Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn0dir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnn0dir 18253
 Description: Sum of group multiples, generalized to ℕ0. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnndir.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnndir.t · = (.g𝐺)
mulgnndir.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgnn0dir ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgnn0dir
StepHypRef Expression
1 mndsgrp 17913 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Smgrp)
21adantr 484 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → 𝐺 ∈ Smgrp)
32ad2antrr 725 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Smgrp)
4 simplr 768 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
5 simpr 488 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
6 simpr3 1193 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → 𝑋𝐵)
76ad2antrr 725 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋𝐵)
8 mulgnndir.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
9 mulgnndir.t . . . . 5 · = (.g𝐺)
10 mulgnndir.p . . . . 5 + = (+g𝐺)
118, 9, 10mulgnndir 18252 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
123, 4, 5, 7, 11syl13anc 1369 . . 3 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
13 simpll 766 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → 𝐺 ∈ Mnd)
14 simpr1 1191 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
1514adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
16 simplr3 1214 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋𝐵)
178, 9mulgnn0cl 18240 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
1813, 15, 16, 17syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
19 eqid 2824 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
208, 10, 19mndrid 17928 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑀 · 𝑋) + (0g𝐺)) = (𝑀 · 𝑋))
2113, 18, 20syl2anc 587 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 · 𝑋) + (0g𝐺)) = (𝑀 · 𝑋))
22 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
2322oveq1d 7160 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
248, 19, 9mulg0 18227 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
2516, 24syl 17 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
2623, 25eqtrd 2859 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 𝑋) = (0g𝐺))
2726oveq2d 7161 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋) + (0g𝐺)))
2822oveq2d 7161 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 + 𝑁) = (𝑀 + 0))
2915nn0cnd 11950 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
3029addid1d 10832 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
3128, 30eqtrd 2859 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 + 𝑁) = 𝑀)
3231oveq1d 7160 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · 𝑋))
3321, 27, 323eqtr4rd 2870 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
3433adantlr 714 . . 3 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
35 simpr2 1192 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
36 elnn0 11892 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
3735, 36sylib 221 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
3837adantr 484 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
3912, 34, 38mpjaodan 956 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
40 simpll 766 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝐺 ∈ Mnd)
41 simplr2 1213 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
42 simplr3 1214 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑋𝐵)
438, 9mulgnn0cl 18240 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
4440, 41, 42, 43syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
458, 10, 19mndlid 17927 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((0g𝐺) + (𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
4640, 44, 45syl2anc 587 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → ((0g𝐺) + (𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
47 simpr 488 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
4847oveq1d 7160 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
4942, 24syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
5048, 49eqtrd 2859 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · 𝑋) = (0g𝐺))
5150oveq1d 7160 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) = ((0g𝐺) + (𝑁 · 𝑋)))
5247oveq1d 7160 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 + 𝑁) = (0 + 𝑁))
5341nn0cnd 11950 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
5453addid2d 10833 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (0 + 𝑁) = 𝑁)
5552, 54eqtrd 2859 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 + 𝑁) = 𝑁)
5655oveq1d 7160 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
5746, 51, 563eqtr4rd 2870 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
58 elnn0 11892 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
5914, 58sylib 221 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
6039, 57, 59mpjaodan 956 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ‘cfv 6343  (class class class)co 7145  0cc0 10529   + caddc 10532  ℕcn 11630  ℕ0cn0 11890  Basecbs 16479  +gcplusg 16561  0gc0g 16709  Smgrpcsgrp 17896  Mndcmnd 17907  .gcmg 18220 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-er 8279  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11891  df-z 11975  df-uz 12237  df-fz 12891  df-seq 13370  df-0g 16711  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-mulg 18221 This theorem is referenced by:  mulgdirlem  18254  cycsubm  18341  cycsubmcom  18343  odmodnn0  18664  mndodconglem  18665  srgbinomlem  19290  evlslem1  20288  cpmadugsumlemB  21475  omndmul2  30738  omndmul3  30739
 Copyright terms: Public domain W3C validator