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Theorem istrkge 28281
Description: Property of fulfilling Euclid's axiom. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
istrkg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
istrkg.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
istrkg.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
istrkge (𝐺 ∈ TarskiGE ↔ (𝐺 ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 βˆ€π‘’ ∈ 𝑃 βˆ€π‘£ ∈ 𝑃 ((𝑒 ∈ (π‘₯𝐼𝑣) ∧ 𝑒 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (π‘₯πΌπ‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (π‘ŽπΌπ‘)))))
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐼   𝑃,π‘Ž,𝑏,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   βˆ’ ,π‘Ž,𝑏,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑣,𝑒,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem istrkge
Dummy variables 𝑓 𝑖 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 istrkg.p . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 istrkg.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
3 simpl 481 . . . 4 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ 𝑝 = 𝑃)
4 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ 𝑖 = 𝐼)
54oveqd 7443 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (π‘₯𝑖𝑣) = (π‘₯𝐼𝑣))
65eleq2d 2815 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (𝑒 ∈ (π‘₯𝑖𝑣) ↔ 𝑒 ∈ (π‘₯𝐼𝑣)))
74oveqd 7443 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (𝑦𝑖𝑧) = (𝑦𝐼𝑧))
87eleq2d 2815 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (𝑒 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ↔ 𝑒 ∈ (𝑦𝐼𝑧)))
96, 83anbi12d 1433 . . . . . . . . 9 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ ((𝑒 ∈ (π‘₯𝑖𝑣) ∧ 𝑒 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) ↔ (𝑒 ∈ (π‘₯𝐼𝑣) ∧ 𝑒 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ π‘₯ β‰  𝑒)))
104oveqd 7443 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (π‘₯π‘–π‘Ž) = (π‘₯πΌπ‘Ž))
1110eleq2d 2815 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯π‘–π‘Ž) ↔ 𝑦 ∈ (π‘₯πΌπ‘Ž)))
124oveqd 7443 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (π‘₯𝑖𝑏) = (π‘₯𝐼𝑏))
1312eleq2d 2815 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (𝑧 ∈ (π‘₯𝑖𝑏) ↔ 𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑏)))
144oveqd 7443 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (π‘Žπ‘–π‘) = (π‘ŽπΌπ‘))
1514eleq2d 2815 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (𝑣 ∈ (π‘Žπ‘–π‘) ↔ 𝑣 ∈ (π‘ŽπΌπ‘)))
1611, 13, 153anbi123d 1432 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ ((𝑦 ∈ (π‘₯π‘–π‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (π‘Žπ‘–π‘)) ↔ (𝑦 ∈ (π‘₯πΌπ‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))))
173, 16rexeqbidv 3341 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (π‘₯π‘–π‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (π‘Žπ‘–π‘)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (π‘₯πΌπ‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))))
183, 17rexeqbidv 3341 . . . . . . . . 9 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑝 βˆƒπ‘ ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (π‘₯π‘–π‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (π‘Žπ‘–π‘)) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (π‘₯πΌπ‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))))
199, 18imbi12d 343 . . . . . . . 8 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (((𝑒 ∈ (π‘₯𝑖𝑣) ∧ 𝑒 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑝 βˆƒπ‘ ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (π‘₯π‘–π‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (π‘Žπ‘–π‘))) ↔ ((𝑒 ∈ (π‘₯𝐼𝑣) ∧ 𝑒 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (π‘₯πΌπ‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (π‘ŽπΌπ‘)))))
203, 19raleqbidv 3340 . . . . . . 7 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑝 ((𝑒 ∈ (π‘₯𝑖𝑣) ∧ 𝑒 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑝 βˆƒπ‘ ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (π‘₯π‘–π‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (π‘Žπ‘–π‘))) ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑃 ((𝑒 ∈ (π‘₯𝐼𝑣) ∧ 𝑒 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (π‘₯πΌπ‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (π‘ŽπΌπ‘)))))
213, 20raleqbidv 3340 . . . . . 6 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝑝 βˆ€π‘£ ∈ 𝑝 ((𝑒 ∈ (π‘₯𝑖𝑣) ∧ 𝑒 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑝 βˆƒπ‘ ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (π‘₯π‘–π‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (π‘Žπ‘–π‘))) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝑃 βˆ€π‘£ ∈ 𝑃 ((𝑒 ∈ (π‘₯𝐼𝑣) ∧ 𝑒 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (π‘₯πΌπ‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (π‘ŽπΌπ‘)))))
223, 21raleqbidv 3340 . . . . 5 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑝 βˆ€π‘’ ∈ 𝑝 βˆ€π‘£ ∈ 𝑝 ((𝑒 ∈ (π‘₯𝑖𝑣) ∧ 𝑒 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑝 βˆƒπ‘ ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (π‘₯π‘–π‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (π‘Žπ‘–π‘))) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 βˆ€π‘’ ∈ 𝑃 βˆ€π‘£ ∈ 𝑃 ((𝑒 ∈ (π‘₯𝐼𝑣) ∧ 𝑒 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (π‘₯πΌπ‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (π‘ŽπΌπ‘)))))
233, 22raleqbidv 3340 . . . 4 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑝 βˆ€π‘§ ∈ 𝑝 βˆ€π‘’ ∈ 𝑝 βˆ€π‘£ ∈ 𝑝 ((𝑒 ∈ (π‘₯𝑖𝑣) ∧ 𝑒 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑝 βˆƒπ‘ ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (π‘₯π‘–π‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (π‘Žπ‘–π‘))) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 βˆ€π‘’ ∈ 𝑃 βˆ€π‘£ ∈ 𝑃 ((𝑒 ∈ (π‘₯𝐼𝑣) ∧ 𝑒 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (π‘₯πΌπ‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (π‘ŽπΌπ‘)))))
243, 23raleqbidv 3340 . . 3 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑝 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑝 βˆ€π‘§ ∈ 𝑝 βˆ€π‘’ ∈ 𝑝 βˆ€π‘£ ∈ 𝑝 ((𝑒 ∈ (π‘₯𝑖𝑣) ∧ 𝑒 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑝 βˆƒπ‘ ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (π‘₯π‘–π‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (π‘Žπ‘–π‘))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 βˆ€π‘’ ∈ 𝑃 βˆ€π‘£ ∈ 𝑃 ((𝑒 ∈ (π‘₯𝐼𝑣) ∧ 𝑒 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (π‘₯πΌπ‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (π‘ŽπΌπ‘)))))
251, 2, 24sbcie2s 17137 . 2 (𝑓 = 𝐺 β†’ ([(Baseβ€˜π‘“) / 𝑝][(Itvβ€˜π‘“) / 𝑖]βˆ€π‘₯ ∈ 𝑝 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑝 βˆ€π‘§ ∈ 𝑝 βˆ€π‘’ ∈ 𝑝 βˆ€π‘£ ∈ 𝑝 ((𝑒 ∈ (π‘₯𝑖𝑣) ∧ 𝑒 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑝 βˆƒπ‘ ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (π‘₯π‘–π‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (π‘Žπ‘–π‘))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 βˆ€π‘’ ∈ 𝑃 βˆ€π‘£ ∈ 𝑃 ((𝑒 ∈ (π‘₯𝐼𝑣) ∧ 𝑒 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (π‘₯πΌπ‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (π‘ŽπΌπ‘)))))
26 df-trkge 28275 . 2 TarskiGE = {𝑓 ∣ [(Baseβ€˜π‘“) / 𝑝][(Itvβ€˜π‘“) / 𝑖]βˆ€π‘₯ ∈ 𝑝 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑝 βˆ€π‘§ ∈ 𝑝 βˆ€π‘’ ∈ 𝑝 βˆ€π‘£ ∈ 𝑝 ((𝑒 ∈ (π‘₯𝑖𝑣) ∧ 𝑒 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑝 βˆƒπ‘ ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (π‘₯π‘–π‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (π‘Žπ‘–π‘)))}
2725, 26elab4g 3674 1 (𝐺 ∈ TarskiGE ↔ (𝐺 ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 βˆ€π‘’ ∈ 𝑃 βˆ€π‘£ ∈ 𝑃 ((𝑒 ∈ (π‘₯𝐼𝑣) ∧ 𝑒 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (π‘₯πΌπ‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (π‘ŽπΌπ‘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067  Vcvv 3473  [wsbc 3778  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  distcds 17249  TarskiGEcstrkge 28256  Itvcitv 28257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2699  ax-nul 5310
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-iota 6505  df-fv 6561  df-ov 7429  df-trkge 28275
This theorem is referenced by:  axtgeucl  28296  f1otrge  28696  eengtrkge  28818
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