Theorem n0elqs2 38871

Description: Two ways of expressing that the empty set is not an element of a quotient set. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
n0elqs2	⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ dom (𝑅 ↾ 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem n0elqs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0elqs 38870	. 2 ⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ 𝐴 ⊆ dom 𝑅)
2		ssdmres 6013	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝑅 ↔ dom (𝑅 ↾ 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	bitri 278	1 ⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ dom (𝑅 ↾ 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  dom cdm 5662   ↾ cres 5664   / cqs 8692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-br 5114  df-opab 5178  df-xp 5668  df-cnv 5670  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-ec 8695  df-qs 8699

This theorem is referenced by: (None)