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
1715, 16anim12i 612 . . . . . 6 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → (({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅))
18 undisj1 4462 . . . . . 6 ((({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅) ↔ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = ∅)
1917, 18sylib 217 . . . . 5 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = ∅)
2014, 19eqtrid 2780 . . . 4 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → (dom {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∩ dom {⟨𝐶, 𝐹⟩}) = ∅)
21 funun 6599 . . . 4 (((Fun {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∧ Fun {⟨𝐶, 𝐹⟩}) ∧ (dom {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∩ dom {⟨𝐶, 𝐹⟩}) = ∅) → Fun ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩}))
229, 20, 21syl2an 595 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → Fun ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩}))
23223impb 1113 . 2 ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶) → Fun ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩}))
24 df-tp 4634 . . 3 {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩} = ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩})
2524funeqi 6574 . 2 (Fun {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩} ↔ Fun ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩}))
2623, 25sylibr 233 1 ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶) → Fun {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2937  Vcvv 3471  cun 3945  cin 3946  c0 4323  {csn 4629  {cpr 4631  {ctp 4633  cop 4635  dom cdm 5678  Fun wfun 6542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-fun 6550
This theorem is referenced by:  fntp  6614  fntpb  7221  cnfldfunALT  21293  cnfldfunALTOLD  21306  cnfldfunALTOLDOLD  21307
  Copyright terms: Public domain W3C validator