Theorem funprg 6540

Description: A set of two pairs is a function if their first members are different. (Contributed by FL, 26-Jun-2011.) (Proof shortened by JJ, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
funprg	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})

Proof of Theorem funprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funsng 6537	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩})
2		funsng 6537	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) → Fun {⟨𝐵, 𝐷⟩})
3	1, 2	anim12i 613	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ (𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) → (Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∧ Fun {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
4	3	an4s 660	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) → (Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∧ Fun {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
5	4	3adant3 1132	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∧ Fun {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
6		dmsnopg 6166	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} = {𝐴})
7		dmsnopg 6166	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑌 → dom {⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐵})
8	6, 7	ineqan12d 4175	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) → (dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∩ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ({𝐴} ∩ {𝐵}))
9		disjsn2 4666	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
10	8, 9	sylan9eq 2784	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∩ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ∅)
11	10	3adant1 1130	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∩ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ∅)
12		funun 6532	. . 3 ⊢ (((Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∧ Fun {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ∧ (dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∩ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ∅) → Fun ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
13	5, 11, 12	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Fun ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
14		df-pr 4582	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})
15	14	funeqi 6507	. 2 ⊢ (Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ↔ Fun ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
16	13, 15	sylibr 234	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∪ cun 3903   ∩ cin 3904  ∅c0 4286  {csn 4579  {cpr 4581  ⟨cop 4585  dom cdm 5623  Fun wfun 6480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-mo 2533  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-br 5096  df-opab 5158  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-fun 6488

This theorem is referenced by:  funtpg  6541  funpr  6542  fnprg  6545  fpropnf1  7208