Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fldgenval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fldgenval 32904
Description: Value of the field generating function: (𝐹 fldGen 𝑆) is the smallest sub-division-ring of 𝐹 containing 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
fldgenval.1 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
fldgenval.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
fldgenval.3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
Assertion
Ref Expression
fldgenval (πœ‘ β†’ (𝐹 fldGen 𝑆) = ∩ {π‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜πΉ) ∣ 𝑆 βŠ† π‘Ž})
Distinct variable groups:   𝐡,π‘Ž   𝐹,π‘Ž   𝑆,π‘Ž   πœ‘,π‘Ž

Proof of Theorem fldgenval
Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fldgenval.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
21elexd 3489 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
3 fldgenval.1 . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
43fvexi 6898 . . . 4 𝐡 ∈ V
54a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
6 fldgenval.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
75, 6ssexd 5317 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
83sdrgid 20640 . . . . 5 (𝐹 ∈ DivRing β†’ 𝐡 ∈ (SubDRingβ€˜πΉ))
91, 8syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (SubDRingβ€˜πΉ))
10 sseq2 4003 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐡 β†’ (𝑆 βŠ† π‘Ž ↔ 𝑆 βŠ† 𝐡))
1110adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž = 𝐡) β†’ (𝑆 βŠ† π‘Ž ↔ 𝑆 βŠ† 𝐡))
129, 11, 6rspcedvd 3608 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜πΉ)𝑆 βŠ† π‘Ž)
13 intexrab 5333 . . 3 (βˆƒπ‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜πΉ)𝑆 βŠ† π‘Ž ↔ ∩ {π‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜πΉ) ∣ 𝑆 βŠ† π‘Ž} ∈ V)
1412, 13sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ ∩ {π‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜πΉ) ∣ 𝑆 βŠ† π‘Ž} ∈ V)
15 simpl 482 . . . . . 6 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) β†’ 𝑓 = 𝐹)
1615fveq2d 6888 . . . . 5 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) β†’ (SubDRingβ€˜π‘“) = (SubDRingβ€˜πΉ))
17 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) β†’ 𝑠 = 𝑆)
1817sseq1d 4008 . . . . 5 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) β†’ (𝑠 βŠ† π‘Ž ↔ 𝑆 βŠ† π‘Ž))
1916, 18rabeqbidv 3443 . . . 4 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) β†’ {π‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜π‘“) ∣ 𝑠 βŠ† π‘Ž} = {π‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜πΉ) ∣ 𝑆 βŠ† π‘Ž})
2019inteqd 4948 . . 3 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) β†’ ∩ {π‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜π‘“) ∣ 𝑠 βŠ† π‘Ž} = ∩ {π‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜πΉ) ∣ 𝑆 βŠ† π‘Ž})
21 df-fldgen 32903 . . 3 fldGen = (𝑓 ∈ V, 𝑠 ∈ V ↦ ∩ {π‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜π‘“) ∣ 𝑠 βŠ† π‘Ž})
2220, 21ovmpoga 7557 . 2 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V ∧ ∩ {π‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜πΉ) ∣ 𝑆 βŠ† π‘Ž} ∈ V) β†’ (𝐹 fldGen 𝑆) = ∩ {π‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜πΉ) ∣ 𝑆 βŠ† π‘Ž})
232, 7, 14, 22syl3anc 1368 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 fldGen 𝑆) = ∩ {π‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜πΉ) ∣ 𝑆 βŠ† π‘Ž})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064  {crab 3426  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  βˆ© cint 4943  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  DivRingcdr 20584  SubDRingcsdrg 20634   fldGen cfldgen 32902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-0g 17393  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mgp 20037  df-ur 20084  df-ring 20137  df-subrg 20468  df-drng 20586  df-sdrg 20635  df-fldgen 32903
This theorem is referenced by:  fldgenssid  32905  fldgensdrg  32906  fldgenssv  32907  fldgenss  32908  fldgenidfld  32909  fldgenssp  32910  primefldgen1  32913  evls1fldgencl  33262
  Copyright terms: Public domain W3C validator