Theorem n0elqs2 39081

Description: Two ways of expressing that the empty set is not an element of a quotient set. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
n0elqs2	⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ dom (𝑅 ↾ 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem n0elqs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0elqs 39080	. 2 ⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ 𝐴 ⊆ dom 𝑅)
2		ssdmres 6006	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝑅 ↔ dom (𝑅 ↾ 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	bitri 278	1 ⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ dom (𝑅 ↾ 𝐴) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  dom cdm 5655   ↾ cres 5657   / cqs 8695

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5661  df-cnv 5663  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ec 8698  df-qs 8702

This theorem is used by: (None)