MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn0dir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnn0dir 19061
Description: Sum of group multiples, generalized to โ„•0. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnndir.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgnndir.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
mulgnndir.p + = (+gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgnn0dir ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))

Proof of Theorem mulgnn0dir
StepHypRef Expression
1 mndsgrp 18697 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ Mnd โ†’ ๐บ โˆˆ Smgrp)
21adantr 479 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐บ โˆˆ Smgrp)
32ad2antrr 724 . . . 4 ((((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐บ โˆˆ Smgrp)
4 simplr 767 . . . 4 ((((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
5 simpr 483 . . . 4 ((((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
6 simpr3 1193 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
76ad2antrr 724 . . . 4 ((((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
8 mulgnndir.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
9 mulgnndir.t . . . . 5 ยท = (.gโ€˜๐บ)
10 mulgnndir.p . . . . 5 + = (+gโ€˜๐บ)
118, 9, 10mulgnndir 19060 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
123, 4, 5, 7, 11syl13anc 1369 . . 3 ((((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
13 simpll 765 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
14 simpr1 1191 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
1514adantr 479 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
16 simplr3 1214 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
178, 9, 13, 15, 16mulgnn0cld 19052 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
18 eqid 2725 . . . . . . 7 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
198, 10, 18mndrid 18712 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (0gโ€˜๐บ)) = (๐‘€ ยท ๐‘‹))
2013, 17, 19syl2anc 582 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (0gโ€˜๐บ)) = (๐‘€ ยท ๐‘‹))
21 simpr 483 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ๐‘ = 0)
2221oveq1d 7430 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = (0 ยท ๐‘‹))
238, 18, 9mulg0 19032 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
2416, 23syl 17 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
2522, 24eqtrd 2765 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
2625oveq2d 7431 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (0gโ€˜๐บ)))
2721oveq2d 7431 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) = (๐‘€ + 0))
2815nn0cnd 12562 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
2928addridd 11442 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘€ + 0) = ๐‘€)
3027, 29eqtrd 2765 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) = ๐‘€)
3130oveq1d 7430 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท ๐‘‹))
3220, 26, 313eqtr4rd 2776 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
3332adantlr 713 . . 3 ((((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
34 simpr2 1192 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
35 elnn0 12502 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0))
3634, 35sylib 217 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0))
3736adantr 479 . . 3 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0))
3812, 33, 37mpjaodan 956 . 2 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
39 simpll 765 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
40 simplr2 1213 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
41 simplr3 1214 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
428, 9, 39, 40, 41mulgnn0cld 19052 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
438, 10, 18mndlid 18711 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((0gโ€˜๐บ) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
4439, 42, 43syl2anc 582 . . 3 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ((0gโ€˜๐บ) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
45 simpr 483 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ๐‘€ = 0)
4645oveq1d 7430 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘‹) = (0 ยท ๐‘‹))
4741, 23syl 17 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
4846, 47eqtrd 2765 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
4948oveq1d 7430 . . 3 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) = ((0gโ€˜๐บ) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
5045oveq1d 7430 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) = (0 + ๐‘))
5140nn0cnd 12562 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
5251addlidd 11443 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (0 + ๐‘) = ๐‘)
5350, 52eqtrd 2765 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) = ๐‘)
5453oveq1d 7430 . . 3 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
5544, 49, 543eqtr4rd 2776 . 2 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
56 elnn0 12502 . . 3 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘€ = 0))
5714, 56sylib 217 . 2 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘€ = 0))
5838, 55, 57mpjaodan 956 1 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  0cc0 11136   + caddc 11139  โ„•cn 12240  โ„•0cn0 12500  Basecbs 17177  +gcplusg 17230  0gc0g 17418  Smgrpcsgrp 18675  Mndcmnd 18691  .gcmg 19025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-seq 13997  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mulg 19026
This theorem is referenced by:  mulgdirlem  19062  cycsubm  19159  cycsubmcom  19161  odmodnn0  19497  mndodconglem  19498  srgbinomlem  20172  evlslem1  22033  psdmul  22096  cpmadugsumlemB  22792  omndmul2  32835  omndmul3  32836  aks6d1c2lem3  41652  aks6d1c5lem3  41663  mhphflem  41893
  Copyright terms: Public domain W3C validator