Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aspval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aspval 20557
 Description: Value of the algebraic closure operation inside an associative algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
aspval.a 𝐴 = (AlgSpan‘𝑊)
aspval.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
aspval.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
aspval ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆𝑉) → (𝐴𝑆) = {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆𝑡})
Distinct variable groups:   𝑡,𝐿   𝑡,𝑆   𝑡,𝑉   𝑡,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑡)

Proof of Theorem aspval
Dummy variables 𝑠 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aspval.a . . . . 5 𝐴 = (AlgSpan‘𝑊)
2 fveq2 6652 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑊 → (Base‘𝑤) = (Base‘𝑊))
3 aspval.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑊)
42, 3eqtr4di 2875 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑊 → (Base‘𝑤) = 𝑉)
54pweqd 4530 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → 𝒫 (Base‘𝑤) = 𝒫 𝑉)
6 fveq2 6652 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑊 → (SubRing‘𝑤) = (SubRing‘𝑊))
7 fveq2 6652 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑊 → (LSubSp‘𝑤) = (LSubSp‘𝑊))
8 aspval.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
97, 8eqtr4di 2875 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑊 → (LSubSp‘𝑤) = 𝐿)
106, 9ineq12d 4164 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑊 → ((SubRing‘𝑤) ∩ (LSubSp‘𝑤)) = ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿))
1110rabeqdv 3460 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑊 → {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑤) ∩ (LSubSp‘𝑤)) ∣ 𝑠𝑡} = {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡})
1211inteqd 4856 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑤) ∩ (LSubSp‘𝑤)) ∣ 𝑠𝑡} = {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡})
135, 12mpteq12dv 5127 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → (𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑤) ↦ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑤) ∩ (LSubSp‘𝑤)) ∣ 𝑠𝑡}) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡}))
14 df-asp 20541 . . . . . 6 AlgSpan = (𝑤 ∈ AssAlg ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑤) ↦ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑤) ∩ (LSubSp‘𝑤)) ∣ 𝑠𝑡}))
153fvexi 6666 . . . . . . . 8 𝑉 ∈ V
1615pwex 5258 . . . . . . 7 𝒫 𝑉 ∈ V
1716mptex 6968 . . . . . 6 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡}) ∈ V
1813, 14, 17fvmpt 6750 . . . . 5 (𝑊 ∈ AssAlg → (AlgSpan‘𝑊) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡}))
191, 18syl5eq 2869 . . . 4 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡}))
2019fveq1d 6654 . . 3 (𝑊 ∈ AssAlg → (𝐴𝑆) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡})‘𝑆))
2120adantr 484 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆𝑉) → (𝐴𝑆) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡})‘𝑆))
22 eqid 2822 . . 3 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡}) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡})
23 sseq1 3967 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → (𝑠𝑡𝑆𝑡))
2423rabbidv 3455 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 → {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡} = {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆𝑡})
2524inteqd 4856 . . 3 (𝑠 = 𝑆 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡} = {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆𝑡})
26 simpr 488 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆𝑉)
2715elpw2 5224 . . . 4 (𝑆 ∈ 𝒫 𝑉𝑆𝑉)
2826, 27sylibr 237 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝑉)
29 assaring 20548 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
303subrgid 19528 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Ring → 𝑉 ∈ (SubRing‘𝑊))
3129, 30syl 17 . . . . . 6 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑉 ∈ (SubRing‘𝑊))
32 assalmod 20547 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
333, 8lss1 19701 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝑉𝐿)
3432, 33syl 17 . . . . . 6 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑉𝐿)
3531, 34elind 4145 . . . . 5 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑉 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿))
36 sseq2 3968 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑉 → (𝑆𝑡𝑆𝑉))
3736rspcev 3598 . . . . 5 ((𝑉 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∧ 𝑆𝑉) → ∃𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿)𝑆𝑡)
3835, 37sylan 583 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆𝑉) → ∃𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿)𝑆𝑡)
39 intexrab 5219 . . . 4 (∃𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿)𝑆𝑡 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆𝑡} ∈ V)
4038, 39sylib 221 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆𝑉) → {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆𝑡} ∈ V)
4122, 25, 28, 40fvmptd3 6773 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆𝑉) → ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠𝑡})‘𝑆) = {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆𝑡})
4221, 41eqtrd 2857 1 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆𝑉) → (𝐴𝑆) = {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆𝑡})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3131  {crab 3134  Vcvv 3469   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908  𝒫 cpw 4511  ∩ cint 4851   ↦ cmpt 5122  ‘cfv 6334  Basecbs 16474  Ringcrg 19288  SubRingcsubrg 19522  LModclmod 19625  LSubSpclss 19694  AssAlgcasa 20537  AlgSpancasp 20538 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-subrg 19524  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-assa 20540  df-asp 20541 This theorem is referenced by:  asplss  20558  aspid  20559  aspsubrg  20560  aspss  20561  aspssid  20562  aspval2  20582
 Copyright terms: Public domain W3C validator