MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funtp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funtp 6558
Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
funtp.1 𝐴 ∈ V
funtp.2 𝐵 ∈ V
funtp.3 𝐶 ∈ V
funtp.4 𝐷 ∈ V
funtp.5 𝐸 ∈ V
funtp.6 𝐹 ∈ V
Assertion
Ref Expression
funtp ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶) → Fun {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩})

Proof of Theorem funtp
StepHypRef Expression
1 funtp.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ V
2 funtp.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
3 funtp.4 . . . . . 6 𝐷 ∈ V
4 funtp.5 . . . . . 6 𝐸 ∈ V
51, 2, 3, 4funpr 6557 . . . . 5 (𝐴𝐵 → Fun {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩})
6 funtp.3 . . . . . 6 𝐶 ∈ V
7 funtp.6 . . . . . 6 𝐹 ∈ V
86, 7funsn 6554 . . . . 5 Fun {⟨𝐶, 𝐹⟩}
95, 8jctir 521 . . . 4 (𝐴𝐵 → (Fun {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∧ Fun {⟨𝐶, 𝐹⟩}))
103, 4dmprop 6169 . . . . . . 7 dom {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} = {𝐴, 𝐵}
11 df-pr 4589 . . . . . . 7 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
1210, 11eqtri 2764 . . . . . 6 dom {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
137dmsnop 6168 . . . . . 6 dom {⟨𝐶, 𝐹⟩} = {𝐶}
1412, 13ineq12i 4170 . . . . 5 (dom {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∩ dom {⟨𝐶, 𝐹⟩}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶})
15 disjsn2 4673 . . . . . . 7 (𝐴𝐶 → ({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅)
16 disjsn2 4673 . . . . . . 7 (𝐵𝐶 → ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
1715, 16anim12i 613 . . . . . 6 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → (({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅))
18 undisj1 4421 . . . . . 6 ((({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅) ↔ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = ∅)
1917, 18sylib 217 . . . . 5 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = ∅)
2014, 19eqtrid 2788 . . . 4 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → (dom {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∩ dom {⟨𝐶, 𝐹⟩}) = ∅)
21 funun 6547 . . . 4 (((Fun {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∧ Fun {⟨𝐶, 𝐹⟩}) ∧ (dom {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∩ dom {⟨𝐶, 𝐹⟩}) = ∅) → Fun ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩}))
229, 20, 21syl2an 596 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → Fun ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩}))
23223impb 1115 . 2 ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶) → Fun ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩}))
24 df-tp 4591 . . 3 {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩} = ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩})
2524funeqi 6522 . 2 (Fun {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩} ↔ Fun ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩}))
2623, 25sylibr 233 1 ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶) → Fun {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3445  cun 3908  cin 3909  c0 4282  {csn 4586  {cpr 4588  {ctp 4590  cop 4592  dom cdm 5633  Fun wfun 6490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-br 5106  df-opab 5168  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-fun 6498
This theorem is referenced by:  fntp  6562  fntpb  7159  cnfldfunALT  20809  cnfldfunALTOLD  20810
  Copyright terms: Public domain W3C validator