Theorem fldgenval 33273

Description: Value of the field generating function: (𝐹 fldGen 𝑆) is the smallest sub-division-ring of 𝐹 containing 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fldgenval.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
fldgenval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
fldgenval.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fldgenval	⊢ (𝜑 → (𝐹 fldGen 𝑆) = ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎})

Distinct variable groups:   𝐵,𝑎   𝐹,𝑎   𝑆,𝑎   𝜑,𝑎

Proof of Theorem fldgenval

Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fldgenval.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
2	1	elexd 3460	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
3		fldgenval.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
4	3	fvexi 6836	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
6		fldgenval.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
7	5, 6	ssexd 5262	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
8	3	sdrgid 20705	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝐹))
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝐹))
10		sseq2 3961	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → (𝑆 ⊆ 𝑎 ↔ 𝑆 ⊆ 𝐵))
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 𝐵) → (𝑆 ⊆ 𝑎 ↔ 𝑆 ⊆ 𝐵))
12	9, 11, 6	rspcedvd 3579	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹)𝑆 ⊆ 𝑎)
13		intexrab 5285	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹)𝑆 ⊆ 𝑎 ↔ ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎} ∈ V)
14	12, 13	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎} ∈ V)
15		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) → 𝑓 = 𝐹)
16	15	fveq2d 6826	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) → (SubDRing‘𝑓) = (SubDRing‘𝐹))
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) → 𝑠 = 𝑆)
18	17	sseq1d 3966	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) → (𝑠 ⊆ 𝑎 ↔ 𝑆 ⊆ 𝑎))
19	16, 18	rabeqbidv 3413	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) → {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑓) ∣ 𝑠 ⊆ 𝑎} = {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎})
20	19	inteqd 4902	. . 3 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) → ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑓) ∣ 𝑠 ⊆ 𝑎} = ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎})
21		df-fldgen 33272	. . 3 ⊢ fldGen = (𝑓 ∈ V, 𝑠 ∈ V ↦ ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑓) ∣ 𝑠 ⊆ 𝑎})
22	20, 21	ovmpoga 7500	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V ∧ ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎} ∈ V) → (𝐹 fldGen 𝑆) = ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎})
23	2, 7, 14, 22	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 fldGen 𝑆) = ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056  {crab 3395  Vcvv 3436   ⊆ wss 3902  ∩ cint 4897  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17117  DivRingcdr 20642  SubDRingcsdrg 20699   fldGen cfldgen 33271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-0g 17342  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-mgp 20057  df-ur 20098  df-ring 20151  df-subrg 20483  df-drng 20644  df-sdrg 20700  df-fldgen 33272

This theorem is referenced by:  fldgenssid  33274  fldgensdrg  33275  fldgenssv  33276  fldgenss  33277  fldgenidfld  33278  fldgenssp  33279  primefldgen1  33282  evls1fldgencl  33678