MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndmgm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndmgm 17912
Description: A monoid is a magma. (Contributed by FL, 2-Nov-2009.) (Revised by AV, 6-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 6-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
mndmgm (𝑀 ∈ Mnd → 𝑀 ∈ Mgm)

Proof of Theorem mndmgm
StepHypRef Expression
1 mndsgrp 17911 . 2 (𝑀 ∈ Mnd → 𝑀 ∈ Smgrp)
2 sgrpmgm 17900 . 2 (𝑀 ∈ Smgrp → 𝑀 ∈ Mgm)
31, 2syl 17 1 (𝑀 ∈ Mnd → 𝑀 ∈ Mgm)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2110  Mgmcmgm 17844  Smgrpcsgrp 17894  Mndcmnd 17905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-nul 5203
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-iota 6309  df-fv 6358  df-ov 7153  df-sgrp 17895  df-mnd 17906
This theorem is referenced by:  mndcl  17913  mndplusf  17923  mndissubm  17966  grpissubg  18293  srg1zr  19273  ringmgm  19301  chfacfpmmulgsum2  21467  cayhamlem1  21468  ofldchr  30882  idomrootle  39788  ismhm0  44065  mhmismgmhm  44066  c0mgm  44173  c0snmgmhm  44178  c0snmhm  44179
  Copyright terms: Public domain W3C validator