Theorem spanval 29695

Description: Value of the linear span of a subset of Hilbert space. The span is the intersection of all subspaces constraining the subset. Definition of span in [Schechter] p. 276. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
spanval	⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem spanval

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-span 29671	. 2 ⊢ span = (𝑦 ∈ 𝒫 ℋ ↦ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑦 ⊆ 𝑥})
2		sseq1 3946	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ⊆ 𝑥 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑥))
3	2	rabbidv 3414	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑦 ⊆ 𝑥} = {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
4	3	inteqd 4884	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑦 ⊆ 𝑥} = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
5		ax-hilex 29361	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ V
6	5	elpw2 5269	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 ℋ ↔ 𝐴 ⊆ ℋ)
7	6	biimpri 227	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ∈ 𝒫 ℋ)
8		helsh 29607	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ Sℋ
9		sseq2 3947	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ℋ → (𝐴 ⊆ 𝑥 ↔ 𝐴 ⊆ ℋ))
10	9	rspcev 3561	. . . 4 ⊢ (( ℋ ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ⊆ ℋ) → ∃𝑥 ∈ Sℋ 𝐴 ⊆ 𝑥)
11	8, 10	mpan 687	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ∃𝑥 ∈ Sℋ 𝐴 ⊆ 𝑥)
12		intexrab 5264	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ Sℋ 𝐴 ⊆ 𝑥 ↔ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ∈ V)
13	11, 12	sylib 217	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ∈ V)
14	1, 4, 7, 13	fvmptd3 6898	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065  {crab 3068  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  𝒫 cpw 4533  ∩ cint 4879  ‘cfv 6433   ℋchba 29281   S_ℋ csh 29290  spancspn 29294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-1cn 10929  ax-addcl 10931  ax-hilex 29361  ax-hfvadd 29362  ax-hv0cl 29365  ax-hfvmul 29367

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-map 8617  df-nn 11974  df-hlim 29334  df-sh 29569  df-ch 29583  df-span 29671

This theorem is referenced by:  spancl  29698  spanss2  29707  spanid  29709  spanss  29710  shsval3i  29750  elspani  29905