Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fldgenval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fldgenval 32371
Description: Value of the field generating function: (𝐹 fldGen 𝑆) is the smallest sub-division-ring of 𝐹 containing 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
fldgenval.1 𝐵 = (Base‘𝐹)
fldgenval.2 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
fldgenval.3 (𝜑𝑆𝐵)
Assertion
Ref Expression
fldgenval (𝜑 → (𝐹 fldGen 𝑆) = {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆𝑎})
Distinct variable groups:   𝐵,𝑎   𝐹,𝑎   𝑆,𝑎   𝜑,𝑎

Proof of Theorem fldgenval
Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fldgenval.2 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
21elexd 3495 . 2 (𝜑𝐹 ∈ V)
3 fldgenval.1 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐹)
43fvexi 6902 . . . 4 𝐵 ∈ V
54a1i 11 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ V)
6 fldgenval.3 . . 3 (𝜑𝑆𝐵)
75, 6ssexd 5323 . 2 (𝜑𝑆 ∈ V)
83sdrgid 20396 . . . . 5 (𝐹 ∈ DivRing → 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝐹))
91, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (SubDRing‘𝐹))
10 sseq2 4007 . . . . 5 (𝑎 = 𝐵 → (𝑆𝑎𝑆𝐵))
1110adantl 483 . . . 4 ((𝜑𝑎 = 𝐵) → (𝑆𝑎𝑆𝐵))
129, 11, 6rspcedvd 3614 . . 3 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹)𝑆𝑎)
13 intexrab 5339 . . 3 (∃𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹)𝑆𝑎 {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆𝑎} ∈ V)
1412, 13sylib 217 . 2 (𝜑 {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆𝑎} ∈ V)
15 simpl 484 . . . . . 6 ((𝑓 = 𝐹𝑠 = 𝑆) → 𝑓 = 𝐹)
1615fveq2d 6892 . . . . 5 ((𝑓 = 𝐹𝑠 = 𝑆) → (SubDRing‘𝑓) = (SubDRing‘𝐹))
17 simpr 486 . . . . . 6 ((𝑓 = 𝐹𝑠 = 𝑆) → 𝑠 = 𝑆)
1817sseq1d 4012 . . . . 5 ((𝑓 = 𝐹𝑠 = 𝑆) → (𝑠𝑎𝑆𝑎))
1916, 18rabeqbidv 3450 . . . 4 ((𝑓 = 𝐹𝑠 = 𝑆) → {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑓) ∣ 𝑠𝑎} = {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆𝑎})
2019inteqd 4954 . . 3 ((𝑓 = 𝐹𝑠 = 𝑆) → {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑓) ∣ 𝑠𝑎} = {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆𝑎})
21 df-fldgen 32370 . . 3 fldGen = (𝑓 ∈ V, 𝑠 ∈ V ↦ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑓) ∣ 𝑠𝑎})
2220, 21ovmpoga 7557 . 2 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V ∧ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆𝑎} ∈ V) → (𝐹 fldGen 𝑆) = {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆𝑎})
232, 7, 14, 22syl3anc 1372 1 (𝜑 → (𝐹 fldGen 𝑆) = {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆𝑎})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475  wss 3947   cint 4949  cfv 6540  (class class class)co 7404  Basecbs 17140  DivRingcdr 20304  SubDRingcsdrg 20390   fldGen cfldgen 32369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-drng 20306  df-subrg 20349  df-sdrg 20391  df-fldgen 32370
This theorem is referenced by:  fldgenssid  32372  fldgensdrg  32373  fldgenssv  32374  fldgenss  32375  fldgenidfld  32376  fldgenssp  32377  primefldgen1  32380
  Copyright terms: Public domain W3C validator