MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspval 20871
Description: The span of a set of vectors (in a left module). (spanval 31215 analog.) (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspval.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lspval ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → (𝑁𝑈) = {𝑡𝑆𝑈𝑡})
Distinct variable groups:   𝑡,𝑆   𝑡,𝑈   𝑡,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑡)   𝑊(𝑡)

Proof of Theorem lspval
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspval.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lspval.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3 lspval.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
41, 2, 3lspfval 20869 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝑁 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡𝑆𝑠𝑡}))
54fveq1d 6898 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (𝑁𝑈) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡𝑆𝑠𝑡})‘𝑈))
65adantr 479 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → (𝑁𝑈) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡𝑆𝑠𝑡})‘𝑈))
7 eqid 2725 . . 3 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡𝑆𝑠𝑡}) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡𝑆𝑠𝑡})
8 sseq1 4002 . . . . 5 (𝑠 = 𝑈 → (𝑠𝑡𝑈𝑡))
98rabbidv 3426 . . . 4 (𝑠 = 𝑈 → {𝑡𝑆𝑠𝑡} = {𝑡𝑆𝑈𝑡})
109inteqd 4955 . . 3 (𝑠 = 𝑈 {𝑡𝑆𝑠𝑡} = {𝑡𝑆𝑈𝑡})
11 simpr 483 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈𝑉)
121fvexi 6910 . . . . 5 𝑉 ∈ V
1312elpw2 5348 . . . 4 (𝑈 ∈ 𝒫 𝑉𝑈𝑉)
1411, 13sylibr 233 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 ∈ 𝒫 𝑉)
151, 2lss1 20834 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑉𝑆)
16 sseq2 4003 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑉 → (𝑈𝑡𝑈𝑉))
1716rspcev 3606 . . . . 5 ((𝑉𝑆𝑈𝑉) → ∃𝑡𝑆 𝑈𝑡)
1815, 17sylan 578 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → ∃𝑡𝑆 𝑈𝑡)
19 intexrab 5343 . . . 4 (∃𝑡𝑆 𝑈𝑡 {𝑡𝑆𝑈𝑡} ∈ V)
2018, 19sylib 217 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → {𝑡𝑆𝑈𝑡} ∈ V)
217, 10, 14, 20fvmptd3 7027 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡𝑆𝑠𝑡})‘𝑈) = {𝑡𝑆𝑈𝑡})
226, 21eqtrd 2765 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → (𝑁𝑈) = {𝑡𝑆𝑈𝑡})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3059  {crab 3418  Vcvv 3461  wss 3944  𝒫 cpw 4604   cint 4950  cmpt 5232  cfv 6549  Basecbs 17183  LModclmod 20755  LSubSpclss 20827  LSpanclspn 20867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-0g 17426  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18901  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-lsp 20868
This theorem is referenced by:  lspid  20878  lspss  20880  lspssid  20881  dochspss  40981  lcosslsp  47692
  Copyright terms: Public domain W3C validator