Theorem aspval 21823

Description: Value of the algebraic closure operation inside an associative algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
aspval.a	⊢ 𝐴 = (AlgSpan‘𝑊)
aspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
aspval.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
aspval	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐴‘𝑆) = ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})

Distinct variable groups:   𝑡,𝐿   𝑡,𝑆   𝑡,𝑉   𝑡,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑡)

Proof of Theorem aspval

Dummy variables 𝑠 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aspval.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (AlgSpan‘𝑊)
2		fveq2 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (Base‘𝑤) = (Base‘𝑊))
3		aspval.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4	2, 3	eqtr4di 2783	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (Base‘𝑤) = 𝑉)
5	4	pweqd 4621	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝒫 (Base‘𝑤) = 𝒫 𝑉)
6		fveq2 6896	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (SubRing‘𝑤) = (SubRing‘𝑊))
7		fveq2 6896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (LSubSp‘𝑤) = (LSubSp‘𝑊))
8		aspval.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
9	7, 8	eqtr4di 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (LSubSp‘𝑤) = 𝐿)
10	6, 9	ineq12d 4211	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((SubRing‘𝑤) ∩ (LSubSp‘𝑤)) = ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿))
11	10	rabeqdv 3434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑤) ∩ (LSubSp‘𝑤)) ∣ 𝑠 ⊆ 𝑡} = {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠 ⊆ 𝑡})
12	11	inteqd 4955	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑤) ∩ (LSubSp‘𝑤)) ∣ 𝑠 ⊆ 𝑡} = ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠 ⊆ 𝑡})
13	5, 12	mpteq12dv 5240	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑤) ↦ ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑤) ∩ (LSubSp‘𝑤)) ∣ 𝑠 ⊆ 𝑡}) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ↦ ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠 ⊆ 𝑡}))
14		df-asp 21805	. . . . . 6 ⊢ AlgSpan = (𝑤 ∈ AssAlg ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑤) ↦ ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑤) ∩ (LSubSp‘𝑤)) ∣ 𝑠 ⊆ 𝑡}))
15	3	fvexi 6910	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 ∈ V
16	15	pwex 5380	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 𝑉 ∈ V
17	16	mptex 7235	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ↦ ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠 ⊆ 𝑡}) ∈ V
18	13, 14, 17	fvmpt 7004	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (AlgSpan‘𝑊) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ↦ ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠 ⊆ 𝑡}))
19	1, 18	eqtrid 2777	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ↦ ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠 ⊆ 𝑡}))
20	19	fveq1d 6898	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (𝐴‘𝑆) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ↦ ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠 ⊆ 𝑡})‘𝑆))
21	20	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐴‘𝑆) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ↦ ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠 ⊆ 𝑡})‘𝑆))
22		eqid 2725	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ↦ ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠 ⊆ 𝑡}) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ↦ ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠 ⊆ 𝑡})
23		sseq1 4002	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑠 ⊆ 𝑡 ↔ 𝑆 ⊆ 𝑡))
24	23	rabbidv 3426	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠 ⊆ 𝑡} = {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})
25	24	inteqd 4955	. . 3 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠 ⊆ 𝑡} = ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})
26		simpr 483	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ 𝑉)
27	15	elpw2 5348	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ 𝑆 ⊆ 𝑉)
28	26, 27	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝑉)
29		assaring 21812	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
30	3	subrgid 20524	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝑉 ∈ (SubRing‘𝑊))
31	29, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑉 ∈ (SubRing‘𝑊))
32		assalmod 21811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
33	3, 8	lss1 20834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ∈ 𝐿)
34	32, 33	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑉 ∈ 𝐿)
35	31, 34	elind 4192	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑉 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿))
36		sseq2 4003	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑉 → (𝑆 ⊆ 𝑡 ↔ 𝑆 ⊆ 𝑉))
37	36	rspcev 3606	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ∃𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿)𝑆 ⊆ 𝑡)
38	35, 37	sylan 578	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ∃𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿)𝑆 ⊆ 𝑡)
39		intexrab 5343	. . . 4 ⊢ (∃𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿)𝑆 ⊆ 𝑡 ↔ ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ∈ V)
40	38, 39	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ∈ V)
41	22, 25, 28, 40	fvmptd3 7027	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ↦ ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑠 ⊆ 𝑡})‘𝑆) = ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})
42	21, 41	eqtrd 2765	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐴‘𝑆) = ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ 𝐿) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3059  {crab 3418  Vcvv 3461   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944  𝒫 cpw 4604  ∩ cint 4950   ↦ cmpt 5232  ‘cfv 6549  Basecbs 17183  Ringcrg 20185  SubRingcsubrg 20518  LModclmod 20755  LSubSpclss 20827  AssAlgcasa 21801  AlgSpancasp 21802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-0g 17426  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18901  df-mgp 20087  df-ur 20134  df-ring 20187  df-subrg 20520  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-assa 21804  df-asp 21805

This theorem is referenced by:  asplss  21824  aspid  21825  aspsubrg  21826  aspss  21827  aspssid  21828  aspval2  21848