Theorem gsumccat 18800

Description: Homomorphic property of composites. Second formula in [Lang] p. 4. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 26-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumccat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumccat.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsumccat	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))

Proof of Theorem gsumccat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7363	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 ++ 𝑋) = (∅ ++ 𝑋))
2	1	oveq2d 7372	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = (𝐺 Σg (∅ ++ 𝑋)))
3		oveq2 7364	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg ∅))
4		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5	4	gsum0 18643	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺)
6	3, 5	eqtrdi 2790	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑊) = (0g‘𝐺))
7	6	oveq1d 7371	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)) = ((0g‘𝐺) + (𝐺 Σg 𝑋)))
8	2, 7	eqeq12d 2755	. 2 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)) ↔ (𝐺 Σg (∅ ++ 𝑋)) = ((0g‘𝐺) + (𝐺 Σg 𝑋))))
9		oveq2 7364	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝑊 ++ 𝑋) = (𝑊 ++ ∅))
10	9	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑊 ++ ∅)))
11		oveq2 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑋) = (𝐺 Σg ∅))
12	11, 5	eqtrdi 2790	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑋) = (0g‘𝐺))
13	12	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (0g‘𝐺)))
14	10, 13	eqeq12d 2755	. . 3 ⊢ (𝑋 = ∅ → ((𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)) ↔ (𝐺 Σg (𝑊 ++ ∅)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (0g‘𝐺))))
15		mndsgrp 18699	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Smgrp)
16	15	3ad2ant1 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → 𝐺 ∈ Smgrp)
17	16	ad2antrr 732	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ Smgrp)
18		3simpc 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵))
19	18	ad2antrr 732	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵))
20		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 ≠ ∅)
21	20	anim1i 621	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅))
22		gsumccat.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
23		gsumccat.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
24	22, 23	gsumsgrpccat 18799	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))
25	17, 19, 21, 24	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))
26		simpl2 1199	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
27		ccatrid 14541	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (𝑊 ++ ∅) = 𝑊)
28	26, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ++ ∅) = 𝑊)
29	28	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ ∅)) = (𝐺 Σg 𝑊))
30		simpl1 1198	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ Mnd)
31	22	gsumwcl 18798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝐵)
32	31	3adant3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝐵)
33	32	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝐵)
34	22, 23, 4	mndrid 18714	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg 𝑊) + (0g‘𝐺)) = (𝐺 Σg 𝑊))
35	30, 33, 34	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝐺 Σg 𝑊) + (0g‘𝐺)) = (𝐺 Σg 𝑊))
36	29, 35	eqtr4d 2777	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ ∅)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (0g‘𝐺)))
37	14, 25, 36	pm2.61ne 3019	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))
38		ccatlid 14540	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ Word 𝐵 → (∅ ++ 𝑋) = 𝑋)
39	38	3ad2ant3 1141	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (∅ ++ 𝑋) = 𝑋)
40	39	oveq2d 7372	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (∅ ++ 𝑋)) = (𝐺 Σg 𝑋))
41		simp1 1142	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
42	22	gsumwcl 18798	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg 𝑋) ∈ 𝐵)
43	22, 23, 4	mndlid 18713	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐺 Σg 𝑋) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + (𝐺 Σg 𝑋)) = (𝐺 Σg 𝑋))
44	41, 42, 43	3imp3i2an 1352	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → ((0g‘𝐺) + (𝐺 Σg 𝑋)) = (𝐺 Σg 𝑋))
45	40, 44	eqtr4d 2777	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (∅ ++ 𝑋)) = ((0g‘𝐺) + (𝐺 Σg 𝑋)))
46	8, 37, 45	pm2.61ne 3019	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∅c0 4261  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Word cword 14466   ++ cconcat 14523  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  0_gc0g 17393   Σ_g cgsu 17394  Smgrpcsgrp 18677  Mndcmnd 18693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743

This theorem is referenced by:  gsumws2  18801  gsumccatsn  18802  gsumspl  18803  gsumwspan  18805  frmdgsum  18821  frmdup1  18823  gsumwrev  19332  psgnunilem5  19460  psgnuni  19465  frgpuplem  19738  frgpup1  19741  psgnghm  21555  cyc3genpm  33233  elrgspnlem2  33324  1arithufdlem2  33628  mrsubccat  35746  gsumws3  44640  gsumws4  44641