Theorem ssdmres 6005

Description: A domain restricted to a subclass equals the subclass. (Contributed by NM, 2-Mar-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ssdmres	⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐵 ↔ dom (𝐵 ↾ 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem ssdmres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 4093	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ dom 𝐵) = 𝐴)
2		dmres 6004	. . 3 ⊢ dom (𝐵 ↾ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐵)
3	2	eqeq1i 2765	. 2 ⊢ (dom (𝐵 ↾ 𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ dom 𝐵) = 𝐴)
4	1, 3	bitr4i 281	1 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐵 ↔ dom (𝐵 ↾ 𝐴) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1569   ⊆ wss 3896   ∩ cin 4088  dom cdm 5650   ↾ cres 5652

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5656  df-dm 5660  df-res 5662

This theorem is used by:  dmresi  6045  fnssresb  6664  fores  6809  foimacnv  6845  dffv2  6983  fssrescdmd  7130  sbthlem4  9114  hashres  14588  hashimarn  14590  mgmn0plusgf  18834  dvres3  26240  c1liplem1  26323  lhop1lem  26340  lhop  26343  usgrres  29896  vtxdginducedm1lem2  30128  wlkres  30256  trlreslem  30289  cyclnumvtx  30395  hhssabloi  31871  hhssnv  31873  hhshsslem1  31876  fresf1o  33274  fsupprnfi  33334  gsumhashmul  33676  cycpmconjvlem  33750  exidreslem  38918  divrngcl  38998  isdrngo2  38999  n0elqs2  39372  dvbdfbdioolem1  47045  fourierdlem48  47271  fourierdlem49  47272  fourierdlem71  47294  fourierdlem73  47296  fourierdlem94  47317  fourierdlem111  47334  fourierdlem112  47335  fourierdlem113  47336  fouriersw  47348  fouriercn  47349  dmvon  47723  isubgrgrim  49134