HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spanval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spanval 31019
Description: Value of the linear span of a subset of Hilbert space. The span is the intersection of all subspaces constraining the subset. Definition of span in [Schechter] p. 276. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
spanval (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) = {𝑥S𝐴𝑥})
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem spanval
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-span 30995 . 2 span = (𝑦 ∈ 𝒫 ℋ ↦ {𝑥S𝑦𝑥})
2 sseq1 4007 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦𝑥𝐴𝑥))
32rabbidv 3439 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → {𝑥S𝑦𝑥} = {𝑥S𝐴𝑥})
43inteqd 4955 . 2 (𝑦 = 𝐴 {𝑥S𝑦𝑥} = {𝑥S𝐴𝑥})
5 ax-hilex 30685 . . . 4 ℋ ∈ V
65elpw2 5345 . . 3 (𝐴 ∈ 𝒫 ℋ ↔ 𝐴 ⊆ ℋ)
76biimpri 227 . 2 (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ∈ 𝒫 ℋ)
8 helsh 30931 . . . 4 ℋ ∈ S
9 sseq2 4008 . . . . 5 (𝑥 = ℋ → (𝐴𝑥𝐴 ⊆ ℋ))
109rspcev 3612 . . . 4 (( ℋ ∈ S𝐴 ⊆ ℋ) → ∃𝑥S 𝐴𝑥)
118, 10mpan 687 . . 3 (𝐴 ⊆ ℋ → ∃𝑥S 𝐴𝑥)
12 intexrab 5340 . . 3 (∃𝑥S 𝐴𝑥 {𝑥S𝐴𝑥} ∈ V)
1311, 12sylib 217 . 2 (𝐴 ⊆ ℋ → {𝑥S𝐴𝑥} ∈ V)
141, 4, 7, 13fvmptd3 7021 1 (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) = {𝑥S𝐴𝑥})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2105  wrex 3069  {crab 3431  Vcvv 3473  wss 3948  𝒫 cpw 4602   cint 4950  cfv 6543  chba 30605   S csh 30614  spancspn 30618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-1cn 11174  ax-addcl 11176  ax-hilex 30685  ax-hfvadd 30686  ax-hv0cl 30689  ax-hfvmul 30691
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-map 8828  df-nn 12220  df-hlim 30658  df-sh 30893  df-ch 30907  df-span 30995
This theorem is referenced by:  spancl  31022  spanss2  31031  spanid  31033  spanss  31034  shsval3i  31074  elspani  31229
  Copyright terms: Public domain W3C validator