Theorem funtp 6625

Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
funtp.1	⊢ 𝐴 ∈ V
funtp.2	⊢ 𝐵 ∈ V
funtp.3	⊢ 𝐶 ∈ V
funtp.4	⊢ 𝐷 ∈ V
funtp.5	⊢ 𝐸 ∈ V
funtp.6	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
funtp	⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → Fun {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩})

Proof of Theorem funtp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funtp.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		funtp.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		funtp.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ V
4		funtp.5	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 ∈ V
5	1, 2, 3, 4	funpr 6624	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → Fun {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩})
6		funtp.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ V
7		funtp.6	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ∈ V
8	6, 7	funsn 6621	. . . . 5 ⊢ Fun {⟨𝐶, 𝐹⟩}
9	5, 8	jctir 520	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → (Fun {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∧ Fun {⟨𝐶, 𝐹⟩}))
10	3, 4	dmprop 6239	. . . . . . 7 ⊢ dom {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} = {𝐴, 𝐵}
11		df-pr 4634	. . . . . . 7 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
12	10, 11	eqtri 2763	. . . . . 6 ⊢ dom {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
13	7	dmsnop 6238	. . . . . 6 ⊢ dom {⟨𝐶, 𝐹⟩} = {𝐶}
14	12, 13	ineq12i 4226	. . . . 5 ⊢ (dom {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∩ dom {⟨𝐶, 𝐹⟩}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶})
15		disjsn2 4717	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐶 → ({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅)
16		disjsn2 4717	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 → ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
17	15, 16	anim12i 613	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅))
18		undisj1 4468	. . . . . 6 ⊢ ((({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅) ↔ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = ∅)
19	17, 18	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = ∅)
20	14, 19	eqtrid 2787	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (dom {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∩ dom {⟨𝐶, 𝐹⟩}) = ∅)
21		funun 6614	. . . 4 ⊢ (((Fun {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∧ Fun {⟨𝐶, 𝐹⟩}) ∧ (dom {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∩ dom {⟨𝐶, 𝐹⟩}) = ∅) → Fun ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩}))
22	9, 20, 21	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → Fun ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩}))
23	22	3impb 1114	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → Fun ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩}))
24		df-tp 4636	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩} = ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩})
25	24	funeqi 6589	. 2 ⊢ (Fun {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩} ↔ Fun ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩}))
26	23, 25	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → Fun {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  Vcvv 3478   ∪ cun 3961   ∩ cin 3962  ∅c0 4339  {csn 4631  {cpr 4633  {ctp 4635  ⟨cop 4637  dom cdm 5689  Fun wfun 6557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-fun 6565

This theorem is referenced by:  fntp  6629  fntpb  7229  cnfldfunALT  21397  cnfldfunALTOLD  21410  cnfldfunALTOLDOLD  21411