Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  n0elqs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem n0elqs 35464
Description: Two ways of expressing that the empty set is not an element of a quotient set. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
n0elqs (¬ ∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ 𝐴 ⊆ dom 𝑅)

Proof of Theorem n0elqs
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ecdmn0 8325 . . 3 (𝑥 ∈ dom 𝑅 ↔ [𝑥]𝑅 ≠ ∅)
21ralbii 3162 . 2 (∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑅 ↔ ∀𝑥𝐴 [𝑥]𝑅 ≠ ∅)
3 dfss3 3953 . 2 (𝐴 ⊆ dom 𝑅 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑅)
4 nne 3017 . . . . 5 (¬ [𝑥]𝑅 ≠ ∅ ↔ [𝑥]𝑅 = ∅)
54rexbii 3244 . . . 4 (∃𝑥𝐴 ¬ [𝑥]𝑅 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝐴 [𝑥]𝑅 = ∅)
65notbii 321 . . 3 (¬ ∃𝑥𝐴 ¬ [𝑥]𝑅 ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑥𝐴 [𝑥]𝑅 = ∅)
7 dfral2 3234 . . 3 (∀𝑥𝐴 [𝑥]𝑅 ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑥𝐴 ¬ [𝑥]𝑅 ≠ ∅)
8 0ex 5202 . . . . . 6 ∅ ∈ V
98elqs 8338 . . . . 5 (∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ ∃𝑥𝐴 ∅ = [𝑥]𝑅)
10 eqcom 2825 . . . . . 6 (∅ = [𝑥]𝑅 ↔ [𝑥]𝑅 = ∅)
1110rexbii 3244 . . . . 5 (∃𝑥𝐴 ∅ = [𝑥]𝑅 ↔ ∃𝑥𝐴 [𝑥]𝑅 = ∅)
129, 11bitri 276 . . . 4 (∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ ∃𝑥𝐴 [𝑥]𝑅 = ∅)
1312notbii 321 . . 3 (¬ ∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ ¬ ∃𝑥𝐴 [𝑥]𝑅 = ∅)
146, 7, 133bitr4ri 305 . 2 (¬ ∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ ∀𝑥𝐴 [𝑥]𝑅 ≠ ∅)
152, 3, 143bitr4ri 305 1 (¬ ∅ ∈ (𝐴 / 𝑅) ↔ 𝐴 ⊆ dom 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 207   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  wss 3933  c0 4288  dom cdm 5548  [cec 8276   / cqs 8277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-br 5058  df-opab 5120  df-xp 5554  df-cnv 5556  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-ec 8280  df-qs 8284
This theorem is referenced by:  n0elqs2  35465  n0eldmqs  35763
  Copyright terms: Public domain W3C validator