Theorem n0elqs 35141

Description: Two ways of expressing that the empty set is not an element of a quotient set. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
n0elqs	⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ 𝐴 ⊆ dom 𝑅)

Proof of Theorem n0elqs

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecdmn0 8191	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝑅 ↔ [𝑥]𝑅 ≠ ∅)
2	1	ralbii 3132	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 [𝑥]𝑅 ≠ ∅)
3		dfss3 3882	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑅)
4		nne 2988	. . . . 5 ⊢ (¬ [𝑥]𝑅 ≠ ∅ ↔ [𝑥]𝑅 = ∅)
5	4	rexbii 3211	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ [𝑥]𝑅 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 [𝑥]𝑅 = ∅)
6	5	notbii 321	. . 3 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ [𝑥]𝑅 ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 [𝑥]𝑅 = ∅)
7		dfral2 3201	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 [𝑥]𝑅 ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ [𝑥]𝑅 ≠ ∅)
8		0ex 5107	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
9	8	elqs 8204	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∅ = [𝑥]𝑅)
10		eqcom 2802	. . . . . 6 ⊢ (∅ = [𝑥]𝑅 ↔ [𝑥]𝑅 = ∅)
11	10	rexbii 3211	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∅ = [𝑥]𝑅 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 [𝑥]𝑅 = ∅)
12	9, 11	bitri 276	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 [𝑥]𝑅 = ∅)
13	12	notbii 321	. . 3 ⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 [𝑥]𝑅 = ∅)
14	6, 7, 13	3bitr4ri 305	. 2 ⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 [𝑥]𝑅 ≠ ∅)
15	2, 3, 14	3bitr4ri 305	1 ⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ 𝐴 ⊆ dom 𝑅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 207   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984  ∀wral 3105  ∃wrex 3106   ⊆ wss 3863  ∅c0 4215  dom cdm 5448  [cec 8142   / cqs 8143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pr 5226

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-nul 4216  df-if 4386  df-sn 4477  df-pr 4479  df-op 4483  df-br 4967  df-opab 5029  df-xp 5454  df-cnv 5456  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-ec 8146  df-qs 8150

This theorem is referenced by:  n0elqs2  35142  n0eldmqs  35440