MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn0ass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnn0ass 18017
Description: Product of group multiples, generalized to 0. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgass.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgass.t · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgnn0ass ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgnn0ass
StepHypRef Expression
1 mndsgrp 17738 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ SGrp)
21adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → 𝐺 ∈ SGrp)
32adantr 481 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐺 ∈ SGrp)
4 simprl 767 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑀 ∈ ℕ)
5 simprr 769 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
6 simpr3 1189 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → 𝑋𝐵)
76adantr 481 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑋𝐵)
8 mulgass.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
9 mulgass.t . . . . . . 7 · = (.g𝐺)
108, 9mulgnnass 18016 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ SGrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
113, 4, 5, 7, 10syl13anc 1365 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
1211expr 457 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
13 eqid 2795 . . . . . . . . 9 (0g𝐺) = (0g𝐺)
148, 13, 9mulg0 17988 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
156, 14syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
16 simpr1 1187 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
1716nn0cnd 11805 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → 𝑀 ∈ ℂ)
1817mul01d 10686 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → (𝑀 · 0) = 0)
1918oveq1d 7031 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → ((𝑀 · 0) · 𝑋) = (0 · 𝑋))
2015oveq2d 7032 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → (𝑀 · (0 · 𝑋)) = (𝑀 · (0g𝐺)))
218, 9, 13mulgnn0z 18008 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (0g𝐺)) = (0g𝐺))
22213ad2antr1 1181 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → (𝑀 · (0g𝐺)) = (0g𝐺))
2320, 22eqtrd 2831 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → (𝑀 · (0 · 𝑋)) = (0g𝐺))
2415, 19, 233eqtr4d 2841 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → ((𝑀 · 0) · 𝑋) = (𝑀 · (0 · 𝑋)))
2524adantr 481 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 0) · 𝑋) = (𝑀 · (0 · 𝑋)))
26 oveq2 7024 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · 0))
2726oveq1d 7031 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 0) · 𝑋))
28 oveq1 7023 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
2928oveq2d 7032 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · (0 · 𝑋)))
3027, 29eqeq12d 2810 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) ↔ ((𝑀 · 0) · 𝑋) = (𝑀 · (0 · 𝑋))))
3125, 30syl5ibrcom 248 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 = 0 → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
32 simpr2 1188 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
33 elnn0 11747 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
3432, 33sylib 219 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
3534adantr 481 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
3612, 31, 35mpjaod 855 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
3736ex 413 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
3832nn0cnd 11805 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → 𝑁 ∈ ℂ)
3938mul02d 10685 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → (0 · 𝑁) = 0)
4039oveq1d 7031 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → ((0 · 𝑁) · 𝑋) = (0 · 𝑋))
418, 9mulgnn0cl 17999 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
42413adant3r1 1175 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
438, 13, 9mulg0 17988 . . . . 5 ((𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵 → (0 · (𝑁 · 𝑋)) = (0g𝐺))
4442, 43syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → (0 · (𝑁 · 𝑋)) = (0g𝐺))
4515, 40, 443eqtr4d 2841 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → ((0 · 𝑁) · 𝑋) = (0 · (𝑁 · 𝑋)))
46 oveq1 7023 . . . . 5 (𝑀 = 0 → (𝑀 · 𝑁) = (0 · 𝑁))
4746oveq1d 7031 . . . 4 (𝑀 = 0 → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = ((0 · 𝑁) · 𝑋))
48 oveq1 7023 . . . 4 (𝑀 = 0 → (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) = (0 · (𝑁 · 𝑋)))
4947, 48eqeq12d 2810 . . 3 (𝑀 = 0 → (((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) ↔ ((0 · 𝑁) · 𝑋) = (0 · (𝑁 · 𝑋))))
5045, 49syl5ibrcom 248 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → (𝑀 = 0 → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
51 elnn0 11747 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
5216, 51sylib 219 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
5337, 50, 52mpjaod 855 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 842  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  cfv 6225  (class class class)co 7016  0cc0 10383   · cmul 10388  cn 11486  0cn0 11745  Basecbs 16312  0gc0g 16542  SGrpcsgrp 17722  Mndcmnd 17733  .gcmg 17981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743  df-seq 13220  df-0g 16544  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-mulg 17982
This theorem is referenced by:  mulgass  18018  odmodnn0  18399
  Copyright terms: Public domain W3C validator