Theorem n0elqs 39080

Description: Two ways of expressing that the empty set is not an element of a quotient set. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
n0elqs	⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ 𝐴 ⊆ dom 𝑅)

Proof of Theorem n0elqs

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecdmn0 8749	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝑅 ↔ [𝑥]𝑅 ≠ ∅)
2	1	ralbii 3108	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 [𝑥]𝑅 ≠ ∅)
3		dfss3 3920	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑅)
4		nne 2959	. . . . 5 ⊢ (¬ [𝑥]𝑅 ≠ ∅ ↔ [𝑥]𝑅 = ∅)
5	4	rexbii 3109	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ [𝑥]𝑅 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 [𝑥]𝑅 = ∅)
6	5	notbii 323	. . 3 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ [𝑥]𝑅 ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 [𝑥]𝑅 = ∅)
7		dfral2 3113	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 [𝑥]𝑅 ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ [𝑥]𝑅 ≠ ∅)
8		0ex 5264	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
9	8	elqs 8764	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∅ = [𝑥]𝑅)
10		eqcom 2767	. . . . . 6 ⊢ (∅ = [𝑥]𝑅 ↔ [𝑥]𝑅 = ∅)
11	10	rexbii 3109	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∅ = [𝑥]𝑅 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 [𝑥]𝑅 = ∅)
12	9, 11	bitri 278	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 [𝑥]𝑅 = ∅)
13	12	notbii 323	. . 3 ⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 [𝑥]𝑅 = ∅)
14	6, 7, 13	3bitr4ri 307	. 2 ⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 [𝑥]𝑅 ≠ ∅)
15	2, 3, 14	3bitr4ri 307	1 ⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ 𝐴 ⊆ dom 𝑅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  dom cdm 5655  [cec 8694   / cqs 8695

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5661  df-cnv 5663  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ec 8698  df-qs 8702

This theorem is used by:  n0elqs2  39081  n0eldmqs  39480