Theorem gsumccat 18665

Description: Homomorphic property of composites. Second formula in [Lang] p. 4. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 26-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumccat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumccat.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsumccat	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))

Proof of Theorem gsumccat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7369	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 ++ 𝑋) = (∅ ++ 𝑋))
2	1	oveq2d 7378	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = (𝐺 Σg (∅ ++ 𝑋)))
3		oveq2 7370	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg ∅))
4		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5	4	gsum0 18553	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺)
6	3, 5	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑊) = (0g‘𝐺))
7	6	oveq1d 7377	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)) = ((0g‘𝐺) + (𝐺 Σg 𝑋)))
8	2, 7	eqeq12d 2747	. 2 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)) ↔ (𝐺 Σg (∅ ++ 𝑋)) = ((0g‘𝐺) + (𝐺 Σg 𝑋))))
9		oveq2 7370	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝑊 ++ 𝑋) = (𝑊 ++ ∅))
10	9	oveq2d 7378	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑊 ++ ∅)))
11		oveq2 7370	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑋) = (𝐺 Σg ∅))
12	11, 5	eqtrdi 2787	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑋) = (0g‘𝐺))
13	12	oveq2d 7378	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (0g‘𝐺)))
14	10, 13	eqeq12d 2747	. . 3 ⊢ (𝑋 = ∅ → ((𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)) ↔ (𝐺 Σg (𝑊 ++ ∅)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (0g‘𝐺))))
15		mndsgrp 18576	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Smgrp)
16	15	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → 𝐺 ∈ Smgrp)
17	16	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ Smgrp)
18		3simpc 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵))
19	18	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵))
20		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 ≠ ∅)
21	20	anim1i 615	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅))
22		gsumccat.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
23		gsumccat.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
24	22, 23	gsumsgrpccat 18664	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))
25	17, 19, 21, 24	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))
26		simpl2 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
27		ccatrid 14487	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (𝑊 ++ ∅) = 𝑊)
28	26, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ++ ∅) = 𝑊)
29	28	oveq2d 7378	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ ∅)) = (𝐺 Σg 𝑊))
30		simpl1 1191	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ Mnd)
31	22	gsumwcl 18663	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝐵)
32	31	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝐵)
33	32	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝐵)
34	22, 23, 4	mndrid 18591	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg 𝑊) + (0g‘𝐺)) = (𝐺 Σg 𝑊))
35	30, 33, 34	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝐺 Σg 𝑊) + (0g‘𝐺)) = (𝐺 Σg 𝑊))
36	29, 35	eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ ∅)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (0g‘𝐺)))
37	14, 25, 36	pm2.61ne 3026	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))
38		ccatlid 14486	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ Word 𝐵 → (∅ ++ 𝑋) = 𝑋)
39	38	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (∅ ++ 𝑋) = 𝑋)
40	39	oveq2d 7378	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (∅ ++ 𝑋)) = (𝐺 Σg 𝑋))
41		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
42	22	gsumwcl 18663	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg 𝑋) ∈ 𝐵)
43	22, 23, 4	mndlid 18590	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐺 Σg 𝑋) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + (𝐺 Σg 𝑋)) = (𝐺 Σg 𝑋))
44	41, 42, 43	3imp3i2an 1345	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → ((0g‘𝐺) + (𝐺 Σg 𝑋)) = (𝐺 Σg 𝑋))
45	40, 44	eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (∅ ++ 𝑋)) = ((0g‘𝐺) + (𝐺 Σg 𝑋)))
46	8, 37, 45	pm2.61ne 3026	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ∅c0 4287  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  Word cword 14414   ++ cconcat 14470  Basecbs 17094  +_gcplusg 17147  0_gc0g 17335   Σ_g cgsu 17336  Smgrpcsgrp 18559  Mndcmnd 18570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9884  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12423  df-z 12509  df-uz 12773  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-seq 13917  df-hash 14241  df-word 14415  df-concat 14471  df-sets 17047  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-ress 17124  df-plusg 17160  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-submnd 18616

This theorem is referenced by:  gsumws2  18666  gsumccatsn  18667  gsumspl  18668  gsumwspan  18670  frmdgsum  18686  frmdup1  18688  gsumwrev  19161  psgnunilem5  19290  psgnuni  19295  frgpuplem  19568  frgpup1  19571  psgnghm  21021  cyc3genpm  32071  mrsubccat  34199  gsumws3  42591  gsumws4  42592