Theorem istrkge 27399

Description: Property of fulfilling Euclid's axiom. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
istrkg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
istrkg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
istrkg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
istrkge	⊢ (𝐺 ∈ TarskiGE ↔ (𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧,𝐼   𝑃,𝑎,𝑏,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   − ,𝑎,𝑏,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem istrkge

Dummy variables 𝑓 𝑖 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istrkg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		istrkg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝑝 = 𝑃)
4	3	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝑃 = 𝑝)
5	4	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → 𝑃 = 𝑝)
6	5	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → 𝑃 = 𝑝)
7	6	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) → 𝑃 = 𝑝)
8	7	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) → 𝑃 = 𝑝)
9		simp-6r 786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) → 𝑖 = 𝐼)
10	9	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) → 𝐼 = 𝑖)
11	10	oveqd 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) → (𝑥𝐼𝑣) = (𝑥𝑖𝑣))
12	11	eleq2d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) → (𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ↔ 𝑢 ∈ (𝑥𝑖𝑣)))
13	10	oveqd 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) → (𝑦𝐼𝑧) = (𝑦𝑖𝑧))
14	13	eleq2d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) → (𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ↔ 𝑢 ∈ (𝑦𝑖𝑧)))
15	12, 14	3anbi12d 1437	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) → ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ↔ (𝑢 ∈ (𝑥𝑖𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢)))
16	8	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) → 𝑃 = 𝑝)
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) → 𝑃 = 𝑝)
18	9	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝑖 = 𝐼)
19	18	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝐼 = 𝑖)
20	19	oveqd 7374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → (𝑥𝐼𝑎) = (𝑥𝑖𝑎))
21	20	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ↔ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑎)))
22	19	oveqd 7374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → (𝑥𝐼𝑏) = (𝑥𝑖𝑏))
23	22	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ↔ 𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑏)))
24	19	oveqd 7374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → (𝑎𝐼𝑏) = (𝑎𝑖𝑏))
25	24	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → (𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ↔ 𝑣 ∈ (𝑎𝑖𝑏)))
26	21, 23, 25	3anbi123d 1436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → ((𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝑖𝑏))))
27	17, 26	rexeqbidva 3322	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) → (∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝑖𝑏))))
28	16, 27	rexeqbidva 3322	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) → (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝑖𝑏))))
29	15, 28	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) → (((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) ↔ ((𝑢 ∈ (𝑥𝑖𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝑖𝑏)))))
30	8, 29	raleqbidva 3321	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) → (∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑝 ((𝑢 ∈ (𝑥𝑖𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝑖𝑏)))))
31	7, 30	raleqbidva 3321	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑝 ∀𝑣 ∈ 𝑝 ((𝑢 ∈ (𝑥𝑖𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝑖𝑏)))))
32	6, 31	raleqbidva 3321	. . . . 5 ⊢ ((((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → (∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑝 ∀𝑢 ∈ 𝑝 ∀𝑣 ∈ 𝑝 ((𝑢 ∈ (𝑥𝑖𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝑖𝑏)))))
33	5, 32	raleqbidva 3321	. . . 4 ⊢ (((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → (∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑝 ∀𝑧 ∈ 𝑝 ∀𝑢 ∈ 𝑝 ∀𝑣 ∈ 𝑝 ((𝑢 ∈ (𝑥𝑖𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝑖𝑏)))))
34	4, 33	raleqbidva 3321	. . 3 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑝 ∀𝑦 ∈ 𝑝 ∀𝑧 ∈ 𝑝 ∀𝑢 ∈ 𝑝 ∀𝑣 ∈ 𝑝 ((𝑢 ∈ (𝑥𝑖𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝑖𝑏)))))
35	1, 2, 34	sbcie2s 17033	. 2 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → ([(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖]∀𝑥 ∈ 𝑝 ∀𝑦 ∈ 𝑝 ∀𝑧 ∈ 𝑝 ∀𝑢 ∈ 𝑝 ∀𝑣 ∈ 𝑝 ((𝑢 ∈ (𝑥𝑖𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝑖𝑏))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
36		df-trkge 27393	. 2 ⊢ TarskiGE = {𝑓 ∣ [(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖]∀𝑥 ∈ 𝑝 ∀𝑦 ∈ 𝑝 ∀𝑧 ∈ 𝑝 ∀𝑢 ∈ 𝑝 ∀𝑣 ∈ 𝑝 ((𝑢 ∈ (𝑥𝑖𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝑖𝑏)))}
37	35, 36	elab4g 3635	1 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiGE ↔ (𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  Vcvv 3445  [wsbc 3739  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  distcds 17142  TarskiG_Ecstrkge 27374  Itvcitv 27375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2707  ax-nul 5263

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-iota 6448  df-fv 6504  df-ov 7360  df-trkge 27393

This theorem is referenced by:  axtgeucl  27414  f1otrge  27814  eengtrkge  27936