Theorem n0elqs2 37134

Description: Two ways of expressing that the empty set is not an element of a quotient set. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
n0elqs2	⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ dom (𝑅 ↾ 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem n0elqs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0elqs 37133	. 2 ⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ 𝐴 ⊆ dom 𝑅)
2		ssdmres 6002	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝑅 ↔ dom (𝑅 ↾ 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	bitri 275	1 ⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ dom (𝑅 ↾ 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  dom cdm 5675   ↾ cres 5677   / cqs 8698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-br 5148  df-opab 5210  df-xp 5681  df-cnv 5683  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ec 8701  df-qs 8705

This theorem is referenced by: (None)