Theorem istrkge 28757

Description: Property of fulfilling Euclid's axiom. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
istrkg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
istrkg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
istrkg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
istrkge	⊢ (𝐺 ∈ TarskiGE ↔ (𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧,𝐼   𝑃,𝑎,𝑏,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   − ,𝑎,𝑏,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑣, 𝑢, 𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem istrkge

Dummy variables 𝑓 𝑖 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istrkg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		istrkg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝑝 = 𝑃)
4		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝑖 = 𝐼)
5	4	oveqd 7433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (𝑥𝑖𝑣) = (𝑥𝐼𝑣))
6	5	eleq2d 2851	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (𝑢 ∈ (𝑥𝑖𝑣) ↔ 𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣)))
7	4	oveqd 7433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (𝑦𝑖𝑧) = (𝑦𝐼𝑧))
8	7	eleq2d 2851	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (𝑢 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ↔ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧)))
9	6, 8	3anbi12d 1465	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → ((𝑢 ∈ (𝑥𝑖𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ↔ (𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢)))
10	4	oveqd 7433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (𝑥𝑖𝑎) = (𝑥𝐼𝑎))
11	10	eleq2d 2851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑎) ↔ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎)))
12	4	oveqd 7433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (𝑥𝑖𝑏) = (𝑥𝐼𝑏))
13	12	eleq2d 2851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑏) ↔ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏)))
14	4	oveqd 7433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (𝑎𝑖𝑏) = (𝑎𝐼𝑏))
15	14	eleq2d 2851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (𝑣 ∈ (𝑎𝑖𝑏) ↔ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))
16	11, 13, 15	3anbi123d 1464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → ((𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝑖𝑏)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
17	3, 16	rexeqbidv 3341	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝑖𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
18	3, 17	rexeqbidv 3341	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝑖𝑏)) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
19	9, 18	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (((𝑢 ∈ (𝑥𝑖𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝑖𝑏))) ↔ ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
20	3, 19	raleqbidv 3340	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (∀𝑣 ∈ 𝑝 ((𝑢 ∈ (𝑥𝑖𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝑖𝑏))) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
21	3, 20	raleqbidv 3340	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (∀𝑢 ∈ 𝑝 ∀𝑣 ∈ 𝑝 ((𝑢 ∈ (𝑥𝑖𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝑖𝑏))) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
22	3, 21	raleqbidv 3340	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (∀𝑧 ∈ 𝑝 ∀𝑢 ∈ 𝑝 ∀𝑣 ∈ 𝑝 ((𝑢 ∈ (𝑥𝑖𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝑖𝑏))) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
23	3, 22	raleqbidv 3340	. . . 4 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (∀𝑦 ∈ 𝑝 ∀𝑧 ∈ 𝑝 ∀𝑢 ∈ 𝑝 ∀𝑣 ∈ 𝑝 ((𝑢 ∈ (𝑥𝑖𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝑖𝑏))) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
24	3, 23	raleqbidv 3340	. . 3 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (∀𝑥 ∈ 𝑝 ∀𝑦 ∈ 𝑝 ∀𝑧 ∈ 𝑝 ∀𝑢 ∈ 𝑝 ∀𝑣 ∈ 𝑝 ((𝑢 ∈ (𝑥𝑖𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝑖𝑏))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
25	1, 2, 24	sbcie2s 17239	. 2 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → ([(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖]∀𝑥 ∈ 𝑝 ∀𝑦 ∈ 𝑝 ∀𝑧 ∈ 𝑝 ∀𝑢 ∈ 𝑝 ∀𝑣 ∈ 𝑝 ((𝑢 ∈ (𝑥𝑖𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝑖𝑏))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
26		df-trkge 28751	. 2 ⊢ TarskiGE = {𝑓 ∣ [(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖]∀𝑥 ∈ 𝑝 ∀𝑦 ∈ 𝑝 ∀𝑧 ∈ 𝑝 ∀𝑢 ∈ 𝑝 ∀𝑣 ∈ 𝑝 ((𝑢 ∈ (𝑥𝑖𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝑖𝑏)))}
27	25, 26	elab4g 3644	1 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiGE ↔ (𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  Vcvv 3457  [wsbc 3746  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17287  distcds 17337  TarskiG_Ecstrkge 28732  Itvcitv 28733

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-nul 5271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-iota 6496  df-fv 6548  df-ov 7419  df-trkge 28751

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