Theorem axtgeucl 27991

Description: Euclid's Axiom. Axiom A10 of [Schwabhauser] p. 13. This is equivalent to Euclid's parallel postulate when combined with other axioms. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
axtrkge.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
axtrkge.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
axtrkge.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
axtgeucl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
axtgeucl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
axtgeucl.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
axtgeucl.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
axtgeucl.4	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
axtgeucl.5	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
axtgeucl.6	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑉))
axtgeucl.7	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝑌𝐼𝑍))
axtgeucl.8	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
axtgeucl	⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑉 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐼   𝑃,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   𝑈,𝑎,𝑏   𝑋,𝑎,𝑏   𝑌,𝑎,𝑏   𝑍,𝑎,𝑏   − ,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem axtgeucl

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axtgeucl.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑉))
2		axtgeucl.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝑌𝐼𝑍))
3		axtgeucl.8	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑈)
4		axtgeucl.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
5		axtrkge.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
6		axtrkge.d	. . . . . . 7 ⊢ − = (dist‘𝐺)
7		axtrkge.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
8	5, 6, 7	istrkge 27976	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiGE ↔ (𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
9	4, 8	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
10	9	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
11		axtgeucl.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
12		axtgeucl.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
13		axtgeucl.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
14		oveq1 7419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐼𝑣) = (𝑋𝐼𝑣))
15	14	eleq2d 2818	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ↔ 𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣)))
16		neeq1 3002	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ≠ 𝑢 ↔ 𝑋 ≠ 𝑢))
17	15, 16	3anbi13d 1437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ↔ (𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑋 ≠ 𝑢)))
18		oveq1 7419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐼𝑎) = (𝑋𝐼𝑎))
19	18	eleq2d 2818	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ↔ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑎)))
20		oveq1 7419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐼𝑏) = (𝑋𝐼𝑏))
21	20	eleq2d 2818	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ↔ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏)))
22	19, 21	3anbi12d 1436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
23	22	2rexbidv 3218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
24	17, 23	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) ↔ ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑋 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
25	24	2ralbidv 3217	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑋 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
26		oveq1 7419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦𝐼𝑧) = (𝑌𝐼𝑧))
27	26	eleq2d 2818	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ↔ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑧)))
28	27	3anbi2d 1440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑋 ≠ 𝑢) ↔ (𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ∧ 𝑋 ≠ 𝑢)))
29		eleq1 2820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎)))
30	29	3anbi1d 1439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)) ↔ (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
31	30	2rexbidv 3218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
32	28, 31	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑋 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) ↔ ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ∧ 𝑋 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
33	32	2ralbidv 3217	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑋 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ∧ 𝑋 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
34		oveq2 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑌𝐼𝑧) = (𝑌𝐼𝑍))
35	34	eleq2d 2818	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ↔ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑍)))
36	35	3anbi2d 1440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ∧ 𝑋 ≠ 𝑢) ↔ (𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑢)))
37		eleq1 2820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ↔ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏)))
38	37	3anbi2d 1440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)) ↔ (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
39	38	2rexbidv 3218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
40	36, 39	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ∧ 𝑋 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) ↔ ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
41	40	2ralbidv 3217	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ∧ 𝑋 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
42	25, 33, 41	rspc3v 3627	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → (∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) → ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
43	11, 12, 13, 42	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐼𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) → ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
44	10, 43	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
45		axtgeucl.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
46		axtgeucl.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
47		eleq1 2820	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ↔ 𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑣)))
48		eleq1 2820	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ↔ 𝑈 ∈ (𝑌𝐼𝑍)))
49		neeq2 3003	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑋 ≠ 𝑢 ↔ 𝑋 ≠ 𝑈))
50	47, 48, 49	3anbi123d 1435	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑢) ↔ (𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑈 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑈)))
51	50	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) ↔ ((𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑈 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑈) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
52		oveq2 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (𝑋𝐼𝑣) = (𝑋𝐼𝑉))
53	52	eleq2d 2818	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ↔ 𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑉)))
54	53	3anbi1d 1439	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑈 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑈) ↔ (𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑉) ∧ 𝑈 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑈)))
55		eleq1 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ↔ 𝑉 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))
56	55	3anbi3d 1441	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)) ↔ (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑉 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
57	56	2rexbidv 3218	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏)) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑉 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
58	54, 57	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (((𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑈 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑈) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) ↔ ((𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑉) ∧ 𝑈 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑈) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑉 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
59	51, 58	rspc2v 3622	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑃 ∧ 𝑉 ∈ 𝑃) → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) → ((𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑉) ∧ 𝑈 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑈) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑉 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
60	45, 46, 59	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((𝑢 ∈ (𝑋𝐼𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑢) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐼𝑏))) → ((𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑉) ∧ 𝑈 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑈) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑉 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))))
61	44, 60	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ (𝑋𝐼𝑉) ∧ 𝑈 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑈) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑉 ∈ (𝑎𝐼𝑏))))
62	1, 2, 3, 61	mp3and 1463	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑎) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑏) ∧ 𝑉 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  Vcvv 3473  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  distcds 17211  TarskiG_Ecstrkge 27951  Itvcitv 27952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2702  ax-nul 5306

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-iota 6495  df-fv 6551  df-ov 7415  df-trkge 27970

This theorem is referenced by:  f1otrge  28391