Theorem mulgnn0ass 18984

Description: Product of group multiples, generalized to ℕ₀. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgass.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0ass	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgnn0ass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndsgrp 18627	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Smgrp)
2	1	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Smgrp)
3	2	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐺 ∈ Smgrp)
4		simprl 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑀 ∈ ℕ)
5		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
6		simpr3 1196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7	6	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		mulgass.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
9		mulgass.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝐺)
10	8, 9	mulgnnass 18983	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
11	3, 4, 5, 7, 10	syl13anc 1372	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
12	11	expr 457	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
13		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
14	8, 13, 9	mulg0 18951	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
15	6, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
16		simpr1 1194	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
17	16	nn0cnd 12530	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℂ)
18	17	mul01d 11409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · 0) = 0)
19	18	oveq1d 7420	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 0) · 𝑋) = (0 · 𝑋))
20	15	oveq2d 7421	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (0 · 𝑋)) = (𝑀 · (0g‘𝐺)))
21	8, 9, 13	mulgnn0z 18975	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
22	21	3ad2antr1 1188	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
23	20, 22	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (0 · 𝑋)) = (0g‘𝐺))
24	15, 19, 23	3eqtr4d 2782	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 0) · 𝑋) = (𝑀 · (0 · 𝑋)))
25	24	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 0) · 𝑋) = (𝑀 · (0 · 𝑋)))
26		oveq2 7413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · 0))
27	26	oveq1d 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 0) · 𝑋))
28		oveq1 7412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
29	28	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · (0 · 𝑋)))
30	27, 29	eqeq12d 2748	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) ↔ ((𝑀 · 0) · 𝑋) = (𝑀 · (0 · 𝑋))))
31	25, 30	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 = 0 → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
32		simpr2 1195	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
33		elnn0 12470	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
34	32, 33	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
35	34	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
36	12, 31, 35	mpjaod 858	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
37	36	ex 413	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
38	32	nn0cnd 12530	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℂ)
39	38	mul02d 11408	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (0 · 𝑁) = 0)
40	39	oveq1d 7420	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((0 · 𝑁) · 𝑋) = (0 · 𝑋))
41	8, 9	mulgnn0cl 18964	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
42	41	3adant3r1 1182	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
43	8, 13, 9	mulg0 18951	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵 → (0 · (𝑁 · 𝑋)) = (0g‘𝐺))
44	42, 43	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (0 · (𝑁 · 𝑋)) = (0g‘𝐺))
45	15, 40, 44	3eqtr4d 2782	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((0 · 𝑁) · 𝑋) = (0 · (𝑁 · 𝑋)))
46		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 · 𝑁) = (0 · 𝑁))
47	46	oveq1d 7420	. . . 4 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = ((0 · 𝑁) · 𝑋))
48		oveq1 7412	. . . 4 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) = (0 · (𝑁 · 𝑋)))
49	47, 48	eqeq12d 2748	. . 3 ⊢ (𝑀 = 0 → (((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) ↔ ((0 · 𝑁) · 𝑋) = (0 · (𝑁 · 𝑋))))
50	45, 49	syl5ibrcom 246	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 = 0 → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
51		elnn0 12470	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
52	16, 51	sylib 217	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
53	37, 50, 52	mpjaod 858	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106   · cmul 11111  ℕcn 12208  ℕ₀cn0 12468  Basecbs 17140  0_gc0g 17381  Smgrpcsgrp 18605  Mndcmnd 18621  ._gcmg 18944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-seq 13963  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mulg 18945

This theorem is referenced by:  mulgass  18985  odmodnn0  19402