Theorem fldgenval 33548

Description: Value of the field generating function: (𝐹 fldGen 𝑆) is the smallest sub-division-ring of 𝐹 containing 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fldgenval.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
fldgenval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
fldgenval.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fldgenval	⊢ (𝜑 → (𝐹 fldGen 𝑆) = ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎})

Distinct variable groups:   𝐵,𝑎   𝐹,𝑎   𝑆,𝑎   𝜑,𝑎

Proof of Theorem fldgenval

Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fldgenval.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
2	1	elexd 3480	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
3		fldgenval.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
4	3	fvexi 6885	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
6		fldgenval.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
7	5, 6	ssexd 5285	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
8	3	sdrgid 20864	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝐹))
9	1, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝐹))
10		sseq2 3965	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → (𝑆 ⊆ 𝑎 ↔ 𝑆 ⊆ 𝐵))
11	10	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 𝐵) → (𝑆 ⊆ 𝑎 ↔ 𝑆 ⊆ 𝐵))
12	9, 11, 6	rspcedvd 3586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹)𝑆 ⊆ 𝑎)
13		intexrab 5308	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹)𝑆 ⊆ 𝑎 ↔ ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎} ∈ V)
14	12, 13	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎} ∈ V)
15		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) → 𝑓 = 𝐹)
16	15	fveq2d 6875	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) → (SubDRing‘𝑓) = (SubDRing‘𝐹))
17		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) → 𝑠 = 𝑆)
18	17	sseq1d 3970	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) → (𝑠 ⊆ 𝑎 ↔ 𝑆 ⊆ 𝑎))
19	16, 18	rabeqbidv 3435	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) → {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑓) ∣ 𝑠 ⊆ 𝑎} = {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎})
20	19	inteqd 4913	. . 3 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) → ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑓) ∣ 𝑠 ⊆ 𝑎} = ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎})
21		df-fldgen 33547	. . 3 ⊢ fldGen = (𝑓 ∈ V, 𝑠 ∈ V ↦ ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑓) ∣ 𝑠 ⊆ 𝑎})
22	20, 21	ovmpoga 7554	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V ∧ ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎} ∈ V) → (𝐹 fldGen 𝑆) = ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎})
23	2, 7, 14, 22	syl3anc 1394	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 fldGen 𝑆) = ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089  {crab 3417  Vcvv 3457   ⊆ wss 3907  ∩ cint 4908  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  DivRingcdr 20804  SubDRingcsdrg 20858   fldGen cfldgen 33546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-mgp 20208  df-ur 20255  df-ring 20308  df-subrg 20646  df-drng 20806  df-sdrg 20859  df-fldgen 33547

This theorem is referenced by:  fldgenssid  33549  fldgensdrg  33550  fldgenssv  33551  fldgenss  33552  fldgenidfld  33553  fldgenssp  33554  primefldgen1  33557  evls1fldgencl  33977