Theorem ecex2 38310

Description: Condition for a coset to be a set. (Contributed by Peter Mazsa, 4-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ecex2	⊢ ((𝑅 ↾ 𝐴) ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ 𝐴 → [𝐵]𝑅 ∈ V))

Proof of Theorem ecex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecexg 8748	. 2 ⊢ ((𝑅 ↾ 𝐴) ∈ 𝑉 → [𝐵](𝑅 ↾ 𝐴) ∈ V)
2		ecres2 38261	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → [𝐵](𝑅 ↾ 𝐴) = [𝐵]𝑅)
3	2	eleq1d 2824	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ([𝐵](𝑅 ↾ 𝐴) ∈ V ↔ [𝐵]𝑅 ∈ V))
4	1, 3	syl5ibcom 245	1 ⊢ ((𝑅 ↾ 𝐴) ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ 𝐴 → [𝐵]𝑅 ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ↾ cres 5691  [cec 8742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ec 8746

This theorem is referenced by:  uniqsALTV  38311