Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fldgenval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fldgenval 33023
Description: Value of the field generating function: (𝐹 fldGen 𝑆) is the smallest sub-division-ring of 𝐹 containing 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
fldgenval.1 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
fldgenval.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
fldgenval.3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
Assertion
Ref Expression
fldgenval (πœ‘ β†’ (𝐹 fldGen 𝑆) = ∩ {π‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜πΉ) ∣ 𝑆 βŠ† π‘Ž})
Distinct variable groups:   𝐡,π‘Ž   𝐹,π‘Ž   𝑆,π‘Ž   πœ‘,π‘Ž

Proof of Theorem fldgenval
Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fldgenval.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
21elexd 3494 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
3 fldgenval.1 . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
43fvexi 6916 . . . 4 𝐡 ∈ V
54a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
6 fldgenval.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
75, 6ssexd 5328 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
83sdrgid 20687 . . . . 5 (𝐹 ∈ DivRing β†’ 𝐡 ∈ (SubDRingβ€˜πΉ))
91, 8syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (SubDRingβ€˜πΉ))
10 sseq2 4008 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐡 β†’ (𝑆 βŠ† π‘Ž ↔ 𝑆 βŠ† 𝐡))
1110adantl 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž = 𝐡) β†’ (𝑆 βŠ† π‘Ž ↔ 𝑆 βŠ† 𝐡))
129, 11, 6rspcedvd 3613 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜πΉ)𝑆 βŠ† π‘Ž)
13 intexrab 5346 . . 3 (βˆƒπ‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜πΉ)𝑆 βŠ† π‘Ž ↔ ∩ {π‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜πΉ) ∣ 𝑆 βŠ† π‘Ž} ∈ V)
1412, 13sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ ∩ {π‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜πΉ) ∣ 𝑆 βŠ† π‘Ž} ∈ V)
15 simpl 481 . . . . . 6 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) β†’ 𝑓 = 𝐹)
1615fveq2d 6906 . . . . 5 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) β†’ (SubDRingβ€˜π‘“) = (SubDRingβ€˜πΉ))
17 simpr 483 . . . . . 6 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) β†’ 𝑠 = 𝑆)
1817sseq1d 4013 . . . . 5 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) β†’ (𝑠 βŠ† π‘Ž ↔ 𝑆 βŠ† π‘Ž))
1916, 18rabeqbidv 3448 . . . 4 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) β†’ {π‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜π‘“) ∣ 𝑠 βŠ† π‘Ž} = {π‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜πΉ) ∣ 𝑆 βŠ† π‘Ž})
2019inteqd 4958 . . 3 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑠 = 𝑆) β†’ ∩ {π‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜π‘“) ∣ 𝑠 βŠ† π‘Ž} = ∩ {π‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜πΉ) ∣ 𝑆 βŠ† π‘Ž})
21 df-fldgen 33022 . . 3 fldGen = (𝑓 ∈ V, 𝑠 ∈ V ↦ ∩ {π‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜π‘“) ∣ 𝑠 βŠ† π‘Ž})
2220, 21ovmpoga 7581 . 2 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V ∧ ∩ {π‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜πΉ) ∣ 𝑆 βŠ† π‘Ž} ∈ V) β†’ (𝐹 fldGen 𝑆) = ∩ {π‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜πΉ) ∣ 𝑆 βŠ† π‘Ž})
232, 7, 14, 22syl3anc 1368 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 fldGen 𝑆) = ∩ {π‘Ž ∈ (SubDRingβ€˜πΉ) ∣ 𝑆 βŠ† π‘Ž})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3067  {crab 3430  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949  βˆ© cint 4953  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  DivRingcdr 20631  SubDRingcsdrg 20681   fldGen cfldgen 33021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mgp 20082  df-ur 20129  df-ring 20182  df-subrg 20515  df-drng 20633  df-sdrg 20682  df-fldgen 33022
This theorem is referenced by:  fldgenssid  33024  fldgensdrg  33025  fldgenssv  33026  fldgenss  33027  fldgenidfld  33028  fldgenssp  33029  primefldgen1  33032  evls1fldgencl  33391
  Copyright terms: Public domain W3C validator