MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aspval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aspval 21916
Description: Value of the algebraic closure operation inside an associative algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
aspval.a 𝐴 = (AlgSpan‘𝑊)
aspval.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
aspval.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
aspval ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆𝑉) → (𝐴𝑆) = {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆𝑡})
Distinct variable groups:   𝑡,𝐿   𝑡,𝑆   𝑡,𝑉   𝑡,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑡)

Proof of Theorem aspval
Dummy variables 𝑠 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aspval.a . . . . 5 𝐴 = (AlgSpan‘𝑊)
2 fveq2 6920 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑊 → (Base‘𝑤) = (Base‘𝑊))
3 aspval.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑊)
42, 3eqtr4di 2798 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑊 → (Base‘𝑤) = 𝑉)
54pweqd 4639 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → 𝒫 (Base‘𝑤) = 𝒫 𝑉)
6 fveq2 6920 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑊 → (SubRing‘𝑤) = (SubRing‘𝑊))
7 fveq2 6920 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑊 → (LSubSp‘𝑤) = (LSubSp‘𝑊))
8 aspval.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
97, 8eqtr4di 2798 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑊 → (LSubSp‘𝑤) = 𝐿)
106, 9ineq12d 4242 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑊 → ((SubRing‘𝑤) ∩ (LSubSp‘𝑤)) = ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿))
1110rabeqdv 3459 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑊 → {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑤) ∩ (LSubSp‘𝑤)) ∣ 𝑠𝑡} = {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡})
1211inteqd 4975 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑤) ∩ (LSubSp‘𝑤)) ∣ 𝑠𝑡} = {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡})
135, 12mpteq12dv 5257 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → (𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑤) ↦ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑤) ∩ (LSubSp‘𝑤)) ∣ 𝑠𝑡}) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡}))
14 df-asp 21897 . . . . . 6 AlgSpan = (𝑤 ∈ AssAlg ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑤) ↦ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑤) ∩ (LSubSp‘𝑤)) ∣ 𝑠𝑡}))
153fvexi 6934 . . . . . . . 8 𝑉 ∈ V
1615pwex 5398 . . . . . . 7 𝒫 𝑉 ∈ V
1716mptex 7260 . . . . . 6 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡}) ∈ V
1813, 14, 17fvmpt 7029 . . . . 5 (𝑊 ∈ AssAlg → (AlgSpan‘𝑊) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡}))
191, 18eqtrid 2792 . . . 4 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡}))
2019fveq1d 6922 . . 3 (𝑊 ∈ AssAlg → (𝐴𝑆) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡})‘𝑆))
2120adantr 480 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆𝑉) → (𝐴𝑆) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡})‘𝑆))
22 eqid 2740 . . 3 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡}) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡})
23 sseq1 4034 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → (𝑠𝑡𝑆𝑡))
2423rabbidv 3451 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 → {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡} = {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆𝑡})
2524inteqd 4975 . . 3 (𝑠 = 𝑆 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡} = {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆𝑡})
26 simpr 484 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆𝑉)
2715elpw2 5352 . . . 4 (𝑆 ∈ 𝒫 𝑉𝑆𝑉)
2826, 27sylibr 234 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝑉)
29 assaring 21904 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
303subrgid 20601 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Ring → 𝑉 ∈ (SubRing‘𝑊))
3129, 30syl 17 . . . . . 6 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑉 ∈ (SubRing‘𝑊))
32 assalmod 21903 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
333, 8lss1 20959 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝑉𝐿)
3432, 33syl 17 . . . . . 6 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑉𝐿)
3531, 34elind 4223 . . . . 5 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑉 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿))
36 sseq2 4035 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑉 → (𝑆𝑡𝑆𝑉))
3736rspcev 3635 . . . . 5 ((𝑉 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∧ 𝑆𝑉) → ∃𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿)𝑆𝑡)
3835, 37sylan 579 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆𝑉) → ∃𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿)𝑆𝑡)
39 intexrab 5365 . . . 4 (∃𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿)𝑆𝑡 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆𝑡} ∈ V)
4038, 39sylib 218 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆𝑉) → {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆𝑡} ∈ V)
4122, 25, 28, 40fvmptd3 7052 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆𝑉) → ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡})‘𝑆) = {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆𝑡})
4221, 41eqtrd 2780 1 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆𝑉) → (𝐴𝑆) = {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆𝑡})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  wrex 3076  {crab 3443  Vcvv 3488  cin 3975  wss 3976  𝒫 cpw 4622   cint 4970  cmpt 5249  cfv 6573  Basecbs 17258  Ringcrg 20260  SubRingcsubrg 20595  LModclmod 20880  LSubSpclss 20952  AssAlgcasa 21893  AlgSpancasp 21894
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-mgp 20162  df-ur 20209  df-ring 20262  df-subrg 20597  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-assa 21896  df-asp 21897
This theorem is referenced by:  asplss  21917  aspid  21918  aspsubrg  21919  aspss  21920  aspssid  21921  aspval2  21941
  Copyright terms: Public domain W3C validator