Theorem gsumccat 18764

Description: Homomorphic property of composites. Second formula in [Lang] p. 4. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 26-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumccat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumccat.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsumccat	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))

Proof of Theorem gsumccat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7363	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 ++ 𝑋) = (∅ ++ 𝑋))
2	1	oveq2d 7372	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = (𝐺 Σg (∅ ++ 𝑋)))
3		oveq2 7364	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg ∅))
4		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5	4	gsum0 18607	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺)
6	3, 5	eqtrdi 2785	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑊) = (0g‘𝐺))
7	6	oveq1d 7371	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)) = ((0g‘𝐺) + (𝐺 Σg 𝑋)))
8	2, 7	eqeq12d 2750	. 2 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)) ↔ (𝐺 Σg (∅ ++ 𝑋)) = ((0g‘𝐺) + (𝐺 Σg 𝑋))))
9		oveq2 7364	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝑊 ++ 𝑋) = (𝑊 ++ ∅))
10	9	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑊 ++ ∅)))
11		oveq2 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑋) = (𝐺 Σg ∅))
12	11, 5	eqtrdi 2785	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑋) = (0g‘𝐺))
13	12	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (0g‘𝐺)))
14	10, 13	eqeq12d 2750	. . 3 ⊢ (𝑋 = ∅ → ((𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)) ↔ (𝐺 Σg (𝑊 ++ ∅)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (0g‘𝐺))))
15		mndsgrp 18663	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Smgrp)
16	15	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → 𝐺 ∈ Smgrp)
17	16	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ Smgrp)
18		3simpc 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵))
19	18	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵))
20		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 ≠ ∅)
21	20	anim1i 615	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅))
22		gsumccat.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
23		gsumccat.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
24	22, 23	gsumsgrpccat 18763	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))
25	17, 19, 21, 24	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))
26		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
27		ccatrid 14509	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (𝑊 ++ ∅) = 𝑊)
28	26, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ++ ∅) = 𝑊)
29	28	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ ∅)) = (𝐺 Σg 𝑊))
30		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ Mnd)
31	22	gsumwcl 18762	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝐵)
32	31	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝐵)
33	32	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝐵)
34	22, 23, 4	mndrid 18678	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg 𝑊) + (0g‘𝐺)) = (𝐺 Σg 𝑊))
35	30, 33, 34	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝐺 Σg 𝑊) + (0g‘𝐺)) = (𝐺 Σg 𝑊))
36	29, 35	eqtr4d 2772	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ ∅)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (0g‘𝐺)))
37	14, 25, 36	pm2.61ne 3015	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))
38		ccatlid 14508	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ Word 𝐵 → (∅ ++ 𝑋) = 𝑋)
39	38	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (∅ ++ 𝑋) = 𝑋)
40	39	oveq2d 7372	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (∅ ++ 𝑋)) = (𝐺 Σg 𝑋))
41		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
42	22	gsumwcl 18762	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg 𝑋) ∈ 𝐵)
43	22, 23, 4	mndlid 18677	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐺 Σg 𝑋) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + (𝐺 Σg 𝑋)) = (𝐺 Σg 𝑋))
44	41, 42, 43	3imp3i2an 1346	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → ((0g‘𝐺) + (𝐺 Σg 𝑋)) = (𝐺 Σg 𝑋))
45	40, 44	eqtr4d 2772	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (∅ ++ 𝑋)) = ((0g‘𝐺) + (𝐺 Σg 𝑋)))
46	8, 37, 45	pm2.61ne 3015	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∅c0 4283  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Word cword 14434   ++ cconcat 14491  Basecbs 17134  +_gcplusg 17175  0_gc0g 17357   Σ_g cgsu 17358  Smgrpcsgrp 18641  Mndcmnd 18657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-hash 14252  df-word 14435  df-concat 14492  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707

This theorem is referenced by:  gsumws2  18765  gsumccatsn  18766  gsumspl  18767  gsumwspan  18769  frmdgsum  18785  frmdup1  18787  gsumwrev  19293  psgnunilem5  19421  psgnuni  19426  frgpuplem  19699  frgpup1  19702  psgnghm  21533  cyc3genpm  33183  elrgspnlem2  33274  1arithufdlem2  33575  mrsubccat  35661  gsumws3  44379  gsumws4  44380