Theorem ssdmres 5980

Description: A domain restricted to a subclass equals the subclass. (Contributed by NM, 2-Mar-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ssdmres	⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐵 ↔ dom (𝐵 ↾ 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem ssdmres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3921	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ dom 𝐵) = 𝐴)
2		dmres 5979	. . 3 ⊢ dom (𝐵 ↾ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐵)
3	2	eqeq1i 2742	. 2 ⊢ (dom (𝐵 ↾ 𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ dom 𝐵) = 𝐴)
4	1, 3	bitr4i 278	1 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐵 ↔ dom (𝐵 ↾ 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  dom cdm 5632   ↾ cres 5634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5638  df-dm 5642  df-res 5644

This theorem is referenced by:  dmresi  6019  fnssresb  6622  fores  6764  foimacnv  6799  dffv2  6937  fssrescdmd  7081  sbthlem4  9030  hashres  14373  hashimarn  14375  dvres3  25882  c1liplem1  25969  lhop1lem  25986  lhop  25989  usgrres  29393  vtxdginducedm1lem2  29626  wlkres  29754  trlreslem  29783  cyclnumvtx  29885  hhssabloi  31350  hhssnv  31352  hhshsslem1  31355  fresf1o  32721  fsupprnfi  32782  gsumhashmul  33161  cycpmconjvlem  33235  exidreslem  38128  divrngcl  38208  isdrngo2  38209  n0elqs2  38584  dvbdfbdioolem1  46286  fourierdlem48  46512  fourierdlem49  46513  fourierdlem71  46535  fourierdlem73  46537  fourierdlem94  46558  fourierdlem111  46575  fourierdlem112  46576  fourierdlem113  46577  fouriersw  46589  fouriercn  46590  dmvon  46964  isubgrgrim  48289