MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumccat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumccat 18656
Description: Homomorphic property of composites. Second formula in [Lang] p. 4. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 26-Dec-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumccat.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumccat.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
gsumccat ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))

Proof of Theorem gsumccat
StepHypRef Expression
1 oveq1 7365 . . . 4 (𝑊 = ∅ → (𝑊 ++ 𝑋) = (∅ ++ 𝑋))
21oveq2d 7374 . . 3 (𝑊 = ∅ → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = (𝐺 Σg (∅ ++ 𝑋)))
3 oveq2 7366 . . . . 5 (𝑊 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg ∅))
4 eqid 2733 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
54gsum0 18544 . . . . 5 (𝐺 Σg ∅) = (0g𝐺)
63, 5eqtrdi 2789 . . . 4 (𝑊 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑊) = (0g𝐺))
76oveq1d 7373 . . 3 (𝑊 = ∅ → ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)) = ((0g𝐺) + (𝐺 Σg 𝑋)))
82, 7eqeq12d 2749 . 2 (𝑊 = ∅ → ((𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)) ↔ (𝐺 Σg (∅ ++ 𝑋)) = ((0g𝐺) + (𝐺 Σg 𝑋))))
9 oveq2 7366 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → (𝑊 ++ 𝑋) = (𝑊 ++ ∅))
109oveq2d 7374 . . . 4 (𝑋 = ∅ → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑊 ++ ∅)))
11 oveq2 7366 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑋) = (𝐺 Σg ∅))
1211, 5eqtrdi 2789 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑋) = (0g𝐺))
1312oveq2d 7374 . . . 4 (𝑋 = ∅ → ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (0g𝐺)))
1410, 13eqeq12d 2749 . . 3 (𝑋 = ∅ → ((𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)) ↔ (𝐺 Σg (𝑊 ++ ∅)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (0g𝐺))))
15 mndsgrp 18567 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Smgrp)
16153ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) → 𝐺 ∈ Smgrp)
1716ad2antrr 725 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ Smgrp)
18 3simpc 1151 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵))
1918ad2antrr 725 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵))
20 simpr 486 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 ≠ ∅)
2120anim1i 616 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅))
22 gsumccat.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
23 gsumccat.p . . . . 5 + = (+g𝐺)
2422, 23gsumsgrpccat 18655 . . . 4 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))
2517, 19, 21, 24syl3anc 1372 . . 3 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))
26 simpl2 1193 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
27 ccatrid 14481 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (𝑊 ++ ∅) = 𝑊)
2826, 27syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ++ ∅) = 𝑊)
2928oveq2d 7374 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ ∅)) = (𝐺 Σg 𝑊))
30 simpl1 1192 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ Mnd)
3122gsumwcl 18654 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝐵)
32313adant3 1133 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝐵)
3332adantr 482 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝐵)
3422, 23, 4mndrid 18582 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg 𝑊) + (0g𝐺)) = (𝐺 Σg 𝑊))
3530, 33, 34syl2anc 585 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝐺 Σg 𝑊) + (0g𝐺)) = (𝐺 Σg 𝑊))
3629, 35eqtr4d 2776 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ ∅)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (0g𝐺)))
3714, 25, 36pm2.61ne 3027 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))
38 ccatlid 14480 . . . . 5 (𝑋 ∈ Word 𝐵 → (∅ ++ 𝑋) = 𝑋)
39383ad2ant3 1136 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) → (∅ ++ 𝑋) = 𝑋)
4039oveq2d 7374 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (∅ ++ 𝑋)) = (𝐺 Σg 𝑋))
41 simp1 1137 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
4222gsumwcl 18654 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg 𝑋) ∈ 𝐵)
4322, 23, 4mndlid 18581 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐺 Σg 𝑋) ∈ 𝐵) → ((0g𝐺) + (𝐺 Σg 𝑋)) = (𝐺 Σg 𝑋))
4441, 42, 433imp3i2an 1346 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) → ((0g𝐺) + (𝐺 Σg 𝑋)) = (𝐺 Σg 𝑋))
4540, 44eqtr4d 2776 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (∅ ++ 𝑋)) = ((0g𝐺) + (𝐺 Σg 𝑋)))
468, 37, 45pm2.61ne 3027 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  c0 4283  cfv 6497  (class class class)co 7358  Word cword 14408   ++ cconcat 14464  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  0gc0g 17326   Σg cgsu 17327  Smgrpcsgrp 18550  Mndcmnd 18561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-word 14409  df-concat 14465  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607
This theorem is referenced by:  gsumws2  18657  gsumccatsn  18658  gsumspl  18659  gsumwspan  18661  frmdgsum  18677  frmdup1  18679  gsumwrev  19152  psgnunilem5  19281  psgnuni  19286  frgpuplem  19559  frgpup1  19562  psgnghm  21000  cyc3genpm  32050  mrsubccat  34169  gsumws3  42557  gsumws4  42558
  Copyright terms: Public domain W3C validator