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Theorem f1otrge 26572
Description: A bijection between bases which conserves distances and intervals conserves also the property of being a Euclidean geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
f1otrkg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
f1otrkg.d 𝐷 = (dist‘𝐺)
f1otrkg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
f1otrkg.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
f1otrkg.e 𝐸 = (dist‘𝐻)
f1otrkg.j 𝐽 = (Itv‘𝐻)
f1otrkg.f (𝜑𝐹:𝐵1-1-onto𝑃)
f1otrkg.1 ((𝜑 ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵)) → (𝑒𝐸𝑓) = ((𝐹𝑒)𝐷(𝐹𝑓)))
f1otrkg.2 ((𝜑 ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑒𝐽𝑓) ↔ (𝐹𝑔) ∈ ((𝐹𝑒)𝐼(𝐹𝑓))))
f1otrg.h (𝜑𝐻𝑉)
f1otrge.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiGE)
Assertion
Ref Expression
f1otrge (𝜑𝐻 ∈ TarskiGE)
Distinct variable groups:   𝑒,𝑓,𝑔,𝐵   𝐷,𝑒,𝑓,𝑔   𝑒,𝐸,𝑓,𝑔   𝑒,𝐹,𝑓,𝑔   𝑒,𝐼,𝑓,𝑔   𝑒,𝐽,𝑓,𝑔   𝑃,𝑒,𝑓,𝑔   𝜑,𝑒,𝑓,𝑔   𝑓,𝐻
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑒,𝑓,𝑔)   𝐻(𝑒,𝑔)   𝑉(𝑒,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem f1otrge
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1otrg.h . . 3 (𝜑𝐻𝑉)
21elexd 3520 . 2 (𝜑𝐻 ∈ V)
3 f1otrkg.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐵1-1-onto𝑃)
4 f1ocnv 6624 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐵1-1-onto𝑃𝐹:𝑃1-1-onto𝐵)
5 f1of 6612 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑃1-1-onto𝐵𝐹:𝑃𝐵)
63, 4, 53syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑃𝐵)
76ad6antr 732 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → 𝐹:𝑃𝐵)
8 simpllr 772 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → 𝑐𝑃)
97, 8ffvelrnd 6848 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → (𝐹𝑐) ∈ 𝐵)
10 simplr 765 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → 𝑑𝑃)
117, 10ffvelrnd 6848 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → (𝐹𝑑) ∈ 𝐵)
12 simpr1 1188 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → (𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐))
133ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝑃)
1413ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝑃)
15 f1ocnvfv2 7028 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝑃𝑐𝑃) → (𝐹‘(𝐹𝑐)) = 𝑐)
1614, 8, 15syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → (𝐹‘(𝐹𝑐)) = 𝑐)
1716oveq2d 7164 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → ((𝐹𝑥)𝐼(𝐹‘(𝐹𝑐))) = ((𝐹𝑥)𝐼𝑐))
1812, 17eleqtrrd 2921 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → (𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼(𝐹‘(𝐹𝑐))))
19 f1otrkg.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (Base‘𝐺)
20 f1otrkg.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (dist‘𝐺)
21 f1otrkg.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (Itv‘𝐺)
22 f1otrkg.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐻)
23 f1otrkg.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (dist‘𝐻)
24 f1otrkg.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (Itv‘𝐻)
25 f1otrkg.1 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵)) → (𝑒𝐸𝑓) = ((𝐹𝑒)𝐷(𝐹𝑓)))
2625ad5ant15 755 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵)) → (𝑒𝐸𝑓) = ((𝐹𝑒)𝐷(𝐹𝑓)))
2726ad5ant15 755 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵)) → (𝑒𝐸𝑓) = ((𝐹𝑒)𝐷(𝐹𝑓)))
28 f1otrkg.2 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑒𝐽𝑓) ↔ (𝐹𝑔) ∈ ((𝐹𝑒)𝐼(𝐹𝑓))))
2928ad5ant15 755 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑒𝐽𝑓) ↔ (𝐹𝑔) ∈ ((𝐹𝑒)𝐼(𝐹𝑓))))
3029ad5ant15 755 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑒𝐽𝑓) ↔ (𝐹𝑔) ∈ ((𝐹𝑒)𝐼(𝐹𝑓))))
31 simprl 767 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥𝐵)
3231ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → 𝑥𝐵)
3332ad3antrrr 726 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → 𝑥𝐵)
34 simprr 769 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦𝐵)
3534ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → 𝑦𝐵)
3635ad3antrrr 726 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → 𝑦𝐵)
3719, 20, 21, 22, 23, 24, 14, 27, 30, 33, 9, 36f1otrgitv 26570 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → (𝑦 ∈ (𝑥𝐽(𝐹𝑐)) ↔ (𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼(𝐹‘(𝐹𝑐)))))
3818, 37mpbird 258 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → 𝑦 ∈ (𝑥𝐽(𝐹𝑐)))
39 simpr2 1189 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑))
40 f1ocnvfv2 7028 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝑃𝑑𝑃) → (𝐹‘(𝐹𝑑)) = 𝑑)
4114, 10, 40syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → (𝐹‘(𝐹𝑑)) = 𝑑)
4241oveq2d 7164 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → ((𝐹𝑥)𝐼(𝐹‘(𝐹𝑑))) = ((𝐹𝑥)𝐼𝑑))
4339, 42eleqtrrd 2921 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼(𝐹‘(𝐹𝑑))))
44 simplr1 1209 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → 𝑧𝐵)
4544ad3antrrr 726 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → 𝑧𝐵)
4619, 20, 21, 22, 23, 24, 14, 27, 30, 33, 11, 45f1otrgitv 26570 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → (𝑧 ∈ (𝑥𝐽(𝐹𝑑)) ↔ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼(𝐹‘(𝐹𝑑)))))
4743, 46mpbird 258 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → 𝑧 ∈ (𝑥𝐽(𝐹𝑑)))
48 simpr3 1190 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))
4916, 41oveq12d 7166 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → ((𝐹‘(𝐹𝑐))𝐼(𝐹‘(𝐹𝑑))) = (𝑐𝐼𝑑))
5048, 49eleqtrrd 2921 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → (𝐹𝑣) ∈ ((𝐹‘(𝐹𝑐))𝐼(𝐹‘(𝐹𝑑))))
51 simplr3 1211 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → 𝑣𝐵)
5251ad3antrrr 726 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → 𝑣𝐵)
5319, 20, 21, 22, 23, 24, 14, 27, 30, 9, 11, 52f1otrgitv 26570 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → (𝑣 ∈ ((𝐹𝑐)𝐽(𝐹𝑑)) ↔ (𝐹𝑣) ∈ ((𝐹‘(𝐹𝑐))𝐼(𝐹‘(𝐹𝑑)))))
5450, 53mpbird 258 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → 𝑣 ∈ ((𝐹𝑐)𝐽(𝐹𝑑)))
55 oveq2 7156 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝐹𝑐) → (𝑥𝐽𝑎) = (𝑥𝐽(𝐹𝑐)))
5655eleq2d 2903 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝐹𝑐) → (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑎) ↔ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽(𝐹𝑐))))
57 oveq1 7155 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝐹𝑐) → (𝑎𝐽𝑏) = ((𝐹𝑐)𝐽𝑏))
5857eleq2d 2903 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝐹𝑐) → (𝑣 ∈ (𝑎𝐽𝑏) ↔ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑐)𝐽𝑏)))
5956, 583anbi13d 1431 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐹𝑐) → ((𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐽𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐽𝑏)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑥𝐽(𝐹𝑐)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐽𝑏) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑐)𝐽𝑏))))
60 oveq2 7156 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (𝐹𝑑) → (𝑥𝐽𝑏) = (𝑥𝐽(𝐹𝑑)))
6160eleq2d 2903 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝐹𝑑) → (𝑧 ∈ (𝑥𝐽𝑏) ↔ 𝑧 ∈ (𝑥𝐽(𝐹𝑑))))
62 oveq2 7156 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (𝐹𝑑) → ((𝐹𝑐)𝐽𝑏) = ((𝐹𝑐)𝐽(𝐹𝑑)))
6362eleq2d 2903 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝐹𝑑) → (𝑣 ∈ ((𝐹𝑐)𝐽𝑏) ↔ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑐)𝐽(𝐹𝑑))))
6461, 633anbi23d 1432 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝐹𝑑) → ((𝑦 ∈ (𝑥𝐽(𝐹𝑐)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐽𝑏) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑐)𝐽𝑏)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑥𝐽(𝐹𝑐)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐽(𝐹𝑑)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑐)𝐽(𝐹𝑑)))))
6559, 64rspc2ev 3639 . . . . . . 7 (((𝐹𝑐) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹𝑑) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ (𝑥𝐽(𝐹𝑐)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐽(𝐹𝑑)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑐)𝐽(𝐹𝑑)))) → ∃𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐽𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐽𝑏)))
669, 11, 38, 47, 54, 65syl113anc 1376 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → ∃𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐽𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐽𝑏)))
67 f1otrge.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ TarskiGE)
6867ad3antrrr 726 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → 𝐺 ∈ TarskiGE)
69 f1of 6612 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐵1-1-onto𝑃𝐹:𝐵𝑃)
703, 69syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐵𝑃)
7170adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐹:𝐵𝑃)
7271, 31ffvelrnd 6848 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑃)
7372ad2antrr 722 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑃)
7471, 34ffvelrnd 6848 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑃)
7574ad2antrr 722 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑃)
7670ad3antrrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → 𝐹:𝐵𝑃)
7776, 44ffvelrnd 6848 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑃)
78 simplr2 1210 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → 𝑢𝐵)
7976, 78ffvelrnd 6848 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → (𝐹𝑢) ∈ 𝑃)
8076, 51ffvelrnd 6848 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → (𝐹𝑣) ∈ 𝑃)
81 simpr1 1188 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → 𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣))
8219, 20, 21, 22, 23, 24, 13, 26, 29, 32, 51, 78f1otrgitv 26570 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ↔ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼(𝐹𝑣))))
8381, 82mpbid 233 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → (𝐹𝑢) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼(𝐹𝑣)))
84 simpr2 1189 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧))
8519, 20, 21, 22, 23, 24, 13, 26, 29, 35, 44, 78f1otrgitv 26570 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → (𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↔ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐹𝑦)𝐼(𝐹𝑧))))
8684, 85mpbid 233 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → (𝐹𝑢) ∈ ((𝐹𝑦)𝐼(𝐹𝑧)))
87 simpr3 1190 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → 𝑥𝑢)
88 dff1o6 7026 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝐵1-1-onto𝑃 ↔ (𝐹 Fn 𝐵 ∧ ran 𝐹 = 𝑃 ∧ ∀𝑥𝐵𝑢𝐵 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑢) → 𝑥 = 𝑢)))
8988simp3bi 1141 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐵1-1-onto𝑃 → ∀𝑥𝐵𝑢𝐵 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑢) → 𝑥 = 𝑢))
9089r19.21bi 3213 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝑃𝑥𝐵) → ∀𝑢𝐵 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑢) → 𝑥 = 𝑢))
9190r19.21bi 3213 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐵1-1-onto𝑃𝑥𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑢) → 𝑥 = 𝑢))
9291necon3d 3042 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝐵1-1-onto𝑃𝑥𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → (𝑥𝑢 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑢)))
9392imp 407 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐵1-1-onto𝑃𝑥𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑥𝑢) → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑢))
9413, 32, 78, 87, 93syl1111anc 837 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑢))
9519, 20, 21, 68, 73, 75, 77, 79, 80, 83, 86, 94axtgeucl 26172 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → ∃𝑐𝑃𝑑𝑃 ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑)))
9666, 95r19.29vva 3341 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → ∃𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐽𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐽𝑏)))
9796ex 413 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) → ((𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢) → ∃𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐽𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐽𝑏))))
9897ralrimivvva 3197 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ∀𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢) → ∃𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐽𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐽𝑏))))
9998ralrimivva 3196 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢) → ∃𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐽𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐽𝑏))))
10022, 23, 24istrkge 26157 . 2 (𝐻 ∈ TarskiGE ↔ (𝐻 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢) → ∃𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐽𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐽𝑏)))))
1012, 99, 100sylanbrc 583 1 (𝜑𝐻 ∈ TarskiGE)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  wral 3143  wrex 3144  Vcvv 3500  ccnv 5553  ran crn 5555   Fn wfn 6347  wf 6348  1-1-ontowf1o 6351  cfv 6352  (class class class)co 7148  Basecbs 16473  distcds 16564  TarskiGEcstrkge 26135  Itvcitv 26136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-ov 7151  df-trkge 26151
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