Theorem n0elqs2 39531

Description: Two ways of expressing that the empty set is not an element of a quotient set. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
n0elqs2	⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ dom (𝑅 ↾ 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem n0elqs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0elqs 39530	. 2 ⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ 𝐴 ⊆ dom 𝑅)
2		ssdmres 6021	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝑅 ↔ dom (𝑅 ↾ 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	bitri 278	1 ⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ dom (𝑅 ↾ 𝐴) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  dom cdm 5658   ↾ cres 5660   / cqs 8754

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-br 5109  df-opab 5174  df-xp 5664  df-cnv 5666  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-ec 8757  df-qs 8761

This theorem is used by: (None)