Theorem mndsgrp 18848

Description: A monoid is a semigroup. (Contributed by FL, 2-Nov-2009.) (Revised by AV, 6-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 6-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mndsgrp	⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Smgrp)

Proof of Theorem mndsgrp

Dummy variables 𝑒 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3	1, 2	ismnddef 18844	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd ↔ (𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑒 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)((𝑒(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘𝐺)𝑒) = 𝑥)))
4	3	simplbi 502	1 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Smgrp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  Smgrpcsgrp 18826  Mndcmnd 18842

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-nul 5267

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-iota 6493  df-fv 6545  df-ov 7420  df-mnd 18843

This theorem is used by:  mndmgm  18849  mndass  18851  gsumccat  18956  mndsssgrp  19052  grpsgrp  19090  mulgnn0dir  19233  mulgnn0ass  19239  ringrng  20432  fidomncyc  43425