Theorem ringrng 20432

Description: A unital ring is a non-unital ring. (Contributed by AV, 6-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ringrng	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Rng)

Proof of Theorem ringrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringabl 20428	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
4		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
5		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6	2, 3, 4, 5	isring 20382	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))))
7		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ (𝑅 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))))) → 𝑅 ∈ Abel)
8		mndsgrp 18848	. . . . . . 7 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
9	8	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
10	9	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ (𝑅 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
11		simpr3 1215	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ (𝑅 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))))) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))))
12	2, 3, 4, 5	isrng 20295	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng ↔ (𝑅 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))))
13	7, 10, 11, 12	syl3anbrc 1362	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ (𝑅 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))))) → 𝑅 ∈ Rng)
14	13	ex 418	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → ((𝑅 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))) → 𝑅 ∈ Rng))
15	6, 14	biimtrid 245	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Rng))
16	1, 15	mpcom 39	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Rng)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  ._rcmulr 17349  Smgrpcsgrp 18826  Mndcmnd 18842  Grpcgrp 19063  Abelcabl 19914  mulGrpcmgp 20279  Rngcrng 20293  Ringcrg 20378

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-plusg 17361  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380

This theorem is used by:  ringssrng  20433  isringrng  20434  ringlz  20441  ringrz  20442  ringm2neg  20454  ringsubdi  20455  ringsubdir  20456  opprring  20494  rhmisrnghm  20628  zrrnghm  20704  rhmimasubrng  20734  subrgsubrng  20746  zrinitorngc  20810  zrtermorngc  20811  zrzeroorngc  20812  rhmsscrnghm  20833  rhmsubcrngclem1  20834  rngcresringcat  20837  ringen1zr0  20950  lidlmcl  21419  dflidl2  21422  lidl0  21425  lidl1  21428  df2idl2  21465  2idlcpbl  21480  quscrng  21492  rngqiprngghmlem1  21496  rngqiprngghmlem2  21497  rngqiprnglinlem2  21501  rngqiprngimf1lem  21503  rngqiprng  21505  rngqiprngimf  21506  rngqiprngghm  21508  rngqiprngimf1  21509  rngqiprngimfo  21510  rng2idl1cntr  21514  rngqiprngfulem4  21523  rngqipring1  21525  zringrng  21669  ringrngd  33677  lidlrng  49156  rhmsubcALTVlem3  49206  rhmsubcALTVlem4  49207