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Theorem axtgeucl 28353
Description: Euclid's Axiom. Axiom A10 of [Schwabhauser] p. 13. This is equivalent to Euclid's parallel postulate when combined with other axioms. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
axtrkge.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
axtrkge.d = (dist‘𝐺)
axtrkge.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
axtgeucl.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiGE)
axtgeucl.1 (𝜑𝑋𝑃)
axtgeucl.2 (𝜑𝑌𝑃)
axtgeucl.3 (𝜑𝑍𝑃)
axtgeucl.4 (𝜑𝑈𝑃)
axtgeucl.5 (𝜑𝑉𝑃)
axtgeucl.6 (𝜑𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑉))
axtgeucl.7 (𝜑𝑈 ∈ (𝑌𝐼𝑍))
axtgeucl.8 (𝜑𝑋𝑈)
Assertion
Ref Expression
axtgeucl (𝜑 → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑉 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐼   𝑃,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   𝑈,𝑎,𝑏   𝑋,𝑎,𝑏   𝑌,𝑎,𝑏   𝑍,𝑎,𝑏   ,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem axtgeucl
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axtgeucl.6 . 2 (𝜑𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑉))
2 axtgeucl.7 . 2 (𝜑𝑈 ∈ (𝑌𝐼𝑍))
3 axtgeucl.8 . 2 (𝜑𝑋𝑈)
4 axtgeucl.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiGE)
5 axtrkge.p . . . . . . 7 𝑃 = (Base‘𝐺)
6 axtrkge.d . . . . . . 7 = (dist‘𝐺)
7 axtrkge.i . . . . . . 7 𝐼 = (Itv‘𝐺)
85, 6, 7istrkge 28338 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TarskiGE ↔ (𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃𝑢𝑃𝑣𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
94, 8sylib 217 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃𝑢𝑃𝑣𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
109simprd 494 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃𝑢𝑃𝑣𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
11 axtgeucl.1 . . . . 5 (𝜑𝑋𝑃)
12 axtgeucl.2 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑃)
13 axtgeucl.3 . . . . 5 (𝜑𝑍𝑃)
14 oveq1 7426 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐼𝑣) = (𝑋𝐼𝑣))
1514eleq2d 2811 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ↔ 𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣)))
16 neeq1 2992 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝑢𝑋𝑢))
1715, 163anbi13d 1434 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥𝑢) ↔ (𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑋𝑢)))
18 oveq1 7426 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐼𝑎) = (𝑋𝐼𝑎))
1918eleq2d 2811 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ↔ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑎)))
20 oveq1 7426 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐼𝑏) = (𝑋𝐼𝑏))
2120eleq2d 2811 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ↔ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏)))
2219, 213anbi12d 1433 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
23222rexbidv 3209 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)) ↔ ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
2417, 23imbi12d 343 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) ↔ ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑋𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
25242ralbidv 3208 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑢𝑃𝑣𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) ↔ ∀𝑢𝑃𝑣𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑋𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
26 oveq1 7426 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑌 → (𝑦𝐼𝑧) = (𝑌𝐼𝑧))
2726eleq2d 2811 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑌 → (𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ↔ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑧)))
28273anbi2d 1437 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑌 → ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑋𝑢) ↔ (𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ∧ 𝑋𝑢)))
29 eleq1 2813 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎)))
30293anbi1d 1436 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑌 → ((𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)) ↔ (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
31302rexbidv 3209 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑌 → (∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)) ↔ ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
3228, 31imbi12d 343 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌 → (((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑋𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) ↔ ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ∧ 𝑋𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
33322ralbidv 3208 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑌 → (∀𝑢𝑃𝑣𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑋𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) ↔ ∀𝑢𝑃𝑣𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ∧ 𝑋𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
34 oveq2 7427 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑍 → (𝑌𝐼𝑧) = (𝑌𝐼𝑍))
3534eleq2d 2811 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑍 → (𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ↔ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑍)))
36353anbi2d 1437 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑍 → ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ∧ 𝑋𝑢) ↔ (𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋𝑢)))
37 eleq1 2813 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑍 → (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ↔ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏)))
38373anbi2d 1437 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑍 → ((𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)) ↔ (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
39382rexbidv 3209 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑍 → (∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)) ↔ ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
4036, 39imbi12d 343 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑍 → (((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ∧ 𝑋𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) ↔ ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
41402ralbidv 3208 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑍 → (∀𝑢𝑃𝑣𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ∧ 𝑋𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) ↔ ∀𝑢𝑃𝑣𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
4225, 33, 41rspc3v 3622 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑍𝑃) → (∀𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃𝑢𝑃𝑣𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) → ∀𝑢𝑃𝑣𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
4311, 12, 13, 42syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃𝑢𝑃𝑣𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) → ∀𝑢𝑃𝑣𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
4410, 43mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∀𝑢𝑃𝑣𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
45 axtgeucl.4 . . . 4 (𝜑𝑈𝑃)
46 axtgeucl.5 . . . 4 (𝜑𝑉𝑃)
47 eleq1 2813 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → (𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ↔ 𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑣)))
48 eleq1 2813 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → (𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ↔ 𝑈 ∈ (𝑌𝐼𝑍)))
49 neeq2 2993 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → (𝑋𝑢𝑋𝑈))
5047, 48, 493anbi123d 1432 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋𝑢) ↔ (𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑈 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋𝑈)))
5150imbi1d 340 . . . . 5 (𝑢 = 𝑈 → (((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) ↔ ((𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑈 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋𝑈) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
52 oveq2 7427 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑉 → (𝑋𝐼𝑣) = (𝑋𝐼𝑉))
5352eleq2d 2811 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑉 → (𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ↔ 𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑉)))
54533anbi1d 1436 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑉 → ((𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑈 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋𝑈) ↔ (𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑉) ∧ 𝑈 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋𝑈)))
55 eleq1 2813 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑉 → (𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ↔ 𝑉 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))
56553anbi3d 1438 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑉 → ((𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)) ↔ (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑉 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
57562rexbidv 3209 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑉 → (∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)) ↔ ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑉 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
5854, 57imbi12d 343 . . . . 5 (𝑣 = 𝑉 → (((𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑈 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋𝑈) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) ↔ ((𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑉) ∧ 𝑈 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋𝑈) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑉 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
5951, 58rspc2v 3617 . . . 4 ((𝑈𝑃𝑉𝑃) → (∀𝑢𝑃𝑣𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) → ((𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑉) ∧ 𝑈 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋𝑈) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑉 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
6045, 46, 59syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → (∀𝑢𝑃𝑣𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋𝑢) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) → ((𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑉) ∧ 𝑈 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋𝑈) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑉 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
6144, 60mpd 15 . 2 (𝜑 → ((𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑉) ∧ 𝑈 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋𝑈) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑉 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
621, 2, 3, 61mp3and 1460 1 (𝜑 → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑉 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  wrex 3059  Vcvv 3461  cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17188  distcds 17250  TarskiGEcstrkge 28313  Itvcitv 28314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2696  ax-nul 5307
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-dif 3947  df-un 3949  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-iota 6501  df-fv 6557  df-ov 7422  df-trkge 28332
This theorem is referenced by:  f1otrge  28753
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