Theorem spanval 31262

Description: Value of the linear span of a subset of Hilbert space. The span is the intersection of all subspaces constraining the subset. Definition of span in [Schechter] p. 276. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
spanval	⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem spanval

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-span 31238	. 2 ⊢ span = (𝑦 ∈ 𝒫 ℋ ↦ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑦 ⊆ 𝑥})
2		sseq1 3972	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ⊆ 𝑥 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑥))
3	2	rabbidv 3413	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑦 ⊆ 𝑥} = {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
4	3	inteqd 4915	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑦 ⊆ 𝑥} = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
5		ax-hilex 30928	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ V
6	5	elpw2 5289	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 ℋ ↔ 𝐴 ⊆ ℋ)
7	6	biimpri 228	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ∈ 𝒫 ℋ)
8		helsh 31174	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ Sℋ
9		sseq2 3973	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ℋ → (𝐴 ⊆ 𝑥 ↔ 𝐴 ⊆ ℋ))
10	9	rspcev 3588	. . . 4 ⊢ (( ℋ ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ⊆ ℋ) → ∃𝑥 ∈ Sℋ 𝐴 ⊆ 𝑥)
11	8, 10	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ∃𝑥 ∈ Sℋ 𝐴 ⊆ 𝑥)
12		intexrab 5302	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ Sℋ 𝐴 ⊆ 𝑥 ↔ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ∈ V)
13	11, 12	sylib 218	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ∈ V)
14	1, 4, 7, 13	fvmptd3 6991	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {crab 3405  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  𝒫 cpw 4563  ∩ cint 4910  ‘cfv 6511   ℋchba 30848   S_ℋ csh 30857  spancspn 30861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-1cn 11126  ax-addcl 11128  ax-hilex 30928  ax-hfvadd 30929  ax-hv0cl 30932  ax-hfvmul 30934

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-map 8801  df-nn 12187  df-hlim 30901  df-sh 31136  df-ch 31150  df-span 31238

This theorem is referenced by:  spancl  31265  spanss2  31274  spanid  31276  spanss  31277  shsval3i  31317  elspani  31472