Theorem mulgnn0dir 19092

Description: Sum of group multiples, generalized to ℕ₀. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnndir.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnndir.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnndir.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0dir	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgnn0dir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndsgrp 18723	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Smgrp)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Smgrp)
3	2	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Smgrp)
4		simplr 768	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
5		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
6		simpr3 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7	6	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		mulgnndir.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
9		mulgnndir.t	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
10		mulgnndir.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
11	8, 9, 10	mulgnndir 19091	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
12	3, 4, 5, 7, 11	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
13		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → 𝐺 ∈ Mnd)
14		simpr1 1195	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
16		simplr3 1218	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
17	8, 9, 13, 15, 16	mulgnn0cld 19083	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
18		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
19	8, 10, 18	mndrid 18738	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑀 · 𝑋) + (0g‘𝐺)) = (𝑀 · 𝑋))
20	13, 17, 19	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 · 𝑋) + (0g‘𝐺)) = (𝑀 · 𝑋))
21		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
22	21	oveq1d 7425	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
23	8, 18, 9	mulg0 19062	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
24	16, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
25	22, 24	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
26	25	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋) + (0g‘𝐺)))
27	21	oveq2d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 + 𝑁) = (𝑀 + 0))
28	15	nn0cnd 12569	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
29	28	addridd 11440	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
30	27, 29	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 + 𝑁) = 𝑀)
31	30	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · 𝑋))
32	20, 26, 31	3eqtr4rd 2782	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
33	32	adantlr 715	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
34		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
35		elnn0 12508	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
36	34, 35	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
37	36	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
38	12, 33, 37	mpjaodan 960	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
39		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝐺 ∈ Mnd)
40		simplr2 1217	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
41		simplr3 1218	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
42	8, 9, 39, 40, 41	mulgnn0cld 19083	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
43	8, 10, 18	mndlid 18737	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + (𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
44	39, 42, 43	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → ((0g‘𝐺) + (𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
45		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
46	45	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
47	41, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
48	46, 47	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
49	48	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) = ((0g‘𝐺) + (𝑁 · 𝑋)))
50	45	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 + 𝑁) = (0 + 𝑁))
51	40	nn0cnd 12569	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
52	51	addlidd 11441	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (0 + 𝑁) = 𝑁)
53	50, 52	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 + 𝑁) = 𝑁)
54	53	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
55	44, 49, 54	3eqtr4rd 2782	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
56		elnn0 12508	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
57	14, 56	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
58	38, 55, 57	mpjaodan 960	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11134   + caddc 11137  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12506  Basecbs 17233  +_gcplusg 17276  0_gc0g 17458  Smgrpcsgrp 18701  Mndcmnd 18717  ._gcmg 19055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-seq 14025  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mulg 19056

This theorem is referenced by:  mulgdirlem  19093  cycsubm  19190  cycsubmcom  19192  odmodnn0  19526  mndodconglem  19527  srgbinomlem  20195  evlslem1  22045  psdmul  22109  cpmadugsumlemB  22817  omndmul2  33085  omndmul3  33086  aks6d1c2lem3  42144  aks6d1c5lem3  42155  mhphflem  42586