MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndmgm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndmgm 18631
Description: A monoid is a magma. (Contributed by FL, 2-Nov-2009.) (Revised by AV, 6-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 6-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
mndmgm (𝑀 ∈ Mnd → 𝑀 ∈ Mgm)

Proof of Theorem mndmgm
StepHypRef Expression
1 mndsgrp 18630 . 2 (𝑀 ∈ Mnd → 𝑀 ∈ Smgrp)
2 sgrpmgm 18614 . 2 (𝑀 ∈ Smgrp → 𝑀 ∈ Mgm)
31, 2syl 17 1 (𝑀 ∈ Mnd → 𝑀 ∈ Mgm)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  Mgmcmgm 18558  Smgrpcsgrp 18608  Mndcmnd 18624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703  ax-nul 5306
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-iota 6495  df-fv 6551  df-ov 7411  df-sgrp 18609  df-mnd 18625
This theorem is referenced by:  mndcl  18632  mndplusf  18642  mndissubm  18687  grpissubg  19025  srg1zr  20037  ringmgm  20066  chfacfpmmulgsum2  22366  cayhamlem1  22367  ofldchr  32427  idomrootle  41927  ismhm0  46565  mhmismgmhm  46566  c0mgm  46698  c0snmgmhm  46703  c0snmhm  46704
  Copyright terms: Public domain W3C validator