Theorem funprg 6488

Description: A set of two pairs is a function if their first members are different. (Contributed by FL, 26-Jun-2011.) (Proof shortened by JJ, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
funprg	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})

Proof of Theorem funprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funsng 6485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩})
2		funsng 6485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) → Fun {⟨𝐵, 𝐷⟩})
3	1, 2	anim12i 613	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) → (Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∧ Fun {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
4	3	an4s 657	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) → (Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∧ Fun {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
5	4	3adant3 1131	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∧ Fun {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
6		dmsnopg 6116	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} = {𝐴})
7		dmsnopg 6116	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑌 → dom {⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐵})
8	6, 7	ineqan12d 4148	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) → (dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∩ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ({𝐴} ∩ {𝐵}))
9		disjsn2 4648	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
10	8, 9	sylan9eq 2798	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∩ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ∅)
11	10	3adant1 1129	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∩ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ∅)
12		funun 6480	. . 3 ⊢ (((Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∧ Fun {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ∧ (dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∩ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ∅) → Fun ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
13	5, 11, 12	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Fun ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
14		df-pr 4564	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})
15	14	funeqi 6455	. 2 ⊢ (Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ↔ Fun ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
16	13, 15	sylibr 233	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∪ cun 3885   ∩ cin 3886  ∅c0 4256  {csn 4561  {cpr 4563  ⟨cop 4567  dom cdm 5589  Fun wfun 6427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-fun 6435

This theorem is referenced by:  funtpg  6489  funpr  6490  fnprg  6493  fpropnf1  7140