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Theorem axtgeucl 28495
Description: Euclid's Axiom. Axiom A10 of [Schwabhauser] p. 13. This is equivalent to Euclid's parallel postulate when combined with other axioms. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
axtrkge.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
axtrkge.d = (dist‘𝐺)
axtrkge.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
axtgeucl.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiGE)
axtgeucl.1 (𝜑𝑋𝑃)
axtgeucl.2 (𝜑𝑌𝑃)
axtgeucl.3 (𝜑𝑍𝑃)
axtgeucl.4 (𝜑𝑈𝑃)
axtgeucl.5 (𝜑𝑉𝑃)
axtgeucl.6 (𝜑𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑉))
axtgeucl.7 (𝜑𝑈 ∈ (𝑌𝐼𝑍))
axtgeucl.8 (𝜑𝑋𝑈)
Assertion
Ref Expression
axtgeucl (𝜑 → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑉 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐼   𝑃,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   𝑈,𝑎,𝑏   𝑋,𝑎,𝑏   𝑌,𝑎,𝑏   𝑍,𝑎,𝑏   ,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem axtgeucl
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axtgeucl.6 . 2 (𝜑𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑉))
2 axtgeucl.7 . 2 (𝜑𝑈 ∈ (𝑌𝐼𝑍))
3 axtgeucl.8 . 2 (𝜑𝑋𝑈)
4 axtgeucl.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiGE)
5 axtrkge.p . . . . . . 7 𝑃 = (Base‘𝐺)
6 axtrkge.d . . . . . . 7 = (dist‘𝐺)
7 axtrkge.i . . . . . . 7 𝐼 = (Itv‘𝐺)
85, 6, 7istrkge 28480 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TarskiGE ↔ (𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃𝑢𝑃𝑣𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
94, 8sylib 218 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃𝑢𝑃𝑣𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
109simprd 495 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃𝑢𝑃𝑣𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
11 axtgeucl.1 . . . . 5 (𝜑𝑋𝑃)
12 axtgeucl.2 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑃)
13 axtgeucl.3 . . . . 5 (𝜑𝑍𝑃)
14 oveq1 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐼𝑣) = (𝑋𝐼𝑣))
1514eleq2d 2825 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ↔ 𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣)))
16 neeq1 3001 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝑢𝑋𝑢))
1715, 163anbi13d 1437 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥𝑢) ↔ (𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑋𝑢)))
18 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐼𝑎) = (𝑋𝐼𝑎))
1918eleq2d 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ↔ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑎)))
20 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐼𝑏) = (𝑋𝐼𝑏))
2120eleq2d 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ↔ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏)))
2219, 213anbi12d 1436 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
23222rexbidv 3220 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)) ↔ ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
2417, 23imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) ↔ ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑋𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
25242ralbidv 3219 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑢𝑃𝑣𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) ↔ ∀𝑢𝑃𝑣𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑋𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
26 oveq1 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑌 → (𝑦𝐼𝑧) = (𝑌𝐼𝑧))
2726eleq2d 2825 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑌 → (𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ↔ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑧)))
28273anbi2d 1440 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑌 → ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑋𝑢) ↔ (𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ∧ 𝑋𝑢)))
29 eleq1 2827 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎)))
30293anbi1d 1439 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑌 → ((𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)) ↔ (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
31302rexbidv 3220 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑌 → (∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)) ↔ ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
3228, 31imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌 → (((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑋𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) ↔ ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ∧ 𝑋𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
33322ralbidv 3219 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑌 → (∀𝑢𝑃𝑣𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑋𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) ↔ ∀𝑢𝑃𝑣𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ∧ 𝑋𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
34 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑍 → (𝑌𝐼𝑧) = (𝑌𝐼𝑍))
3534eleq2d 2825 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑍 → (𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ↔ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑍)))
36353anbi2d 1440 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑍 → ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ∧ 𝑋𝑢) ↔ (𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋𝑢)))
37 eleq1 2827 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑍 → (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ↔ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏)))
38373anbi2d 1440 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑍 → ((𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)) ↔ (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
39382rexbidv 3220 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑍 → (∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)) ↔ ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
4036, 39imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑍 → (((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ∧ 𝑋𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) ↔ ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
41402ralbidv 3219 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑍 → (∀𝑢𝑃𝑣𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ∧ 𝑋𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) ↔ ∀𝑢𝑃𝑣𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
4225, 33, 41rspc3v 3638 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑍𝑃) → (∀𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃𝑢𝑃𝑣𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) → ∀𝑢𝑃𝑣𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
4311, 12, 13, 42syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃𝑢𝑃𝑣𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) → ∀𝑢𝑃𝑣𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
4410, 43mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∀𝑢𝑃𝑣𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
45 axtgeucl.4 . . . 4 (𝜑𝑈𝑃)
46 axtgeucl.5 . . . 4 (𝜑𝑉𝑃)
47 eleq1 2827 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → (𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ↔ 𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑣)))
48 eleq1 2827 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → (𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ↔ 𝑈 ∈ (𝑌𝐼𝑍)))
49 neeq2 3002 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → (𝑋𝑢𝑋𝑈))
5047, 48, 493anbi123d 1435 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋𝑢) ↔ (𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑈 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋𝑈)))
5150imbi1d 341 . . . . 5 (𝑢 = 𝑈 → (((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) ↔ ((𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑈 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋𝑈) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
52 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑉 → (𝑋𝐼𝑣) = (𝑋𝐼𝑉))
5352eleq2d 2825 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑉 → (𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ↔ 𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑉)))
54533anbi1d 1439 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑉 → ((𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑈 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋𝑈) ↔ (𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑉) ∧ 𝑈 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋𝑈)))
55 eleq1 2827 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑉 → (𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ↔ 𝑉 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))
56553anbi3d 1441 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑉 → ((𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)) ↔ (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑉 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
57562rexbidv 3220 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑉 → (∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)) ↔ ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑉 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
5854, 57imbi12d 344 . . . . 5 (𝑣 = 𝑉 → (((𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑈 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋𝑈) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) ↔ ((𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑉) ∧ 𝑈 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋𝑈) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑉 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
5951, 58rspc2v 3633 . . . 4 ((𝑈𝑃𝑉𝑃) → (∀𝑢𝑃𝑣𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) → ((𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑉) ∧ 𝑈 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋𝑈) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑉 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
6045, 46, 59syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (∀𝑢𝑃𝑣𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) → ((𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑉) ∧ 𝑈 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋𝑈) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑉 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
6144, 60mpd 15 . 2 (𝜑 → ((𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑉) ∧ 𝑈 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋𝑈) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑉 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
621, 2, 3, 61mp3and 1463 1 (𝜑 → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑉 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  distcds 17307  TarskiGEcstrkge 28455  Itvcitv 28456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-nul 5312
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-iota 6516  df-fv 6571  df-ov 7434  df-trkge 28474
This theorem is referenced by:  f1otrge  28895
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