Theorem n0elqs 38699

Description: Two ways of expressing that the empty set is not an element of a quotient set. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
n0elqs	⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ 𝐴 ⊆ dom 𝑅)

Proof of Theorem n0elqs

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecdmn0 8686	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝑅 ↔ [𝑥]𝑅 ≠ ∅)
2	1	ralbii 3085	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 [𝑥]𝑅 ≠ ∅)
3		dfss3 3904	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑅)
4		nne 2938	. . . . 5 ⊢ (¬ [𝑥]𝑅 ≠ ∅ ↔ [𝑥]𝑅 = ∅)
5	4	rexbii 3086	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ [𝑥]𝑅 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 [𝑥]𝑅 = ∅)
6	5	notbii 321	. . 3 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ [𝑥]𝑅 ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 [𝑥]𝑅 = ∅)
7		dfral2 3090	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 [𝑥]𝑅 ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ [𝑥]𝑅 ≠ ∅)
8		0ex 5229	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
9	8	elqs 8701	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∅ = [𝑥]𝑅)
10		eqcom 2746	. . . . . 6 ⊢ (∅ = [𝑥]𝑅 ↔ [𝑥]𝑅 = ∅)
11	10	rexbii 3086	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∅ = [𝑥]𝑅 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 [𝑥]𝑅 = ∅)
12	9, 11	bitri 276	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 [𝑥]𝑅 = ∅)
13	12	notbii 321	. . 3 ⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 [𝑥]𝑅 = ∅)
14	6, 7, 13	3bitr4ri 305	. 2 ⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 [𝑥]𝑅 ≠ ∅)
15	2, 3, 14	3bitr4ri 305	1 ⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ 𝐴 ⊆ dom 𝑅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 207   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3063   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261  dom cdm 5618  [cec 8631   / cqs 8632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-br 5073  df-opab 5135  df-xp 5624  df-cnv 5626  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-ec 8635  df-qs 8639

This theorem is referenced by:  n0elqs2  38700  n0eldmqs  39099