Theorem ssdmres 6014

Description: A domain restricted to a subclass equals the subclass. (Contributed by NM, 2-Mar-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ssdmres	⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐵 ↔ dom (𝐵 ↾ 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem ssdmres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3924	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ dom 𝐵) = 𝐴)
2		dmres 6013	. . 3 ⊢ dom (𝐵 ↾ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐵)
3	2	eqeq1i 2770	. 2 ⊢ (dom (𝐵 ↾ 𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ dom 𝐵) = 𝐴)
4	1, 3	bitr4i 281	1 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐵 ↔ dom (𝐵 ↾ 𝐴) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  dom cdm 5663   ↾ cres 5665

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5112  df-opab 5176  df-xp 5669  df-dm 5673  df-res 5675

This theorem is used by:  dmresi  6056  fnssresb  6661  fores  6806  foimacnv  6842  dffv2  6980  fssrescdmd  7126  sbthlem4  9085  hashres  14493  hashimarn  14495  mgmn0plusgf  18731  dvres3  26123  c1liplem1  26206  lhop1lem  26223  lhop  26226  usgrres  29716  vtxdginducedm1lem2  29948  wlkres  30076  trlreslem  30109  cyclnumvtx  30215  hhssabloi  31685  hhssnv  31687  hhshsslem1  31690  fresf1o  33047  fsupprnfi  33108  gsumhashmul  33451  cycpmconjvlem  33525  exidreslem  38586  divrngcl  38666  isdrngo2  38667  n0elqs2  39040  dvbdfbdioolem1  46700  fourierdlem48  46926  fourierdlem49  46927  fourierdlem71  46949  fourierdlem73  46951  fourierdlem94  46972  fourierdlem111  46989  fourierdlem112  46990  fourierdlem113  46991  fouriersw  47003  fouriercn  47004  dmvon  47378  isubgrgrim  48752