Theorem mulgnn0ass 18266

Description: Product of group multiples, generalized to ℕ₀. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgass.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0ass	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgnn0ass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndsgrp 17920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Smgrp)
2	1	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Smgrp)
3	2	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐺 ∈ Smgrp)
4		simprl 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑀 ∈ ℕ)
5		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
6		simpr3 1192	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7	6	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		mulgass.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
9		mulgass.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝐺)
10	8, 9	mulgnnass 18265	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
11	3, 4, 5, 7, 10	syl13anc 1368	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
12	11	expr 459	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
13		eqid 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
14	8, 13, 9	mulg0 18234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
15	6, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
16		simpr1 1190	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
17	16	nn0cnd 11960	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℂ)
18	17	mul01d 10842	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · 0) = 0)
19	18	oveq1d 7174	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 0) · 𝑋) = (0 · 𝑋))
20	15	oveq2d 7175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (0 · 𝑋)) = (𝑀 · (0g‘𝐺)))
21	8, 9, 13	mulgnn0z 18257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
22	21	3ad2antr1 1184	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
23	20, 22	eqtrd 2859	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (0 · 𝑋)) = (0g‘𝐺))
24	15, 19, 23	3eqtr4d 2869	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 0) · 𝑋) = (𝑀 · (0 · 𝑋)))
25	24	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 0) · 𝑋) = (𝑀 · (0 · 𝑋)))
26		oveq2 7167	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · 0))
27	26	oveq1d 7174	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 0) · 𝑋))
28		oveq1 7166	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
29	28	oveq2d 7175	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · (0 · 𝑋)))
30	27, 29	eqeq12d 2840	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) ↔ ((𝑀 · 0) · 𝑋) = (𝑀 · (0 · 𝑋))))
31	25, 30	syl5ibrcom 249	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 = 0 → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
32		simpr2 1191	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
33		elnn0 11902	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
34	32, 33	sylib 220	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
35	34	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
36	12, 31, 35	mpjaod 856	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
37	36	ex 415	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
38	32	nn0cnd 11960	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℂ)
39	38	mul02d 10841	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (0 · 𝑁) = 0)
40	39	oveq1d 7174	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((0 · 𝑁) · 𝑋) = (0 · 𝑋))
41	8, 9	mulgnn0cl 18247	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
42	41	3adant3r1 1178	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
43	8, 13, 9	mulg0 18234	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵 → (0 · (𝑁 · 𝑋)) = (0g‘𝐺))
44	42, 43	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (0 · (𝑁 · 𝑋)) = (0g‘𝐺))
45	15, 40, 44	3eqtr4d 2869	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((0 · 𝑁) · 𝑋) = (0 · (𝑁 · 𝑋)))
46		oveq1 7166	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 · 𝑁) = (0 · 𝑁))
47	46	oveq1d 7174	. . . 4 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = ((0 · 𝑁) · 𝑋))
48		oveq1 7166	. . . 4 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) = (0 · (𝑁 · 𝑋)))
49	47, 48	eqeq12d 2840	. . 3 ⊢ (𝑀 = 0 → (((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) ↔ ((0 · 𝑁) · 𝑋) = (0 · (𝑁 · 𝑋))))
50	45, 49	syl5ibrcom 249	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 = 0 → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
51		elnn0 11902	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
52	16, 51	sylib 220	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
53	37, 50, 52	mpjaod 856	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  0cc0 10540   · cmul 10545  ℕcn 11641  ℕ₀cn0 11900  Basecbs 16486  0_gc0g 16716  Smgrpcsgrp 17903  Mndcmnd 17914  ._gcmg 18227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-seq 13373  df-0g 16718  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-mulg 18228

This theorem is referenced by:  mulgass  18267  odmodnn0  18671