Theorem ssdmres 6011

Description: A domain restricted to a subclass equals the subclass. (Contributed by NM, 2-Mar-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ssdmres	⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐵 ↔ dom (𝐵 ↾ 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem ssdmres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3922	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ dom 𝐵) = 𝐴)
2		dmres 6010	. . 3 ⊢ dom (𝐵 ↾ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐵)
3	2	eqeq1i 2767	. 2 ⊢ (dom (𝐵 ↾ 𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ dom 𝐵) = 𝐴)
4	1, 3	bitr4i 281	1 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐵 ↔ dom (𝐵 ↾ 𝐴) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  dom cdm 5660   ↾ cres 5662

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-br 5109  df-opab 5173  df-xp 5666  df-dm 5670  df-res 5672

This theorem is used by:  dmresi  6053  fnssresb  6657  fores  6802  foimacnv  6838  dffv2  6976  fssrescdmd  7122  sbthlem4  9076  hashres  14482  hashimarn  14484  dvres3  26083  c1liplem1  26166  lhop1lem  26183  lhop  26186  usgrres  29669  vtxdginducedm1lem2  29901  wlkres  30029  trlreslem  30058  cyclnumvtx  30160  hhssabloi  31625  hhssnv  31627  hhshsslem1  31630  fresf1o  32987  fsupprnfi  33048  gsumhashmul  33396  cycpmconjvlem  33470  exidreslem  38556  divrngcl  38636  isdrngo2  38637  n0elqs2  39010  dvbdfbdioolem1  46670  fourierdlem48  46896  fourierdlem49  46897  fourierdlem71  46919  fourierdlem73  46921  fourierdlem94  46942  fourierdlem111  46959  fourierdlem112  46960  fourierdlem113  46961  fouriersw  46973  fouriercn  46974  dmvon  47348  isubgrgrim  48722