Theorem istrkge 28541

Description: Property of fulfilling Euclid's axiom. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
istrkg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
istrkg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
istrkg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
istrkge	⊢ (𝐺 ∈ TarskiGE ↔ (𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧,𝐼   𝑃,𝑎,𝑏,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   − ,𝑎,𝑏,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem istrkge

Dummy variables 𝑓 𝑖 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istrkg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		istrkg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝑝 = 𝑃)
4		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝑖 = 𝐼)
5	4	oveqd 7385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (𝑥𝑖𝑣) = (𝑥𝐼𝑣))
6	5	eleq2d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (𝑢 ∈ (𝑥𝑖𝑣) ↔ 𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣)))
7	4	oveqd 7385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (𝑦𝑖𝑧) = (𝑦𝐼𝑧))
8	7	eleq2d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (𝑢 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ↔ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧)))
9	6, 8	3anbi12d 1440	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → ((𝑢 ∈ (𝑥𝑖𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ↔ (𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢)))
10	4	oveqd 7385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (𝑥𝑖𝑎) = (𝑥𝐼𝑎))
11	10	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑎) ↔ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎)))
12	4	oveqd 7385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (𝑥𝑖𝑏) = (𝑥𝐼𝑏))
13	12	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑏) ↔ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏)))
14	4	oveqd 7385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (𝑎𝑖𝑏) = (𝑎𝐼𝑏))
15	14	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (𝑣 ∈ (𝑎𝑖𝑏) ↔ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))
16	11, 13, 15	3anbi123d 1439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → ((𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝑖𝑏)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
17	3, 16	rexeqbidv 3319	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝑖𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
18	3, 17	rexeqbidv 3319	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝑖𝑏)) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
19	9, 18	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (((𝑢 ∈ (𝑥𝑖𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝑖𝑏))) ↔ ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
20	3, 19	raleqbidv 3318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (∀𝑣 ∈ 𝑝 ((𝑢 ∈ (𝑥𝑖𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝑖𝑏))) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
21	3, 20	raleqbidv 3318	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (∀𝑢 ∈ 𝑝 ∀𝑣 ∈ 𝑝 ((𝑢 ∈ (𝑥𝑖𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝑖𝑏))) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
22	3, 21	raleqbidv 3318	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (∀𝑧 ∈ 𝑝 ∀𝑢 ∈ 𝑝 ∀𝑣 ∈ 𝑝 ((𝑢 ∈ (𝑥𝑖𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝑖𝑏))) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
23	3, 22	raleqbidv 3318	. . . 4 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (∀𝑦 ∈ 𝑝 ∀𝑧 ∈ 𝑝 ∀𝑢 ∈ 𝑝 ∀𝑣 ∈ 𝑝 ((𝑢 ∈ (𝑥𝑖𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝑖𝑏))) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
24	3, 23	raleqbidv 3318	. . 3 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (∀𝑥 ∈ 𝑝 ∀𝑦 ∈ 𝑝 ∀𝑧 ∈ 𝑝 ∀𝑢 ∈ 𝑝 ∀𝑣 ∈ 𝑝 ((𝑢 ∈ (𝑥𝑖𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝑖𝑏))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
25	1, 2, 24	sbcie2s 17100	. 2 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → ([(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖]∀𝑥 ∈ 𝑝 ∀𝑦 ∈ 𝑝 ∀𝑧 ∈ 𝑝 ∀𝑢 ∈ 𝑝 ∀𝑣 ∈ 𝑝 ((𝑢 ∈ (𝑥𝑖𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝑖𝑏))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
26		df-trkge 28535	. 2 ⊢ TarskiGE = {𝑓 ∣ [(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖]∀𝑥 ∈ 𝑝 ∀𝑦 ∈ 𝑝 ∀𝑧 ∈ 𝑝 ∀𝑢 ∈ 𝑝 ∀𝑣 ∈ 𝑝 ((𝑢 ∈ (𝑥𝑖𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝑖𝑏)))}
27	25, 26	elab4g 3640	1 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiGE ↔ (𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3442  [wsbc 3742  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  distcds 17198  TarskiG_Ecstrkge 28516  Itvcitv 28517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-nul 5253

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-iota 6456  df-fv 6508  df-ov 7371  df-trkge 28535

This theorem is referenced by:  axtgeucl  28556  f1otrge  28956  eengtrkge  29072