MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funprg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funprg 6084
Description: A set of two pairs is a function if their first members are different. (Contributed by FL, 26-Jun-2011.) (Proof shortened by JJ, 14-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
funprg (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})

Proof of Theorem funprg
StepHypRef Expression
1 funsng 6081 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐶𝑋) → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩})
2 funsng 6081 . . . . . 6 ((𝐵𝑊𝐷𝑌) → Fun {⟨𝐵, 𝐷⟩})
31, 2anim12i 594 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐶𝑋) ∧ (𝐵𝑊𝐷𝑌)) → (Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∧ Fun {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
43an4s 633 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) → (Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∧ Fun {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
543adant3 1126 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → (Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∧ Fun {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
6 dmsnopg 5749 . . . . . 6 (𝐶𝑋 → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} = {𝐴})
7 dmsnopg 5749 . . . . . 6 (𝐷𝑌 → dom {⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐵})
86, 7ineqan12d 3968 . . . . 5 ((𝐶𝑋𝐷𝑌) → (dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∩ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ({𝐴} ∩ {𝐵}))
9 disjsn2 4385 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
108, 9sylan9eq 2825 . . . 4 (((𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → (dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∩ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ∅)
11103adant1 1124 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → (dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∩ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ∅)
12 funun 6076 . . 3 (((Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∧ Fun {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ∧ (dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∩ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ∅) → Fun ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
135, 11, 12syl2anc 567 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → Fun ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
14 df-pr 4320 . . 3 {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})
1514funeqi 6053 . 2 (Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ↔ Fun ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
1613, 15sylibr 224 1 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cun 3722  cin 3723  c0 4064  {csn 4317  {cpr 4319  cop 4323  dom cdm 5250  Fun wfun 6026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pr 5035
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-nul 4065  df-if 4227  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-br 4788  df-opab 4848  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-fun 6034
This theorem is referenced by:  funtpg  6085  funpr  6086  fnprg  6089  fpropnf1  6668
  Copyright terms: Public domain W3C validator