Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fldgenval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fldgenval 32135
Description: Value of the field generating function: (𝐹 fldGen 𝑆) is the smallest sub-division-ring of 𝐹 containing 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
fldgenval.1 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
fldgenval.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
fldgenval.3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
Assertion
Ref Expression
fldgenval (πœ‘ β†’ (𝐹 fldGen 𝑆) = ∩ {π‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜πΉ) ∣ 𝑆 βŠ† π‘Ž})
Distinct variable groups:   𝐡,π‘Ž   𝐹,π‘Ž   𝑆,π‘Ž   πœ‘,π‘Ž

Proof of Theorem fldgenval
Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fldgenval.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
21elexd 3467 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
3 fldgenval.1 . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
43fvexi 6860 . . . 4 𝐡 ∈ V
54a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
6 fldgenval.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
75, 6ssexd 5285 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
83sdrgid 20305 . . . . 5 (𝐹 ∈ DivRing β†’ 𝐡 ∈ (SubDRingβ€˜πΉ))
91, 8syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (SubDRingβ€˜πΉ))
10 sseq2 3974 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐡 β†’ (𝑆 βŠ† π‘Ž ↔ 𝑆 βŠ† 𝐡))
1110adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž = 𝐡) β†’ (𝑆 βŠ† π‘Ž ↔ 𝑆 βŠ† 𝐡))
129, 11, 6rspcedvd 3585 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜πΉ)𝑆 βŠ† π‘Ž)
13 intexrab 5301 . . 3 (βˆƒπ‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜πΉ)𝑆 βŠ† π‘Ž ↔ ∩ {π‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜πΉ) ∣ 𝑆 βŠ† π‘Ž} ∈ V)
1412, 13sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ ∩ {π‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜πΉ) ∣ 𝑆 βŠ† π‘Ž} ∈ V)
15 simpl 484 . . . . . 6 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) β†’ 𝑓 = 𝐹)
1615fveq2d 6850 . . . . 5 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) β†’ (SubDRingβ€˜π‘“) = (SubDRingβ€˜πΉ))
17 simpr 486 . . . . . 6 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) β†’ 𝑠 = 𝑆)
1817sseq1d 3979 . . . . 5 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) β†’ (𝑠 βŠ† π‘Ž ↔ 𝑆 βŠ† π‘Ž))
1916, 18rabeqbidv 3423 . . . 4 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) β†’ {π‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜π‘“) ∣ 𝑠 βŠ† π‘Ž} = {π‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜πΉ) ∣ 𝑆 βŠ† π‘Ž})
2019inteqd 4916 . . 3 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) β†’ ∩ {π‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜π‘“) ∣ 𝑠 βŠ† π‘Ž} = ∩ {π‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜πΉ) ∣ 𝑆 βŠ† π‘Ž})
21 df-fldgen 32134 . . 3 fldGen = (𝑓 ∈ V, 𝑠 ∈ V ↦ ∩ {π‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜π‘“) ∣ 𝑠 βŠ† π‘Ž})
2220, 21ovmpoga 7513 . 2 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V ∧ ∩ {π‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜πΉ) ∣ 𝑆 βŠ† π‘Ž} ∈ V) β†’ (𝐹 fldGen 𝑆) = ∩ {π‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜πΉ) ∣ 𝑆 βŠ† π‘Ž})
232, 7, 14, 22syl3anc 1372 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 fldGen 𝑆) = ∩ {π‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜πΉ) ∣ 𝑆 βŠ† π‘Ž})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070  {crab 3406  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914  βˆ© cint 4911  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  DivRingcdr 20219  SubDRingcsdrg 20302   fldGen cfldgen 32133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-drng 20221  df-subrg 20262  df-sdrg 20303  df-fldgen 32134
This theorem is referenced by:  fldgenssid  32136  fldgensdrg  32137  fldgenss  32138  fldgenidfld  32139  fldgenid  32140  primefldgen1  32142
  Copyright terms: Public domain W3C validator