Theorem onintrab2 7624

Description: An existence condition equivalent to an intersection's being an ordinal number. (Contributed by NM, 6-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
onintrab2	⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝜑 ↔ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ On)

Proof of Theorem onintrab2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intexrab 5259	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝜑 ↔ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ V)
2		onintrab 7623	. 2 ⊢ (∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ V ↔ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ On)
3	1, 2	bitri 274	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝜑 ↔ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ On)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064  {crab 3067  Vcvv 3422  ∩ cint 4876  Oncon0 6251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-br 5071  df-opab 5133  df-tr 5188  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-ord 6254  df-on 6255

This theorem is referenced by:  oeeulem  8394  cardmin2  9688  cardaleph  9776  cardmin  10251  naddcllem  33758  nosepon  33795