MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funprg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funprg 6555
Description: A set of two pairs is a function if their first members are different. (Contributed by FL, 26-Jun-2011.) (Proof shortened by JJ, 14-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
funprg (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})

Proof of Theorem funprg
StepHypRef Expression
1 funsng 6552 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐶𝑋) → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩})
2 funsng 6552 . . . . . 6 ((𝐵𝑊𝐷𝑌) → Fun {⟨𝐵, 𝐷⟩})
31, 2anim12i 613 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐶𝑋) ∧ (𝐵𝑊𝐷𝑌)) → (Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∧ Fun {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
43an4s 658 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) → (Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∧ Fun {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
543adant3 1132 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → (Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∧ Fun {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
6 dmsnopg 6165 . . . . . 6 (𝐶𝑋 → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} = {𝐴})
7 dmsnopg 6165 . . . . . 6 (𝐷𝑌 → dom {⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐵})
86, 7ineqan12d 4174 . . . . 5 ((𝐶𝑋𝐷𝑌) → (dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∩ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ({𝐴} ∩ {𝐵}))
9 disjsn2 4673 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
108, 9sylan9eq 2796 . . . 4 (((𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → (dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∩ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ∅)
11103adant1 1130 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → (dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∩ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ∅)
12 funun 6547 . . 3 (((Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∧ Fun {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ∧ (dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∩ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ∅) → Fun ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
135, 11, 12syl2anc 584 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → Fun ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
14 df-pr 4589 . . 3 {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})
1514funeqi 6522 . 2 (Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ↔ Fun ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
1613, 15sylibr 233 1 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cun 3908  cin 3909  c0 4282  {csn 4586  {cpr 4588  cop 4592  dom cdm 5633  Fun wfun 6490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-mo 2538  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-br 5106  df-opab 5168  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-fun 6498
This theorem is referenced by:  funtpg  6556  funpr  6557  fnprg  6560  fpropnf1  7214
  Copyright terms: Public domain W3C validator