MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn0ass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnn0ass 19037
Description: Product of group multiples, generalized to โ„•0. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgass.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgass.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgnn0ass ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))

Proof of Theorem mulgnn0ass
StepHypRef Expression
1 mndsgrp 18673 . . . . . . . 8 (๐บ โˆˆ Mnd โ†’ ๐บ โˆˆ Smgrp)
21adantr 480 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐บ โˆˆ Smgrp)
32adantr 480 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐บ โˆˆ Smgrp)
4 simprl 768 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
5 simprr 770 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
6 simpr3 1193 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
76adantr 480 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
8 mulgass.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
9 mulgass.t . . . . . . 7 ยท = (.gโ€˜๐บ)
108, 9mulgnnass 19036 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
113, 4, 5, 7, 10syl13anc 1369 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
1211expr 456 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))
13 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
148, 13, 9mulg0 19002 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
156, 14syl 17 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
16 simpr1 1191 . . . . . . . . . 10 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
1716nn0cnd 12538 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
1817mul01d 11417 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท 0) = 0)
1918oveq1d 7420 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ ยท 0) ยท ๐‘‹) = (0 ยท ๐‘‹))
2015oveq2d 7421 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท (0 ยท ๐‘‹)) = (๐‘€ ยท (0gโ€˜๐บ)))
218, 9, 13mulgnn0z 19028 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ ยท (0gโ€˜๐บ)) = (0gโ€˜๐บ))
22213ad2antr1 1185 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท (0gโ€˜๐บ)) = (0gโ€˜๐บ))
2320, 22eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท (0 ยท ๐‘‹)) = (0gโ€˜๐บ))
2415, 19, 233eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ ยท 0) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (0 ยท ๐‘‹)))
2524adantr 480 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ ยท 0) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (0 ยท ๐‘‹)))
26 oveq2 7413 . . . . . . 7 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) = (๐‘€ ยท 0))
2726oveq1d 7420 . . . . . 6 (๐‘ = 0 โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท 0) ยท ๐‘‹))
28 oveq1 7412 . . . . . . 7 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = (0 ยท ๐‘‹))
2928oveq2d 7421 . . . . . 6 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘€ ยท (0 ยท ๐‘‹)))
3027, 29eqeq12d 2742 . . . . 5 (๐‘ = 0 โ†’ (((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) โ†” ((๐‘€ ยท 0) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (0 ยท ๐‘‹))))
3125, 30syl5ibrcom 246 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ = 0 โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))
32 simpr2 1192 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
33 elnn0 12478 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0))
3432, 33sylib 217 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0))
3534adantr 480 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0))
3612, 31, 35mpjaod 857 . . 3 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
3736ex 412 . 2 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))
3832nn0cnd 12538 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3938mul02d 11416 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (0 ยท ๐‘) = 0)
4039oveq1d 7420 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((0 ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (0 ยท ๐‘‹))
418, 9mulgnn0cl 19017 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
42413adant3r1 1179 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
438, 13, 9mulg0 19002 . . . . 5 ((๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โ†’ (0 ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (0gโ€˜๐บ))
4442, 43syl 17 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (0 ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (0gโ€˜๐บ))
4515, 40, 443eqtr4d 2776 . . 3 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((0 ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (0 ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
46 oveq1 7412 . . . . 5 (๐‘€ = 0 โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) = (0 ยท ๐‘))
4746oveq1d 7420 . . . 4 (๐‘€ = 0 โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((0 ยท ๐‘) ยท ๐‘‹))
48 oveq1 7412 . . . 4 (๐‘€ = 0 โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (0 ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
4947, 48eqeq12d 2742 . . 3 (๐‘€ = 0 โ†’ (((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) โ†” ((0 ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (0 ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))
5045, 49syl5ibrcom 246 . 2 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ = 0 โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))
51 elnn0 12478 . . 3 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘€ = 0))
5216, 51sylib 217 . 2 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘€ = 0))
5337, 50, 52mpjaod 857 1 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112   ยท cmul 11117  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  Basecbs 17153  0gc0g 17394  Smgrpcsgrp 18651  Mndcmnd 18667  .gcmg 18995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-seq 13973  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mulg 18996
This theorem is referenced by:  mulgass  19038  odmodnn0  19460  primrootscoprbij  41483  aks6d1c1p3  41488  aks6d1c1p5  41490  aks6d1c2lem3  41503
  Copyright terms: Public domain W3C validator