Theorem fldgenval 33394

Description: Value of the field generating function: (𝐹 fldGen 𝑆) is the smallest sub-division-ring of 𝐹 containing 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fldgenval.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
fldgenval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
fldgenval.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fldgenval	⊢ (𝜑 → (𝐹 fldGen 𝑆) = ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎})

Distinct variable groups:   𝐵,𝑎   𝐹,𝑎   𝑆,𝑎   𝜑,𝑎

Proof of Theorem fldgenval

Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fldgenval.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
2	1	elexd 3464	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
3		fldgenval.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
4	3	fvexi 6848	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
6		fldgenval.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
7	5, 6	ssexd 5269	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
8	3	sdrgid 20725	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝐹))
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝐹))
10		sseq2 3960	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → (𝑆 ⊆ 𝑎 ↔ 𝑆 ⊆ 𝐵))
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 𝐵) → (𝑆 ⊆ 𝑎 ↔ 𝑆 ⊆ 𝐵))
12	9, 11, 6	rspcedvd 3578	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹)𝑆 ⊆ 𝑎)
13		intexrab 5292	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹)𝑆 ⊆ 𝑎 ↔ ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎} ∈ V)
14	12, 13	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎} ∈ V)
15		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) → 𝑓 = 𝐹)
16	15	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) → (SubDRing‘𝑓) = (SubDRing‘𝐹))
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) → 𝑠 = 𝑆)
18	17	sseq1d 3965	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) → (𝑠 ⊆ 𝑎 ↔ 𝑆 ⊆ 𝑎))
19	16, 18	rabeqbidv 3417	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) → {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑓) ∣ 𝑠 ⊆ 𝑎} = {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎})
20	19	inteqd 4907	. . 3 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) → ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑓) ∣ 𝑠 ⊆ 𝑎} = ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎})
21		df-fldgen 33393	. . 3 ⊢ fldGen = (𝑓 ∈ V, 𝑠 ∈ V ↦ ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑓) ∣ 𝑠 ⊆ 𝑎})
22	20, 21	ovmpoga 7512	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V ∧ ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎} ∈ V) → (𝐹 fldGen 𝑆) = ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎})
23	2, 7, 14, 22	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 fldGen 𝑆) = ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060  {crab 3399  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  ∩ cint 4902  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  DivRingcdr 20662  SubDRingcsdrg 20719   fldGen cfldgen 33392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mgp 20076  df-ur 20117  df-ring 20170  df-subrg 20503  df-drng 20664  df-sdrg 20720  df-fldgen 33393

This theorem is referenced by:  fldgenssid  33395  fldgensdrg  33396  fldgenssv  33397  fldgenss  33398  fldgenidfld  33399  fldgenssp  33400  primefldgen1  33403  evls1fldgencl  33827