Theorem ssdmres 5972

Description: A domain restricted to a subclass equals the subclass. (Contributed by NM, 2-Mar-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ssdmres	⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐵 ↔ dom (𝐵 ↾ 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem ssdmres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3919	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ dom 𝐵) = 𝐴)
2		dmres 5971	. . 3 ⊢ dom (𝐵 ↾ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐵)
3	2	eqeq1i 2741	. 2 ⊢ (dom (𝐵 ↾ 𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ dom 𝐵) = 𝐴)
4	1, 3	bitr4i 278	1 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐵 ↔ dom (𝐵 ↾ 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  dom cdm 5624   ↾ cres 5626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-br 5099  df-opab 5161  df-xp 5630  df-dm 5634  df-res 5636

This theorem is referenced by:  dmresi  6011  fnssresb  6614  fores  6756  foimacnv  6791  dffv2  6929  fssrescdmd  7071  sbthlem4  9018  hashres  14361  hashimarn  14363  dvres3  25870  c1liplem1  25957  lhop1lem  25974  lhop  25977  usgrres  29381  vtxdginducedm1lem2  29614  wlkres  29742  trlreslem  29771  cyclnumvtx  29873  hhssabloi  31337  hhssnv  31339  hhshsslem1  31342  fresf1o  32709  fsupprnfi  32771  gsumhashmul  33150  cycpmconjvlem  33223  exidreslem  38078  divrngcl  38158  isdrngo2  38159  n0elqs2  38526  dvbdfbdioolem1  46172  fourierdlem48  46398  fourierdlem49  46399  fourierdlem71  46421  fourierdlem73  46423  fourierdlem94  46444  fourierdlem111  46461  fourierdlem112  46462  fourierdlem113  46463  fouriersw  46475  fouriercn  46476  dmvon  46850  isubgrgrim  48175