Theorem n0elqs 37243

Description: Two ways of expressing that the empty set is not an element of a quotient set. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
n0elqs	⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ 𝐴 ⊆ dom 𝑅)

Proof of Theorem n0elqs

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecdmn0 8750	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝑅 ↔ [𝑥]𝑅 ≠ ∅)
2	1	ralbii 3094	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 [𝑥]𝑅 ≠ ∅)
3		dfss3 3971	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑅)
4		nne 2945	. . . . 5 ⊢ (¬ [𝑥]𝑅 ≠ ∅ ↔ [𝑥]𝑅 = ∅)
5	4	rexbii 3095	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ [𝑥]𝑅 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 [𝑥]𝑅 = ∅)
6	5	notbii 320	. . 3 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ [𝑥]𝑅 ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 [𝑥]𝑅 = ∅)
7		dfral2 3100	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 [𝑥]𝑅 ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ [𝑥]𝑅 ≠ ∅)
8		0ex 5308	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
9	8	elqs 8763	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∅ = [𝑥]𝑅)
10		eqcom 2740	. . . . . 6 ⊢ (∅ = [𝑥]𝑅 ↔ [𝑥]𝑅 = ∅)
11	10	rexbii 3095	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∅ = [𝑥]𝑅 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 [𝑥]𝑅 = ∅)
12	9, 11	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 [𝑥]𝑅 = ∅)
13	12	notbii 320	. . 3 ⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 [𝑥]𝑅 = ∅)
14	6, 7, 13	3bitr4ri 304	. 2 ⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 [𝑥]𝑅 ≠ ∅)
15	2, 3, 14	3bitr4ri 304	1 ⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ 𝐴 ⊆ dom 𝑅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323  dom cdm 5677  [cec 8701   / cqs 8702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-cnv 5685  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ec 8705  df-qs 8709

This theorem is referenced by:  n0elqs2  37244  n0eldmqs  37566