MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspval 19374
Description: The span of a set of vectors (in a left module). (spanval 28768 analog.) (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspval.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lspval ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → (𝑁𝑈) = {𝑡𝑆𝑈𝑡})
Distinct variable groups:   𝑡,𝑆   𝑡,𝑈   𝑡,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑡)   𝑊(𝑡)

Proof of Theorem lspval
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspval.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lspval.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3 lspval.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
41, 2, 3lspfval 19372 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝑁 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡𝑆𝑠𝑡}))
54fveq1d 6450 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (𝑁𝑈) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡𝑆𝑠𝑡})‘𝑈))
65adantr 474 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → (𝑁𝑈) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡𝑆𝑠𝑡})‘𝑈))
7 eqid 2778 . . 3 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡𝑆𝑠𝑡}) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡𝑆𝑠𝑡})
8 sseq1 3845 . . . . 5 (𝑠 = 𝑈 → (𝑠𝑡𝑈𝑡))
98rabbidv 3386 . . . 4 (𝑠 = 𝑈 → {𝑡𝑆𝑠𝑡} = {𝑡𝑆𝑈𝑡})
109inteqd 4717 . . 3 (𝑠 = 𝑈 {𝑡𝑆𝑠𝑡} = {𝑡𝑆𝑈𝑡})
11 simpr 479 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈𝑉)
121fvexi 6462 . . . . 5 𝑉 ∈ V
1312elpw2 5064 . . . 4 (𝑈 ∈ 𝒫 𝑉𝑈𝑉)
1411, 13sylibr 226 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 ∈ 𝒫 𝑉)
151, 2lss1 19335 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑉𝑆)
16 sseq2 3846 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑉 → (𝑈𝑡𝑈𝑉))
1716rspcev 3511 . . . . 5 ((𝑉𝑆𝑈𝑉) → ∃𝑡𝑆 𝑈𝑡)
1815, 17sylan 575 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → ∃𝑡𝑆 𝑈𝑡)
19 intexrab 5059 . . . 4 (∃𝑡𝑆 𝑈𝑡 {𝑡𝑆𝑈𝑡} ∈ V)
2018, 19sylib 210 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → {𝑡𝑆𝑈𝑡} ∈ V)
217, 10, 14, 20fvmptd3 6566 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡𝑆𝑠𝑡})‘𝑈) = {𝑡𝑆𝑈𝑡})
226, 21eqtrd 2814 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → (𝑁𝑈) = {𝑡𝑆𝑈𝑡})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wrex 3091  {crab 3094  Vcvv 3398  wss 3792  𝒫 cpw 4379   cint 4712  cmpt 4967  cfv 6137  Basecbs 16259  LModclmod 19259  LSubSpclss 19328  LSpanclspn 19370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-0g 16492  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-grp 17816  df-lmod 19261  df-lss 19329  df-lsp 19371
This theorem is referenced by:  lspid  19381  lspss  19383  lspssid  19384  dochspss  37537  lcosslsp  43252
  Copyright terms: Public domain W3C validator