HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spanval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spanval 31362
Description: Value of the linear span of a subset of Hilbert space. The span is the intersection of all subspaces constraining the subset. Definition of span in [Schechter] p. 276. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
spanval (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) = {𝑥S𝐴𝑥})
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem spanval
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-span 31338 . 2 span = (𝑦 ∈ 𝒫 ℋ ↦ {𝑥S𝑦𝑥})
2 sseq1 4021 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦𝑥𝐴𝑥))
32rabbidv 3441 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → {𝑥S𝑦𝑥} = {𝑥S𝐴𝑥})
43inteqd 4956 . 2 (𝑦 = 𝐴 {𝑥S𝑦𝑥} = {𝑥S𝐴𝑥})
5 ax-hilex 31028 . . . 4 ℋ ∈ V
65elpw2 5340 . . 3 (𝐴 ∈ 𝒫 ℋ ↔ 𝐴 ⊆ ℋ)
76biimpri 228 . 2 (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ∈ 𝒫 ℋ)
8 helsh 31274 . . . 4 ℋ ∈ S
9 sseq2 4022 . . . . 5 (𝑥 = ℋ → (𝐴𝑥𝐴 ⊆ ℋ))
109rspcev 3622 . . . 4 (( ℋ ∈ S𝐴 ⊆ ℋ) → ∃𝑥S 𝐴𝑥)
118, 10mpan 690 . . 3 (𝐴 ⊆ ℋ → ∃𝑥S 𝐴𝑥)
12 intexrab 5353 . . 3 (∃𝑥S 𝐴𝑥 {𝑥S𝐴𝑥} ∈ V)
1311, 12sylib 218 . 2 (𝐴 ⊆ ℋ → {𝑥S𝐴𝑥} ∈ V)
141, 4, 7, 13fvmptd3 7039 1 (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) = {𝑥S𝐴𝑥})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  {crab 3433  Vcvv 3478  wss 3963  𝒫 cpw 4605   cint 4951  cfv 6563  chba 30948   S csh 30957  spancspn 30961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-1cn 11211  ax-addcl 11213  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hv0cl 31032  ax-hfvmul 31034
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-map 8867  df-nn 12265  df-hlim 31001  df-sh 31236  df-ch 31250  df-span 31338
This theorem is referenced by:  spancl  31365  spanss2  31374  spanid  31376  spanss  31377  shsval3i  31417  elspani  31572
  Copyright terms: Public domain W3C validator