![]() |
Metamath
Proof Explorer Theorem List (p. 283 of 479) | < Previous Next > |
Bad symbols? Try the
GIF version. |
||
Mirrors > Metamath Home Page > MPE Home Page > Theorem List Contents > Recent Proofs This page: Page List |
Color key: | ![]() (1-30171) |
![]() (30172-31694) |
![]() (31695-47852) |
Type | Label | Description | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Statement | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem2 28201 | Lemma for axlowdim 28219. Show that two sets are disjoint. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ ((1...2) β© (3...π)) = β | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem3 28202 | Lemma for axlowdim 28219. Set up a union property for an interval of integers. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ (π β (β€β₯β2) β (1...π) = ((1...2) βͺ (3...π))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem4 28203 | Lemma for axlowdim 28219. Set up a particular constant function. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ π΄ β β & β’ π΅ β β β β’ {β¨1, π΄β©, β¨2, π΅β©}:(1...2)βΆβ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem5 28204 | Lemma for axlowdim 28219. Show that a particular union is a point in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ π΄ β β & β’ π΅ β β β β’ (π β (β€β₯β2) β ({β¨1, π΄β©, β¨2, π΅β©} βͺ ((3...π) Γ {0})) β (πΌβπ)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem6 28205 | Lemma for axlowdim 28219. Show that three points are non-colinear. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ π΄ = ({β¨1, 0β©, β¨2, 0β©} βͺ ((3...π) Γ {0})) & β’ π΅ = ({β¨1, 1β©, β¨2, 0β©} βͺ ((3...π) Γ {0})) & β’ πΆ = ({β¨1, 0β©, β¨2, 1β©} βͺ ((3...π) Γ {0})) β β’ (π β (β€β₯β2) β Β¬ (π΄ Btwn β¨π΅, πΆβ© β¨ π΅ Btwn β¨πΆ, π΄β© β¨ πΆ Btwn β¨π΄, π΅β©)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem7 28206 | Lemma for axlowdim 28219. Set up a point in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ π = ({β¨3, -1β©} βͺ (((1...π) β {3}) Γ {0})) β β’ (π β (β€β₯β3) β π β (πΌβπ)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem8 28207 | Lemma for axlowdim 28219. Calculate the value of π at three. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ π = ({β¨3, -1β©} βͺ (((1...π) β {3}) Γ {0})) β β’ (πβ3) = -1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem9 28208 | Lemma for axlowdim 28219. Calculate the value of π away from three. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ π = ({β¨3, -1β©} βͺ (((1...π) β {3}) Γ {0})) β β’ ((πΎ β (1...π) β§ πΎ β 3) β (πβπΎ) = 0) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem10 28209 | Lemma for axlowdim 28219. Set up a family of points in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ π = ({β¨(πΌ + 1), 1β©} βͺ (((1...π) β {(πΌ + 1)}) Γ {0})) β β’ ((π β β β§ πΌ β (1...(π β 1))) β π β (πΌβπ)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem11 28210 | Lemma for axlowdim 28219. Calculate the value of π at its distinguished point. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ π = ({β¨(πΌ + 1), 1β©} βͺ (((1...π) β {(πΌ + 1)}) Γ {0})) β β’ (πβ(πΌ + 1)) = 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem12 28211 | Lemma for axlowdim 28219. Calculate the value of π away from its distinguished point. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ π = ({β¨(πΌ + 1), 1β©} βͺ (((1...π) β {(πΌ + 1)}) Γ {0})) β β’ ((πΎ β (1...π) β§ πΎ β (πΌ + 1)) β (πβπΎ) = 0) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem13 28212 | Lemma for axlowdim 28219. Establish that π and π are different points. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ π = ({β¨3, -1β©} βͺ (((1...π) β {3}) Γ {0})) & β’ π = ({β¨(πΌ + 1), 1β©} βͺ (((1...π) β {(πΌ + 1)}) Γ {0})) β β’ ((π β β β§ πΌ β (1...(π β 1))) β π β π) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem14 28213 | Lemma for axlowdim 28219. Take two possible π from axlowdimlem10 28209. They are the same iff their distinguished values are the same. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ π = ({β¨(πΌ + 1), 1β©} βͺ (((1...π) β {(πΌ + 1)}) Γ {0})) & β’ π = ({β¨(π½ + 1), 1β©} βͺ (((1...π) β {(π½ + 1)}) Γ {0})) β β’ ((π β β β§ πΌ β (1...(π β 1)) β§ π½ β (1...(π β 1))) β (π = π β πΌ = π½)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem15 28214* | Lemma for axlowdim 28219. Set up a one-to-one function of points. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ πΉ = (π β (1...(π β 1)) β¦ if(π = 1, ({β¨3, -1β©} βͺ (((1...π) β {3}) Γ {0})), ({β¨(π + 1), 1β©} βͺ (((1...π) β {(π + 1)}) Γ {0})))) β β’ (π β (β€β₯β3) β πΉ:(1...(π β 1))β1-1β(πΌβπ)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem16 28215* | Lemma for axlowdim 28219. Set up a summation that will help establish distance. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ π = ({β¨3, -1β©} βͺ (((1...π) β {3}) Γ {0})) & β’ π = ({β¨(πΌ + 1), 1β©} βͺ (((1...π) β {(πΌ + 1)}) Γ {0})) β β’ ((π β (β€β₯β3) β§ πΌ β (2...(π β 1))) β Ξ£π β (3...π)((πβπ)β2) = Ξ£π β (3...π)((πβπ)β2)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdimlem17 28216 | Lemma for axlowdim 28219. Establish a congruence result. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ π = ({β¨3, -1β©} βͺ (((1...π) β {3}) Γ {0})) & β’ π = ({β¨(πΌ + 1), 1β©} βͺ (((1...π) β {(πΌ + 1)}) Γ {0})) & β’ π΄ = ({β¨1, πβ©, β¨2, πβ©} βͺ ((3...π) Γ {0})) & β’ π β β & β’ π β β β β’ ((π β (β€β₯β3) β§ πΌ β (2...(π β 1))) β β¨π, π΄β©Cgrβ¨π, π΄β©) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdim1 28217* | The lower dimension axiom for one dimension. In any dimension, there are at least two distinct points. Theorem 3.13 of [Schwabhauser] p. 32, where it is derived from axlowdim2 28218. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ (π β β β βπ₯ β (πΌβπ)βπ¦ β (πΌβπ)π₯ β π¦) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdim2 28218* | The lower two-dimensional axiom. In any space where the dimension is greater than one, there are three non-colinear points. Axiom A8 of [Schwabhauser] p. 12. (Contributed by Scott Fenton, 15-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ (π β (β€β₯β2) β βπ₯ β (πΌβπ)βπ¦ β (πΌβπ)βπ§ β (πΌβπ) Β¬ (π₯ Btwn β¨π¦, π§β© β¨ π¦ Btwn β¨π§, π₯β© β¨ π§ Btwn β¨π₯, π¦β©)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axlowdim 28219* | The general lower dimension axiom. Take a dimension π greater than or equal to three. Then, there are three non-colinear points in π dimensional space that are equidistant from π β 1 distinct points. Derived from remarks in Tarski's System of Geometry, Alfred Tarski and Steven Givant, Bulletin of Symbolic Logic, Volume 5, Number 2 (1999), 175-214. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ (π β (β€β₯β3) β βπβπ₯ β (πΌβπ)βπ¦ β (πΌβπ)βπ§ β (πΌβπ)(π:(1...(π β 1))β1-1β(πΌβπ) β§ βπ β (2...(π β 1))(β¨(πβ1), π₯β©Cgrβ¨(πβπ), π₯β© β§ β¨(πβ1), π¦β©Cgrβ¨(πβπ), π¦β© β§ β¨(πβ1), π§β©Cgrβ¨(πβπ), π§β©) β§ Β¬ (π₯ Btwn β¨π¦, π§β© β¨ π¦ Btwn β¨π§, π₯β© β¨ π§ Btwn β¨π₯, π¦β©))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axeuclidlem 28220* | Lemma for axeuclid 28221. Handle the algebraic aspects of the theorem. (Contributed by Scott Fenton, 9-Sep-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ ((((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π β (πΌβπ))) β§ (π β (0[,]1) β§ π β (0[,]1) β§ π β 0) β§ βπ β (1...π)(((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πβπ))) = (((1 β π) Β· (π΅βπ)) + (π Β· (πΆβπ)))) β βπ₯ β (πΌβπ)βπ¦ β (πΌβπ)βπ β (0[,]1)βπ β (0[,]1)βπ’ β (0[,]1)βπ β (1...π)((π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (π₯βπ))) β§ (πΆβπ) = (((1 β π ) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (π¦βπ))) β§ (πβπ) = (((1 β π’) Β· (π₯βπ)) + (π’ Β· (π¦βπ))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axeuclid 28221* | Euclid's axiom. Take an angle π΅π΄πΆ and a point π· between π΅ and πΆ. Now, if you extend the segment π΄π· to a point π, then π lies between two points π₯ and π¦ that lie on the angle. Axiom A10 of [Schwabhauser] p. 13. (Contributed by Scott Fenton, 9-Sep-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ ((π β β β§ (π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ) β§ πΆ β (πΌβπ)) β§ (π· β (πΌβπ) β§ π β (πΌβπ))) β ((π· Btwn β¨π΄, πβ© β§ π· Btwn β¨π΅, πΆβ© β§ π΄ β π·) β βπ₯ β (πΌβπ)βπ¦ β (πΌβπ)(π΅ Btwn β¨π΄, π₯β© β§ πΆ Btwn β¨π΄, π¦β© β§ π Btwn β¨π₯, π¦β©))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem1 28222* | Lemma for axcont 28234. Change bound variables for later use. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ πΉ = {β¨π₯, π‘β© β£ (π₯ β π· β§ (π‘ β (0[,)+β) β§ βπ β (1...π)(π₯βπ) = (((1 β π‘) Β· (πβπ)) + (π‘ Β· (πβπ)))))} β β’ πΉ = {β¨π¦, π β© β£ (π¦ β π· β§ (π β (0[,)+β) β§ βπ β (1...π)(π¦βπ) = (((1 β π ) Β· (πβπ)) + (π Β· (πβπ)))))} | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem2 28223* | Lemma for axcont 28234. The idea here is to set up a mapping πΉ that will allow to transfer dedekind 11377 to two sets of points. Here, we set up πΉ and show its domain and codomain. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ π· = {π β (πΌβπ) β£ (π Btwn β¨π, πβ© β¨ π Btwn β¨π, πβ©)} & β’ πΉ = {β¨π₯, π‘β© β£ (π₯ β π· β§ (π‘ β (0[,)+β) β§ βπ β (1...π)(π₯βπ) = (((1 β π‘) Β· (πβπ)) + (π‘ Β· (πβπ)))))} β β’ (((π β β β§ π β (πΌβπ) β§ π β (πΌβπ)) β§ π β π) β πΉ:π·β1-1-ontoβ(0[,)+β)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem3 28224* | Lemma for axcont 28234. Given the separation assumption, π΅ is a subset of π·. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ π· = {π β (πΌβπ) β£ (π Btwn β¨π, πβ© β¨ π Btwn β¨π, πβ©)} β β’ (((π β β β§ (π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ) β§ βπ₯ β π΄ βπ¦ β π΅ π₯ Btwn β¨π, π¦β©)) β§ (π β (πΌβπ) β§ π β π΄ β§ π β π)) β π΅ β π·) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem4 28225* | Lemma for axcont 28234. Given the separation assumption, π΄ is a subset of π·. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ π· = {π β (πΌβπ) β£ (π Btwn β¨π, πβ© β¨ π Btwn β¨π, πβ©)} β β’ (((π β β β§ (π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ) β§ βπ₯ β π΄ βπ¦ β π΅ π₯ Btwn β¨π, π¦β©)) β§ ((π β (πΌβπ) β§ π β π΄ β§ π΅ β β ) β§ π β π)) β π΄ β π·) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem5 28226* | Lemma for axcont 28234. Compute the value of πΉ. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ π· = {π β (πΌβπ) β£ (π Btwn β¨π, πβ© β¨ π Btwn β¨π, πβ©)} & β’ πΉ = {β¨π₯, π‘β© β£ (π₯ β π· β§ (π‘ β (0[,)+β) β§ βπ β (1...π)(π₯βπ) = (((1 β π‘) Β· (πβπ)) + (π‘ Β· (πβπ)))))} β β’ ((((π β β β§ π β (πΌβπ) β§ π β (πΌβπ)) β§ π β π) β§ π β π·) β ((πΉβπ) = π β (π β (0[,)+β) β§ βπ β (1...π)(πβπ) = (((1 β π) Β· (πβπ)) + (π Β· (πβπ)))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem6 28227* | Lemma for axcont 28234. State the defining properties of the value of πΉ. (Contributed by Scott Fenton, 19-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ π· = {π β (πΌβπ) β£ (π Btwn β¨π, πβ© β¨ π Btwn β¨π, πβ©)} & β’ πΉ = {β¨π₯, π‘β© β£ (π₯ β π· β§ (π‘ β (0[,)+β) β§ βπ β (1...π)(π₯βπ) = (((1 β π‘) Β· (πβπ)) + (π‘ Β· (πβπ)))))} β β’ ((((π β β β§ π β (πΌβπ) β§ π β (πΌβπ)) β§ π β π) β§ π β π·) β ((πΉβπ) β (0[,)+β) β§ βπ β (1...π)(πβπ) = (((1 β (πΉβπ)) Β· (πβπ)) + ((πΉβπ) Β· (πβπ))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem7 28228* | Lemma for axcont 28234. Given two points in π·, one preceeds the other iff its scaling constant is less than the other point's. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ π· = {π β (πΌβπ) β£ (π Btwn β¨π, πβ© β¨ π Btwn β¨π, πβ©)} & β’ πΉ = {β¨π₯, π‘β© β£ (π₯ β π· β§ (π‘ β (0[,)+β) β§ βπ β (1...π)(π₯βπ) = (((1 β π‘) Β· (πβπ)) + (π‘ Β· (πβπ)))))} β β’ ((((π β β β§ π β (πΌβπ) β§ π β (πΌβπ)) β§ π β π) β§ (π β π· β§ π β π·)) β (π Btwn β¨π, πβ© β (πΉβπ) β€ (πΉβπ))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem8 28229* | Lemma for axcont 28234. A point in π· is between two others if its function value falls in the middle. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ π· = {π β (πΌβπ) β£ (π Btwn β¨π, πβ© β¨ π Btwn β¨π, πβ©)} & β’ πΉ = {β¨π₯, π‘β© β£ (π₯ β π· β§ (π‘ β (0[,)+β) β§ βπ β (1...π)(π₯βπ) = (((1 β π‘) Β· (πβπ)) + (π‘ Β· (πβπ)))))} β β’ ((((π β β β§ π β (πΌβπ) β§ π β (πΌβπ)) β§ π β π) β§ (π β π· β§ π β π· β§ π β π·)) β (((πΉβπ) β€ (πΉβπ) β§ (πΉβπ) β€ (πΉβπ )) β π Btwn β¨π, π β©)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem9 28230* | Lemma for axcont 28234. Given the separation assumption, all values of πΉ over π΄ are less than or equal to all values of πΉ over π΅. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ π· = {π β (πΌβπ) β£ (π Btwn β¨π, πβ© β¨ π Btwn β¨π, πβ©)} & β’ πΉ = {β¨π₯, π‘β© β£ (π₯ β π· β§ (π‘ β (0[,)+β) β§ βπ β (1...π)(π₯βπ) = (((1 β π‘) Β· (πβπ)) + (π‘ Β· (πβπ)))))} β β’ (((π β β β§ (π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ) β§ βπ₯ β π΄ βπ¦ β π΅ π₯ Btwn β¨π, π¦β©)) β§ ((π β (πΌβπ) β§ π β π΄ β§ π΅ β β ) β§ π β π)) β βπ β (πΉ β π΄)βπ β (πΉ β π΅)π β€ π) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem10 28231* | Lemma for axcont 28234. Given a handful of assumptions, derive the conclusion of the final theorem. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ π· = {π β (πΌβπ) β£ (π Btwn β¨π, πβ© β¨ π Btwn β¨π, πβ©)} & β’ πΉ = {β¨π₯, π‘β© β£ (π₯ β π· β§ (π‘ β (0[,)+β) β§ βπ β (1...π)(π₯βπ) = (((1 β π‘) Β· (πβπ)) + (π‘ Β· (πβπ)))))} β β’ (((π β β β§ (π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ) β§ βπ₯ β π΄ βπ¦ β π΅ π₯ Btwn β¨π, π¦β©)) β§ ((π β (πΌβπ) β§ π β π΄ β§ π΅ β β ) β§ π β π)) β βπ β (πΌβπ)βπ₯ β π΄ βπ¦ β π΅ π Btwn β¨π₯, π¦β©) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem11 28232* | Lemma for axcont 28234. Eliminate the hypotheses from axcontlem10 28231. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ (((π β β β§ (π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ) β§ βπ₯ β π΄ βπ¦ β π΅ π₯ Btwn β¨π, π¦β©)) β§ ((π β (πΌβπ) β§ π β π΄ β§ π΅ β β ) β§ π β π)) β βπ β (πΌβπ)βπ₯ β π΄ βπ¦ β π΅ π Btwn β¨π₯, π¦β©) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcontlem12 28233* | Lemma for axcont 28234. Eliminate the trivial cases from the previous lemmas. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ (((π β β β§ (π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ) β§ βπ₯ β π΄ βπ¦ β π΅ π₯ Btwn β¨π, π¦β©)) β§ π β (πΌβπ)) β βπ β (πΌβπ)βπ₯ β π΄ βπ¦ β π΅ π Btwn β¨π₯, π¦β©) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | axcont 28234* | The axiom of continuity. Take two sets of points π΄ and π΅. If all the points in π΄ come before the points of π΅ on a line, then there is a point separating the two. Axiom A11 of [Schwabhauser] p. 13. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ ((π β β β§ (π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ) β§ βπ β (πΌβπ)βπ₯ β π΄ βπ¦ β π΅ π₯ Btwn β¨π, π¦β©)) β βπ β (πΌβπ)βπ₯ β π΄ βπ¦ β π΅ π Btwn β¨π₯, π¦β©) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Syntax | ceeng 28235 | Extends class notation with the Tarski geometry structure for πΌβπ. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
class EEG | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Definition | df-eeng 28236* | Define the geometry structure for πΌβπ. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Aug-2017.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ EEG = (π β β β¦ ({β¨(Baseβndx), (πΌβπ)β©, β¨(distβndx), (π₯ β (πΌβπ), π¦ β (πΌβπ) β¦ Ξ£π β (1...π)(((π₯βπ) β (π¦βπ))β2))β©} βͺ {β¨(Itvβndx), (π₯ β (πΌβπ), π¦ β (πΌβπ) β¦ {π§ β (πΌβπ) β£ π§ Btwn β¨π₯, π¦β©})β©, β¨(LineGβndx), (π₯ β (πΌβπ), π¦ β ((πΌβπ) β {π₯}) β¦ {π§ β (πΌβπ) β£ (π§ Btwn β¨π₯, π¦β© β¨ π₯ Btwn β¨π§, π¦β© β¨ π¦ Btwn β¨π₯, π§β©)})β©})) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | eengv 28237* | The value of the Euclidean geometry for dimension π. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ (π β β β (EEGβπ) = ({β¨(Baseβndx), (πΌβπ)β©, β¨(distβndx), (π₯ β (πΌβπ), π¦ β (πΌβπ) β¦ Ξ£π β (1...π)(((π₯βπ) β (π¦βπ))β2))β©} βͺ {β¨(Itvβndx), (π₯ β (πΌβπ), π¦ β (πΌβπ) β¦ {π§ β (πΌβπ) β£ π§ Btwn β¨π₯, π¦β©})β©, β¨(LineGβndx), (π₯ β (πΌβπ), π¦ β ((πΌβπ) β {π₯}) β¦ {π§ β (πΌβπ) β£ (π§ Btwn β¨π₯, π¦β© β¨ π₯ Btwn β¨π§, π¦β© β¨ π¦ Btwn β¨π₯, π§β©)})β©})) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | eengstr 28238 | The Euclidean geometry as a structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ (π β β β (EEGβπ) Struct β¨1, ;17β©) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | eengbas 28239 | The Base of the Euclidean geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ (π β β β (πΌβπ) = (Baseβ(EEGβπ))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ebtwntg 28240 | The betweenness relation used in the Tarski structure for the Euclidean geometry is the same as Btwn. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ (π β π β β) & β’ π = (Baseβ(EEGβπ)) & β’ πΌ = (Itvβ(EEGβπ)) & β’ (π β π β π) & β’ (π β π β π) & β’ (π β π β π) β β’ (π β (π Btwn β¨π, πβ© β π β (ππΌπ))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ecgrtg 28241 | The congruence relation used in the Tarski structure for the Euclidean geometry is the same as Cgr. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ (π β π β β) & β’ π = (Baseβ(EEGβπ)) & β’ β = (distβ(EEGβπ)) & β’ (π β π΄ β π) & β’ (π β π΅ β π) & β’ (π β πΆ β π) & β’ (π β π· β π) β β’ (π β (β¨π΄, π΅β©Cgrβ¨πΆ, π·β© β (π΄ β π΅) = (πΆ β π·))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | elntg 28242* | The line definition in the Tarski structure for the Euclidean geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Apr-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ π = (Baseβ(EEGβπ)) & β’ πΌ = (Itvβ(EEGβπ)) β β’ (π β β β (LineGβ(EEGβπ)) = (π₯ β π, π¦ β (π β {π₯}) β¦ {π§ β π β£ (π§ β (π₯πΌπ¦) β¨ π₯ β (π§πΌπ¦) β¨ π¦ β (π₯πΌπ§))})) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | elntg2 28243* | The line definition in the Tarski structure for the Euclidean geometry. In contrast to elntg 28242, the betweenness can be strengthened by excluding 1 resp. 0 from the related intervals (because of π₯ β π¦). (Contributed by AV, 14-Feb-2023.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ π = (Baseβ(EEGβπ)) & β’ πΌ = (1...π) β β’ (π β β β (LineGβ(EEGβπ)) = (π₯ β π, π¦ β (π β {π₯}) β¦ {π β π β£ (βπ β (0[,]1)βπ β πΌ (πβπ) = (((1 β π) Β· (π₯βπ)) + (π Β· (π¦βπ))) β¨ βπ β (0[,)1)βπ β πΌ (π₯βπ) = (((1 β π) Β· (πβπ)) + (π Β· (π¦βπ))) β¨ βπ β (0(,]1)βπ β πΌ (π¦βπ) = (((1 β π) Β· (π₯βπ)) + (π Β· (πβπ))))})) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | eengtrkg 28244 | The geometry structure for πΌβπ is a Tarski geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ (π β β β (EEGβπ) β TarskiG) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | eengtrkge 28245 | The geometry structure for πΌβπ is a Euclidean geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ (π β β β (EEGβπ) β TarskiGE) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Basic concepts:
Basic kinds of graphs:
Terms and properties of graphs:
Special kinds of graphs:
For the terms "Path", "Walk", "Trail", "Circuit", "Cycle" see the remarks below and the definitions in Section I.1 in [Bollobas] p. 4-5. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
In the following, the vertices and (indexed) edges for an arbitrary class πΊ (called "graph" in the following) are defined and examined. The main result of this section is to show that the set of vertices (VtxβπΊ) of a graph πΊ is the first component π of the graph πΊ if it is represented by an ordered pair β¨π, πΈβ© (see opvtxfv 28264), or the base set (BaseβπΊ) of the graph πΊ if it is represented as extensible structure (see basvtxval 28276), and that the set of indexed edges resp. the edge function (iEdgβπΊ) is the second component πΈ of the graph πΊ if it is represented by an ordered pair β¨π, πΈβ© (see opiedgfv 28267), or the component (.efβπΊ) of the graph πΊ if it is represented as extensible structure (see edgfiedgval 28277). Finally, it is shown that the set of edges of a graph πΊ is the range of its edge function: (EdgβπΊ) = ran (iEdgβπΊ), see edgval 28309. Usually, a graph πΊ is a set. If πΊ is a proper class, however, it represents the null graph (without vertices and edges), because (VtxβπΊ) = β and (iEdgβπΊ) = β holds, see vtxvalprc 28305 and iedgvalprc 28306. Up to the end of this section, the edges need not be related to the vertices. Once undirected hypergraphs are defined (see df-uhgr 28318), the edges become nonempty sets of vertices, and by this obtain their meaning as "connectors" of vertices. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Syntax | cedgf 28246 | Extend class notation with an edge function. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
class .ef | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Definition | df-edgf 28247 | Define the edge function (indexed edges) of a graph. (Contributed by AV, 18-Jan-2020.) Use its index-independent form edgfid 28248 instead. (New usage is discouraged.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ .ef = Slot ;18 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | edgfid 28248 | Utility theorem: index-independent form of df-edgf 28247. (Contributed by AV, 16-Nov-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ .ef = Slot (.efβndx) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | edgfndx 28249 | Index value of the df-edgf 28247 slot. (Contributed by AV, 13-Oct-2024.) (New usage is discouraged.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ (.efβndx) = ;18 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | edgfndxnn 28250 | The index value of the edge function extractor is a positive integer. This property should be ensured for every concrete coding because otherwise it could not be used in an extensible structure (slots must be positive integers). (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) (Proof shortened by AV, 13-Oct-2024.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ (.efβndx) β β | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | edgfndxid 28251 | The value of the edge function extractor is the value of the corresponding slot of the structure. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) (Proof shortened by AV, 28-Oct-2024.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ (πΊ β π β (.efβπΊ) = (πΊβ(.efβndx))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | edgfndxidOLD 28252 | Obsolete version of edgfndxid 28251 as of 28-Oct-2024. The value of the edge function extractor is the value of the corresponding slot of the structure. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ (πΊ β π β (.efβπΊ) = (πΊβ(.efβndx))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | basendxltedgfndx 28253 | The index value of the Base slot is less than the index value of the .ef slot. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2024.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ (Baseβndx) < (.efβndx) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | baseltedgfOLD 28254 | Obsolete proof of basendxltedgfndx 28253 as of 30-Oct-2024. The index value of the Base slot is less than the index value of the .ef slot. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ (Baseβndx) < (.efβndx) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | basendxnedgfndx 28255 | The slots Base and .ef are different. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ (Baseβndx) β (.efβndx) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The key concepts in graph theory are vertices and edges. In general, a graph "consists" (at least) of two sets: the set of vertices and the set of edges. The edges "connect" vertices. The meaning of "connect" is different for different kinds of graphs (directed/undirected graphs, hyper-/pseudo-/ multi-/simple graphs, etc.). The simplest way to represent a graph (of any kind) is to define a graph as "an ordered pair of disjoint sets (V, E)" (see section I.1 in [Bollobas] p. 1), or in the notation of Metamath: β¨π, πΈβ©. Another way is to regard a graph as a mathematical structure, which consistes at least of a set (of vertices) and a relation between the vertices (edge function), but which can be enhanced by additional features (see Wikipedia "Mathematical structure", 24-Sep-2020, https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_structure): "In mathematics, a structure is a set endowed with some additional features on the set (e.g., operation, relation, metric, topology). Often, the additional features are attached or related to the set, so as to provide it with some additional meaning or significance.". Such structures are provided as "extensible structures" in Metamath, see df-struct 17080. To allow for expressing and proving most of the theorems for graphs independently from their representation, the functions Vtx and iEdg are defined (see df-vtx 28258 and df-iedg 28259), which provide the vertices resp. (indexed) edges of an arbitrary class πΊ which represents a graph: (VtxβπΊ) resp. (iEdgβπΊ). In literature, these functions are often denoted also by "V" and "E", see section I.1 in [Bollobas] p. 1 ("If G is a graph, then V = V(G) is the vertex set of G, and E = E(G) is the edge set.") or section 1.1 in [Diestel] p. 2 ("The vertex set of graph G is referred to as V(G), its edge set as E(G)."). Instead of providing edges themselves, iEdg is intended to provide a function as mapping of "indices" (the domain of the function) to the edges (therefore called "set of indexed edges"), which allows for hyper-/pseudo-/multigraphs with more than one edge between two (or more) vertices. For example, e1 = e(1) = { a, b } and e2 = e(2) = { a, b } are two different edges connecting the same two vertices a and b (in a pseudograph). In section 1.10 of [Diestel] p. 28, the edge function is defined differently: as "map E -> V u. [V]^2 assigning to every edge either one or two vertices, its end.". Here, the domain is the set of abstract edges: for two different edges e1 and e2 connecting the same two vertices a and b, we would have e(e1) = e(e2) = { a, b }. Since the set of abstract edges can be chosen as index set, these definitions are equivalent. The result of these functions are as expected: for a graph represented as ordered pair (πΊ β (V Γ V)), the set of vertices is (VtxβπΊ) = (1st βπΊ) (see opvtxval 28263) and the set of (indexed) edges is (iEdgβπΊ) = (2nd βπΊ) (see opiedgval 28266), or if πΊ is given as ordered pair πΊ = β¨π, πΈβ©, the set of vertices is (VtxβπΊ) = π (see opvtxfv 28264) and the set of (indexed) edges is (iEdgβπΊ) = πΈ (see opiedgfv 28267). And for a graph represented as extensible structure (πΊ Struct β¨(Baseβndx), (.efβndx)β©), the set of vertices is (VtxβπΊ) = (BaseβπΊ) (see funvtxval 28278) and the set of (indexed) edges is (iEdgβπΊ) = (.efβπΊ) (see funiedgval 28279), or if πΊ is given in its simplest form as extensible structure with two slots (πΊ = {β¨(Baseβndx), πβ©, β¨(.efβndx), πΈβ©}), the set of vertices is (VtxβπΊ) = π (see struct2grvtx 28287) and the set of (indexed) edges is (iEdgβπΊ) = πΈ (see struct2griedg 28288). These two representations are convertible, see graop 28289 and grastruct 28290: If πΊ is a graph (for example πΊ = β¨π, πΈβ©), then π» = {β¨(Baseβndx), (VtxβπΊ)β©, β¨(.efβndx), (iEdgβπΊ)β©} represents essentially the same graph, and if πΊ is a graph (for example πΊ = {β¨(Baseβndx), πβ©, β¨(.efβndx), πΈβ©}), then π» = β¨(VtxβπΊ), (iEdgβπΊ)β© represents essentially the same graph. In both cases, (VtxβπΊ) = (Vtxβπ») and (iEdgβπΊ) = (iEdgβπ») hold. Theorems gropd 28291 and gropeld 28293 show that if any representation of a graph with vertices π and edges πΈ has a certain property, then the ordered pair β¨π, πΈβ© of the set of vertices and the set of edges (which is such a representation of a graph with vertices π and edges πΈ) has this property. Analogously, theorems grstructd 28292 and grstructeld 28294 show that if any representation of a graph with vertices π and edges πΈ has a certain property, then any extensible structure with base set π and value πΈ in the slot for edge functions (which is also such a representation of a graph with vertices π and edges πΈ) has this property. Besides the usual way to represent graphs without edges (consisting of unconnected vertices only), which would be πΊ = β¨π, β β© or πΊ = {β¨(Baseβndx), πβ©, β¨(.efβndx), β β©}, a structure without a slot for edges can be used: πΊ = {β¨(Baseβndx), πβ©}, see snstrvtxval 28297 and snstriedgval 28298. Analogously, the empty set β can be used to represent the null graph, see vtxval0 28299 and iedgval0 28300, which can also be represented by πΊ = β¨β , β β© or πΊ = {β¨(Baseβndx), β β©, β¨(.efβndx), β β©}. Even proper classes can be used to represent the null graph, see vtxvalprc 28305 and iedgvalprc 28306. Other classes should not be used to represent graphs, because there could be a degenerate behavior of the vertex set and (indexed) edge functions, see vtxvalsnop 28301 resp. iedgvalsnop 28302, and vtxval3sn 28303 resp. iedgval3sn 28304. Avoid directly depending on this detail so that theorems will not depend on the Kuratowski construction of ordered pairs, see also the comment for df-op 4636. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Syntax | cvtx 28256 | Extend class notation with the vertices of "graphs". | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
class Vtx | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Syntax | ciedg 28257 | Extend class notation with the indexed edges of "graphs". | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
class iEdg | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Definition | df-vtx 28258 | Define the function mapping a graph to the set of its vertices. This definition is very general: It defines the set of vertices for any ordered pair as its first component, and for any other class as its "base set". It is meaningful, however, only if the ordered pair represents a graph resp. the class is an extensible structure representing a graph. (Contributed by AV, 9-Jan-2020.) (Revised by AV, 20-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ Vtx = (π β V β¦ if(π β (V Γ V), (1st βπ), (Baseβπ))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Definition | df-iedg 28259 | Define the function mapping a graph to its indexed edges. This definition is very general: It defines the indexed edges for any ordered pair as its second component, and for any other class as its "edge function". It is meaningful, however, only if the ordered pair represents a graph resp. the class is an extensible structure (containing a slot for "edge functions") representing a graph. (Contributed by AV, 20-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ iEdg = (π β V β¦ if(π β (V Γ V), (2nd βπ), (.efβπ))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | vtxval 28260 | The set of vertices of a graph. (Contributed by AV, 9-Jan-2020.) (Revised by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ (VtxβπΊ) = if(πΊ β (V Γ V), (1st βπΊ), (BaseβπΊ)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | iedgval 28261 | The set of indexed edges of a graph. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ (iEdgβπΊ) = if(πΊ β (V Γ V), (2nd βπΊ), (.efβπΊ)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | 1vgrex 28262 | A graph with at least one vertex is a set. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ π = (VtxβπΊ) β β’ (π β π β πΊ β V) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | opvtxval 28263 | The set of vertices of a graph represented as an ordered pair of vertices and indexed edges. (Contributed by AV, 9-Jan-2020.) (Revised by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ (πΊ β (V Γ V) β (VtxβπΊ) = (1st βπΊ)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | opvtxfv 28264 | The set of vertices of a graph represented as an ordered pair of vertices and indexed edges as function value. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ ((π β π β§ πΈ β π) β (Vtxββ¨π, πΈβ©) = π) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | opvtxov 28265 | The set of vertices of a graph represented as an ordered pair of vertices and indexed edges as operation value. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ ((π β π β§ πΈ β π) β (πVtxπΈ) = π) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | opiedgval 28266 | The set of indexed edges of a graph represented as an ordered pair of vertices and indexed edges. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ (πΊ β (V Γ V) β (iEdgβπΊ) = (2nd βπΊ)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | opiedgfv 28267 | The set of indexed edges of a graph represented as an ordered pair of vertices and indexed edges as function value. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ ((π β π β§ πΈ β π) β (iEdgββ¨π, πΈβ©) = πΈ) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | opiedgov 28268 | The set of indexed edges of a graph represented as an ordered pair of vertices and indexed edges as operation value. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ ((π β π β§ πΈ β π) β (πiEdgπΈ) = πΈ) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | opvtxfvi 28269 | The set of vertices of a graph represented as an ordered pair of vertices and indexed edges as function value. (Contributed by AV, 4-Mar-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ π β V & β’ πΈ β V β β’ (Vtxββ¨π, πΈβ©) = π | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | opiedgfvi 28270 | The set of indexed edges of a graph represented as an ordered pair of vertices and indexed edges as function value. (Contributed by AV, 4-Mar-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ π β V & β’ πΈ β V β β’ (iEdgββ¨π, πΈβ©) = πΈ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | funvtxdmge2val 28271 | The set of vertices of an extensible structure with (at least) two slots. (Contributed by AV, 12-Oct-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ ((Fun (πΊ β {β }) β§ 2 β€ (β―βdom πΊ)) β (VtxβπΊ) = (BaseβπΊ)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | funiedgdmge2val 28272 | The set of indexed edges of an extensible structure with (at least) two slots. (Contributed by AV, 12-Oct-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ ((Fun (πΊ β {β }) β§ 2 β€ (β―βdom πΊ)) β (iEdgβπΊ) = (.efβπΊ)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | funvtxdm2val 28273 | The set of vertices of an extensible structure with (at least) two slots. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ π΄ β V & β’ π΅ β V β β’ ((Fun (πΊ β {β }) β§ π΄ β π΅ β§ {π΄, π΅} β dom πΊ) β (VtxβπΊ) = (BaseβπΊ)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | funiedgdm2val 28274 | The set of indexed edges of an extensible structure with (at least) two slots. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ π΄ β V & β’ π΅ β V β β’ ((Fun (πΊ β {β }) β§ π΄ β π΅ β§ {π΄, π΅} β dom πΊ) β (iEdgβπΊ) = (.efβπΊ)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | funvtxval0 28275 | The set of vertices of an extensible structure with a base set and (at least) another slot. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ π β V β β’ ((Fun (πΊ β {β }) β§ π β (Baseβndx) β§ {(Baseβndx), π} β dom πΊ) β (VtxβπΊ) = (BaseβπΊ)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | basvtxval 28276 | The set of vertices of a graph represented as an extensible structure with the set of vertices as base set. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ (π β πΊ Struct π) & β’ (π β 2 β€ (β―βdom πΊ)) & β’ (π β π β π) & β’ (π β β¨(Baseβndx), πβ© β πΊ) β β’ (π β (VtxβπΊ) = π) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | edgfiedgval 28277 | The set of indexed edges of a graph represented as an extensible structure with the indexed edges in the slot for edge functions. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ (π β πΊ Struct π) & β’ (π β 2 β€ (β―βdom πΊ)) & β’ (π β πΈ β π) & β’ (π β β¨(.efβndx), πΈβ© β πΊ) β β’ (π β (iEdgβπΊ) = πΈ) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | funvtxval 28278 | The set of vertices of a graph represented as an extensible structure with vertices as base set and indexed edges. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ ((Fun (πΊ β {β }) β§ {(Baseβndx), (.efβndx)} β dom πΊ) β (VtxβπΊ) = (BaseβπΊ)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | funiedgval 28279 | The set of indexed edges of a graph represented as an extensible structure with vertices as base set and indexed edges. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ ((Fun (πΊ β {β }) β§ {(Baseβndx), (.efβndx)} β dom πΊ) β (iEdgβπΊ) = (.efβπΊ)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | structvtxvallem 28280 | Lemma for structvtxval 28281 and structiedg0val 28282. (Contributed by AV, 23-Sep-2020.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ π β β & β’ (Baseβndx) < π & β’ πΊ = {β¨(Baseβndx), πβ©, β¨π, πΈβ©} β β’ ((π β π β§ πΈ β π) β 2 β€ (β―βdom πΊ)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | structvtxval 28281 | The set of vertices of an extensible structure with a base set and another slot. (Contributed by AV, 23-Sep-2020.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ π β β & β’ (Baseβndx) < π & β’ πΊ = {β¨(Baseβndx), πβ©, β¨π, πΈβ©} β β’ ((π β π β§ πΈ β π) β (VtxβπΊ) = π) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | structiedg0val 28282 | The set of indexed edges of an extensible structure with a base set and another slot not being the slot for edge functions is empty. (Contributed by AV, 23-Sep-2020.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ π β β & β’ (Baseβndx) < π & β’ πΊ = {β¨(Baseβndx), πβ©, β¨π, πΈβ©} β β’ ((π β π β§ πΈ β π β§ π β (.efβndx)) β (iEdgβπΊ) = β ) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | structgrssvtxlem 28283 | Lemma for structgrssvtx 28284 and structgrssiedg 28285. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ (π β πΊ Struct π) & β’ (π β π β π) & β’ (π β πΈ β π) & β’ (π β {β¨(Baseβndx), πβ©, β¨(.efβndx), πΈβ©} β πΊ) β β’ (π β 2 β€ (β―βdom πΊ)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | structgrssvtx 28284 | The set of vertices of a graph represented as an extensible structure with vertices as base set and indexed edges. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ (π β πΊ Struct π) & β’ (π β π β π) & β’ (π β πΈ β π) & β’ (π β {β¨(Baseβndx), πβ©, β¨(.efβndx), πΈβ©} β πΊ) β β’ (π β (VtxβπΊ) = π) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | structgrssiedg 28285 | The set of indexed edges of a graph represented as an extensible structure with vertices as base set and indexed edges. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ (π β πΊ Struct π) & β’ (π β π β π) & β’ (π β πΈ β π) & β’ (π β {β¨(Baseβndx), πβ©, β¨(.efβndx), πΈβ©} β πΊ) β β’ (π β (iEdgβπΊ) = πΈ) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | struct2grstr 28286 | A graph represented as an extensible structure with vertices as base set and indexed edges is actually an extensible structure. (Contributed by AV, 23-Nov-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ πΊ = {β¨(Baseβndx), πβ©, β¨(.efβndx), πΈβ©} β β’ πΊ Struct β¨(Baseβndx), (.efβndx)β© | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | struct2grvtx 28287 | The set of vertices of a graph represented as an extensible structure with vertices as base set and indexed edges. (Contributed by AV, 23-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ πΊ = {β¨(Baseβndx), πβ©, β¨(.efβndx), πΈβ©} β β’ ((π β π β§ πΈ β π) β (VtxβπΊ) = π) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | struct2griedg 28288 | The set of indexed edges of a graph represented as an extensible structure with vertices as base set and indexed edges. (Contributed by AV, 23-Sep-2020.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ πΊ = {β¨(Baseβndx), πβ©, β¨(.efβndx), πΈβ©} β β’ ((π β π β§ πΈ β π) β (iEdgβπΊ) = πΈ) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | graop 28289 | Any representation of a graph πΊ (especially as extensible structure πΊ = {β¨(Baseβndx), πβ©, β¨(.efβndx), πΈβ©}) is convertible in a representation of the graph as ordered pair. (Contributed by AV, 7-Oct-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ π» = β¨(VtxβπΊ), (iEdgβπΊ)β© β β’ ((VtxβπΊ) = (Vtxβπ») β§ (iEdgβπΊ) = (iEdgβπ»)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | grastruct 28290 | Any representation of a graph πΊ (especially as ordered pair πΊ = β¨π, πΈβ©) is convertible in a representation of the graph as extensible structure. (Contributed by AV, 8-Oct-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ π» = {β¨(Baseβndx), (VtxβπΊ)β©, β¨(.efβndx), (iEdgβπΊ)β©} β β’ ((VtxβπΊ) = (Vtxβπ») β§ (iEdgβπΊ) = (iEdgβπ»)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | gropd 28291* | If any representation of a graph with vertices π and edges πΈ has a certain property π, then the ordered pair β¨π, πΈβ© of the set of vertices and the set of edges (which is such a representation of a graph with vertices π and edges πΈ) has this property. (Contributed by AV, 11-Oct-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ (π β βπ(((Vtxβπ) = π β§ (iEdgβπ) = πΈ) β π)) & β’ (π β π β π) & β’ (π β πΈ β π) β β’ (π β [β¨π, πΈβ© / π]π) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | grstructd 28292* | If any representation of a graph with vertices π and edges πΈ has a certain property π, then any structure with base set π and value πΈ in the slot for edge functions (which is such a representation of a graph with vertices π and edges πΈ) has this property. (Contributed by AV, 12-Oct-2020.) (Revised by AV, 9-Jun-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ (π β βπ(((Vtxβπ) = π β§ (iEdgβπ) = πΈ) β π)) & β’ (π β π β π) & β’ (π β πΈ β π) & β’ (π β π β π) & β’ (π β Fun (π β {β })) & β’ (π β 2 β€ (β―βdom π)) & β’ (π β (Baseβπ) = π) & β’ (π β (.efβπ) = πΈ) β β’ (π β [π / π]π) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | gropeld 28293* | If any representation of a graph with vertices π and edges πΈ is an element of an arbitrary class πΆ, then the ordered pair β¨π, πΈβ© of the set of vertices and the set of edges (which is such a representation of a graph with vertices π and edges πΈ) is an element of this class πΆ. (Contributed by AV, 11-Oct-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ (π β βπ(((Vtxβπ) = π β§ (iEdgβπ) = πΈ) β π β πΆ)) & β’ (π β π β π) & β’ (π β πΈ β π) β β’ (π β β¨π, πΈβ© β πΆ) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | grstructeld 28294* | If any representation of a graph with vertices π and edges πΈ is an element of an arbitrary class πΆ, then any structure with base set π and value πΈ in the slot for edge functions (which is such a representation of a graph with vertices π and edges πΈ) is an element of this class πΆ. (Contributed by AV, 12-Oct-2020.) (Revised by AV, 9-Jun-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ (π β βπ(((Vtxβπ) = π β§ (iEdgβπ) = πΈ) β π β πΆ)) & β’ (π β π β π) & β’ (π β πΈ β π) & β’ (π β π β π) & β’ (π β Fun (π β {β })) & β’ (π β 2 β€ (β―βdom π)) & β’ (π β (Baseβπ) = π) & β’ (π β (.efβπ) = πΈ) β β’ (π β π β πΆ) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | setsvtx 28295 | The vertices of a structure with a base set and an inserted resp. replaced slot for the edge function. (Contributed by AV, 18-Jan-2020.) (Revised by AV, 16-Nov-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ πΌ = (.efβndx) & β’ (π β πΊ Struct π) & β’ (π β (Baseβndx) β dom πΊ) & β’ (π β πΈ β π) β β’ (π β (Vtxβ(πΊ sSet β¨πΌ, πΈβ©)) = (BaseβπΊ)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | setsiedg 28296 | The (indexed) edges of a structure with a base set and an inserted resp. replaced slot for the edge function. (Contributed by AV, 7-Jun-2021.) (Revised by AV, 16-Nov-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ πΌ = (.efβndx) & β’ (π β πΊ Struct π) & β’ (π β (Baseβndx) β dom πΊ) & β’ (π β πΈ β π) β β’ (π β (iEdgβ(πΊ sSet β¨πΌ, πΈβ©)) = πΈ) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | snstrvtxval 28297 | The set of vertices of a graph without edges represented as an extensible structure with vertices as base set and no indexed edges. See vtxvalsnop 28301 for the (degenerate) case where π = (Baseβndx). (Contributed by AV, 23-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ π β V & β’ πΊ = {β¨(Baseβndx), πβ©} β β’ (π β (Baseβndx) β (VtxβπΊ) = π) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | snstriedgval 28298 | The set of indexed edges of a graph without edges represented as an extensible structure with vertices as base set and no indexed edges. See iedgvalsnop 28302 for the (degenerate) case where π = (Baseβndx). (Contributed by AV, 24-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ π β V & β’ πΊ = {β¨(Baseβndx), πβ©} β β’ (π β (Baseβndx) β (iEdgβπΊ) = β ) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | vtxval0 28299 | Degenerated case 1 for vertices: The set of vertices of the empty set is the empty set. (Contributed by AV, 24-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ (Vtxββ ) = β | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | iedgval0 28300 | Degenerated case 1 for edges: The set of indexed edges of the empty set is the empty set. (Contributed by AV, 24-Sep-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β’ (iEdgββ ) = β |
< Previous Next > |
Copyright terms: Public domain | < Previous Next > |