MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn0dir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnn0dir 19031
Description: Sum of group multiples, generalized to โ„•0. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnndir.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgnndir.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
mulgnndir.p + = (+gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgnn0dir ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))

Proof of Theorem mulgnn0dir
StepHypRef Expression
1 mndsgrp 18673 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ Mnd โ†’ ๐บ โˆˆ Smgrp)
21adantr 480 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐บ โˆˆ Smgrp)
32ad2antrr 723 . . . 4 ((((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐บ โˆˆ Smgrp)
4 simplr 766 . . . 4 ((((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
5 simpr 484 . . . 4 ((((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
6 simpr3 1193 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
76ad2antrr 723 . . . 4 ((((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
8 mulgnndir.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
9 mulgnndir.t . . . . 5 ยท = (.gโ€˜๐บ)
10 mulgnndir.p . . . . 5 + = (+gโ€˜๐บ)
118, 9, 10mulgnndir 19030 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
123, 4, 5, 7, 11syl13anc 1369 . . 3 ((((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
13 simpll 764 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
14 simpr1 1191 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
1514adantr 480 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
16 simplr3 1214 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
178, 9, 13, 15, 16mulgnn0cld 19022 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
18 eqid 2726 . . . . . . 7 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
198, 10, 18mndrid 18688 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (0gโ€˜๐บ)) = (๐‘€ ยท ๐‘‹))
2013, 17, 19syl2anc 583 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (0gโ€˜๐บ)) = (๐‘€ ยท ๐‘‹))
21 simpr 484 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ๐‘ = 0)
2221oveq1d 7420 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = (0 ยท ๐‘‹))
238, 18, 9mulg0 19002 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
2416, 23syl 17 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
2522, 24eqtrd 2766 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
2625oveq2d 7421 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (0gโ€˜๐บ)))
2721oveq2d 7421 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) = (๐‘€ + 0))
2815nn0cnd 12538 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
2928addridd 11418 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘€ + 0) = ๐‘€)
3027, 29eqtrd 2766 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) = ๐‘€)
3130oveq1d 7420 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท ๐‘‹))
3220, 26, 313eqtr4rd 2777 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
3332adantlr 712 . . 3 ((((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
34 simpr2 1192 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
35 elnn0 12478 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0))
3634, 35sylib 217 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0))
3736adantr 480 . . 3 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0))
3812, 33, 37mpjaodan 955 . 2 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
39 simpll 764 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
40 simplr2 1213 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
41 simplr3 1214 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
428, 9, 39, 40, 41mulgnn0cld 19022 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
438, 10, 18mndlid 18687 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((0gโ€˜๐บ) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
4439, 42, 43syl2anc 583 . . 3 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ((0gโ€˜๐บ) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
45 simpr 484 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ๐‘€ = 0)
4645oveq1d 7420 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘‹) = (0 ยท ๐‘‹))
4741, 23syl 17 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
4846, 47eqtrd 2766 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
4948oveq1d 7420 . . 3 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) = ((0gโ€˜๐บ) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
5045oveq1d 7420 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) = (0 + ๐‘))
5140nn0cnd 12538 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
5251addlidd 11419 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (0 + ๐‘) = ๐‘)
5350, 52eqtrd 2766 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) = ๐‘)
5453oveq1d 7420 . . 3 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
5544, 49, 543eqtr4rd 2777 . 2 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
56 elnn0 12478 . . 3 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘€ = 0))
5714, 56sylib 217 . 2 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘€ = 0))
5838, 55, 57mpjaodan 955 1 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112   + caddc 11115  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  0gc0g 17394  Smgrpcsgrp 18651  Mndcmnd 18667  .gcmg 18995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-seq 13973  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mulg 18996
This theorem is referenced by:  mulgdirlem  19032  cycsubm  19128  cycsubmcom  19130  odmodnn0  19460  mndodconglem  19461  srgbinomlem  20135  evlslem1  21987  cpmadugsumlemB  22731  omndmul2  32736  omndmul3  32737  aks6d1c2lem3  41503  aks6d1c5lem3  41514  mhphflem  41730
  Copyright terms: Public domain W3C validator