Theorem ssdmres 5903

Description: A domain restricted to a subclass equals the subclass. (Contributed by NM, 2-Mar-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ssdmres	⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐵 ↔ dom (𝐵 ↾ 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem ssdmres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ss 3900	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ dom 𝐵) = 𝐴)
2		dmres 5902	. . 3 ⊢ dom (𝐵 ↾ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐵)
3	2	eqeq1i 2743	. 2 ⊢ (dom (𝐵 ↾ 𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ dom 𝐵) = 𝐴)
4	1, 3	bitr4i 277	1 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐵 ↔ dom (𝐵 ↾ 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  dom cdm 5580   ↾ cres 5582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-xp 5586  df-dm 5590  df-res 5592

This theorem is referenced by:  dmresi  5950  fnssresb  6538  fores  6682  foimacnv  6717  dffv2  6845  sbthlem4  8826  hashres  14081  hashimarn  14083  dvres3  24982  c1liplem1  25065  lhop1lem  25082  lhop  25085  usgrres  27578  vtxdginducedm1lem2  27810  wlkres  27940  trlreslem  27969  hhssabloi  29525  hhssnv  29527  hhshsslem1  29530  fresf1o  30867  fsupprnfi  30928  gsumhashmul  31218  cycpmconjvlem  31310  exidreslem  35962  divrngcl  36042  isdrngo2  36043  n0elqs2  36389  dvbdfbdioolem1  43359  fourierdlem48  43585  fourierdlem49  43586  fourierdlem71  43608  fourierdlem73  43610  fourierdlem94  43631  fourierdlem111  43648  fourierdlem112  43649  fourierdlem113  43650  fouriersw  43662  fouriercn  43663  dmvon  44034