Theorem fldgenval 33373

Description: Value of the field generating function: (𝐹 fldGen 𝑆) is the smallest sub-division-ring of 𝐹 containing 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fldgenval.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
fldgenval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
fldgenval.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fldgenval	⊢ (𝜑 → (𝐹 fldGen 𝑆) = ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎})

Distinct variable groups:   𝐵,𝑎   𝐹,𝑎   𝑆,𝑎   𝜑,𝑎

Proof of Theorem fldgenval

Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fldgenval.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
2	1	elexd 3453	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
3		fldgenval.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
4	3	fvexi 6854	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
6		fldgenval.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
7	5, 6	ssexd 5265	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
8	3	sdrgid 20769	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝐹))
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝐹))
10		sseq2 3948	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → (𝑆 ⊆ 𝑎 ↔ 𝑆 ⊆ 𝐵))
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 𝐵) → (𝑆 ⊆ 𝑎 ↔ 𝑆 ⊆ 𝐵))
12	9, 11, 6	rspcedvd 3566	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹)𝑆 ⊆ 𝑎)
13		intexrab 5288	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹)𝑆 ⊆ 𝑎 ↔ ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎} ∈ V)
14	12, 13	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎} ∈ V)
15		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) → 𝑓 = 𝐹)
16	15	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) → (SubDRing‘𝑓) = (SubDRing‘𝐹))
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) → 𝑠 = 𝑆)
18	17	sseq1d 3953	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) → (𝑠 ⊆ 𝑎 ↔ 𝑆 ⊆ 𝑎))
19	16, 18	rabeqbidv 3407	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) → {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑓) ∣ 𝑠 ⊆ 𝑎} = {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎})
20	19	inteqd 4894	. . 3 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) → ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑓) ∣ 𝑠 ⊆ 𝑎} = ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎})
21		df-fldgen 33372	. . 3 ⊢ fldGen = (𝑓 ∈ V, 𝑠 ∈ V ↦ ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑓) ∣ 𝑠 ⊆ 𝑎})
22	20, 21	ovmpoga 7521	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V ∧ ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎} ∈ V) → (𝐹 fldGen 𝑆) = ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎})
23	2, 7, 14, 22	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 fldGen 𝑆) = ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  {crab 3389  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889  ∩ cint 4889  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  DivRingcdr 20706  SubDRingcsdrg 20763   fldGen cfldgen 33371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ring 20216  df-subrg 20547  df-drng 20708  df-sdrg 20764  df-fldgen 33372

This theorem is referenced by:  fldgenssid  33374  fldgensdrg  33375  fldgenssv  33376  fldgenss  33377  fldgenidfld  33378  fldgenssp  33379  primefldgen1  33382  evls1fldgencl  33814