Theorem ssdmres 6005

Description: A domain restricted to a subclass equals the subclass. (Contributed by NM, 2-Mar-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ssdmres	⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐵 ↔ dom (𝐵 ↾ 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem ssdmres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ss 3966	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ dom 𝐵) = 𝐴)
2		dmres 6004	. . 3 ⊢ dom (𝐵 ↾ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐵)
3	2	eqeq1i 2738	. 2 ⊢ (dom (𝐵 ↾ 𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ dom 𝐵) = 𝐴)
4	1, 3	bitr4i 278	1 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐵 ↔ dom (𝐵 ↾ 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  dom cdm 5677   ↾ cres 5679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-dm 5687  df-res 5689

This theorem is referenced by:  dmresi  6052  fnssresb  6673  fores  6816  foimacnv  6851  dffv2  6987  sbthlem4  9086  hashres  14398  hashimarn  14400  dvres3  25430  c1liplem1  25513  lhop1lem  25530  lhop  25533  usgrres  28596  vtxdginducedm1lem2  28828  wlkres  28958  trlreslem  28987  hhssabloi  30546  hhssnv  30548  hhshsslem1  30551  fresf1o  31886  fsupprnfi  31945  gsumhashmul  32239  cycpmconjvlem  32331  exidreslem  36793  divrngcl  36873  isdrngo2  36874  n0elqs2  37244  dvbdfbdioolem1  44692  fourierdlem48  44918  fourierdlem49  44919  fourierdlem71  44941  fourierdlem73  44943  fourierdlem94  44964  fourierdlem111  44981  fourierdlem112  44982  fourierdlem113  44983  fouriersw  44995  fouriercn  44996  dmvon  45370