Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  n0elqs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem n0elqs 35141
Description: Two ways of expressing that the empty set is not an element of a quotient set. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
n0elqs (¬ ∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ 𝐴 ⊆ dom 𝑅)

Proof of Theorem n0elqs
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ecdmn0 8191 . . 3 (𝑥 ∈ dom 𝑅 ↔ [𝑥]𝑅 ≠ ∅)
21ralbii 3132 . 2 (∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑅 ↔ ∀𝑥𝐴 [𝑥]𝑅 ≠ ∅)
3 dfss3 3882 . 2 (𝐴 ⊆ dom 𝑅 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑅)
4 nne 2988 . . . . 5 (¬ [𝑥]𝑅 ≠ ∅ ↔ [𝑥]𝑅 = ∅)
54rexbii 3211 . . . 4 (∃𝑥𝐴 ¬ [𝑥]𝑅 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝐴 [𝑥]𝑅 = ∅)
65notbii 321 . . 3 (¬ ∃𝑥𝐴 ¬ [𝑥]𝑅 ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑥𝐴 [𝑥]𝑅 = ∅)
7 dfral2 3201 . . 3 (∀𝑥𝐴 [𝑥]𝑅 ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑥𝐴 ¬ [𝑥]𝑅 ≠ ∅)
8 0ex 5107 . . . . . 6 ∅ ∈ V
98elqs 8204 . . . . 5 (∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ ∃𝑥𝐴 ∅ = [𝑥]𝑅)
10 eqcom 2802 . . . . . 6 (∅ = [𝑥]𝑅 ↔ [𝑥]𝑅 = ∅)
1110rexbii 3211 . . . . 5 (∃𝑥𝐴 ∅ = [𝑥]𝑅 ↔ ∃𝑥𝐴 [𝑥]𝑅 = ∅)
129, 11bitri 276 . . . 4 (∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ ∃𝑥𝐴 [𝑥]𝑅 = ∅)
1312notbii 321 . . 3 (¬ ∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ ¬ ∃𝑥𝐴 [𝑥]𝑅 = ∅)
146, 7, 133bitr4ri 305 . 2 (¬ ∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ ∀𝑥𝐴 [𝑥]𝑅 ≠ ∅)
152, 3, 143bitr4ri 305 1 (¬ ∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ 𝐴 ⊆ dom 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 207   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  wral 3105  wrex 3106  wss 3863  c0 4215  dom cdm 5448  [cec 8142   / cqs 8143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pr 5226
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-nul 4216  df-if 4386  df-sn 4477  df-pr 4479  df-op 4483  df-br 4967  df-opab 5029  df-xp 5454  df-cnv 5456  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-ec 8146  df-qs 8150
This theorem is referenced by:  n0elqs2  35142  n0eldmqs  35440
  Copyright terms: Public domain W3C validator