Theorem mulgnn0dir 18978

Description: Sum of group multiples, generalized to ℕ₀. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnndir.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnndir.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnndir.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0dir	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgnn0dir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndsgrp 18627	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Smgrp)
2	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Smgrp)
3	2	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Smgrp)
4		simplr 767	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
5		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
6		simpr3 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7	6	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		mulgnndir.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
9		mulgnndir.t	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
10		mulgnndir.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
11	8, 9, 10	mulgnndir 18977	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
12	3, 4, 5, 7, 11	syl13anc 1372	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
13		simpll 765	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → 𝐺 ∈ Mnd)
14		simpr1 1194	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
15	14	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
16		simplr3 1217	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
17	8, 9, 13, 15, 16	mulgnn0cld 18969	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
18		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
19	8, 10, 18	mndrid 18642	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑀 · 𝑋) + (0g‘𝐺)) = (𝑀 · 𝑋))
20	13, 17, 19	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 · 𝑋) + (0g‘𝐺)) = (𝑀 · 𝑋))
21		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
22	21	oveq1d 7420	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
23	8, 18, 9	mulg0 18951	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
24	16, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
25	22, 24	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
26	25	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋) + (0g‘𝐺)))
27	21	oveq2d 7421	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 + 𝑁) = (𝑀 + 0))
28	15	nn0cnd 12530	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
29	28	addridd 11410	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
30	27, 29	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 + 𝑁) = 𝑀)
31	30	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · 𝑋))
32	20, 26, 31	3eqtr4rd 2783	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
33	32	adantlr 713	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
34		simpr2 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
35		elnn0 12470	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
36	34, 35	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
37	36	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
38	12, 33, 37	mpjaodan 957	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
39		simpll 765	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝐺 ∈ Mnd)
40		simplr2 1216	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
41		simplr3 1217	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
42	8, 9, 39, 40, 41	mulgnn0cld 18969	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
43	8, 10, 18	mndlid 18641	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + (𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
44	39, 42, 43	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → ((0g‘𝐺) + (𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
45		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
46	45	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
47	41, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
48	46, 47	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
49	48	oveq1d 7420	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) = ((0g‘𝐺) + (𝑁 · 𝑋)))
50	45	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 + 𝑁) = (0 + 𝑁))
51	40	nn0cnd 12530	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
52	51	addlidd 11411	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (0 + 𝑁) = 𝑁)
53	50, 52	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 + 𝑁) = 𝑁)
54	53	oveq1d 7420	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
55	44, 49, 54	3eqtr4rd 2783	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
56		elnn0 12470	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
57	14, 56	sylib 217	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
58	38, 55, 57	mpjaodan 957	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106   + caddc 11109  ℕcn 12208  ℕ₀cn0 12468  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  0_gc0g 17381  Smgrpcsgrp 18605  Mndcmnd 18621  ._gcmg 18944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-seq 13963  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mulg 18945

This theorem is referenced by:  mulgdirlem  18979  cycsubm  19073  cycsubmcom  19075  odmodnn0  19402  mndodconglem  19403  srgbinomlem  20046  evlslem1  21636  cpmadugsumlemB  22367  omndmul2  32217  omndmul3  32218  mhphflem  41165