Theorem onintrab2 7800

Description: An existence condition equivalent to an intersection's being an ordinal number. (Contributed by NM, 6-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
onintrab2	⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝜑 ↔ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ On)

Proof of Theorem onintrab2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intexrab 5308	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝜑 ↔ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ V)
2		onintrab 7799	. 2 ⊢ (∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ V ↔ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ On)
3	1, 2	bitri 278	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝜑 ↔ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ On)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087  {crab 3413  Vcvv 3451  ∩ cint 4907  Oncon0 6355

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-ord 6358  df-on 6359

This theorem is used by:  oeeulem  8594  cofon1  8665  cofon2  8666  cofonr  8667  naddcllem  8669  naddunif  8687  cardmin2  10061  cardaleph  10149  cardmin  10629  nosepon  28004  onvf1odlem4  35858  nmulprop  36909  nmuladdel  36931  minregex  44493